Heston隨機(jī)波動率市場中帶VaR約束的最優(yōu)投資策略

曹 原

(中國人民大學(xué) 財(cái)政金融學(xué)院，北京 100872)

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Heston隨機(jī)波動率市場中帶VaR約束的最優(yōu)投資策略

曹 原

(中國人民大學(xué) 財(cái)政金融學(xué)院，北京 100872)

本文研究了Heston隨機(jī)波動率市場下, 基于VaR約束下的動態(tài)最優(yōu)投資組合問題。

假設(shè)Heston隨機(jī)波動率市場由一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成,投資者的目標(biāo)為最大化其終端的期望效用。與此同時(shí), 投資者將動態(tài)地評估其待選的投資組合的VaR風(fēng)險(xiǎn),并將其控制在一個(gè)可接受的范圍之內(nèi)。本文在合理的假設(shè)下,使用動態(tài)規(guī)劃的方法,來求解該問題的最優(yōu)投資策略。在特定的參數(shù)范圍內(nèi),利用數(shù)值方法計(jì)算出近似的最優(yōu)投資策略和相應(yīng)值函數(shù), 并對結(jié)果進(jìn)行了分析。

最優(yōu)投資組合;Heston隨機(jī)波動率;動態(tài)VaR約束;動態(tài)規(guī)劃

0 引言

自從Markowiz的均值-方差理論奠定了現(xiàn)代數(shù)量金融的基礎(chǔ)以來,采用方差度量風(fēng)險(xiǎn)存在一定的不合理性,比如方差將高于均值的波動也計(jì)算為了風(fēng)險(xiǎn),受到了眾多學(xué)者的質(zhì)疑。近些年來,眾多新的風(fēng)險(xiǎn)評估指標(biāo)如VaR(value at risk),CVaR(conditional value at risk), CaR(capital at risk), EaR(earning at risk)等都被廣泛地應(yīng)用于理論研究和實(shí)踐中。

Basak and Shapiro[2]用鞅方法研究了常數(shù)VaR約束下的最優(yōu)投資組合問題。Cuoco and He[3]利用動態(tài)規(guī)劃的方法來求解動態(tài)再評估(reevaluated)的VaR和TCE (tail conditional expectation)約束下的最優(yōu)投資組合。所謂動態(tài)再評估方法,即在每個(gè)交易期對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行持續(xù)的評估,并要求其始終處于一個(gè)合理的范圍之內(nèi),我們稱之為動態(tài)的VaR約束。此外,Yiu[4]分析了動態(tài)VaR約束下的最優(yōu)投資消費(fèi)問題,并且利用數(shù)值方法給出了最優(yōu)策略和值函數(shù)的近似解。

在實(shí)際金融實(shí)務(wù)中,大多數(shù)金融機(jī)構(gòu)在每個(gè)交易日都至少重新對投資組合進(jìn)行一次風(fēng)險(xiǎn)評估*1995年4月的巴塞爾提案提出，要求銀行等金融機(jī)構(gòu)至少每日重新評估它們的VaR風(fēng)險(xiǎn)，且對資產(chǎn)要求設(shè)定為之前60個(gè)工作的日均VaR的最大值。說見Jorion(2001)pp.64- 65.;此外,若風(fēng)險(xiǎn)約束僅僅是初始時(shí)刻選定的一個(gè)常數(shù),將出現(xiàn)如Cuoco and He[3]文中指出的財(cái)富較少時(shí),約束條件無效的情況發(fā)生,所以取隨時(shí)間和財(cái)富變化的風(fēng)險(xiǎn)上限更為合理。

近年來,一些學(xué)者拓展了Black-Scholes 模型,提出了多種更為貼近現(xiàn)實(shí)的隨機(jī)波動率模型,如Stein and Stein[5]提出的Stein-Stein模型;Heston[6]提出的Heston模型。同時(shí),一些學(xué)者基于以上隨機(jī)波動率模型,研究了在對應(yīng)金融市場下的最優(yōu)投資問題。例如, Liu and Pan[7]研究了波動率滿足Heston模型時(shí)含衍生產(chǎn)品的金融市場的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題;Chacko and Viceira[8]在Heston波動模型下最優(yōu)投資-消費(fèi)問題的顯式解;Hsuku[9]考慮了具有連續(xù)時(shí)間遞歸偏好效用的投資者在帶非冗余的衍生證券的Heston隨機(jī)波動率市場中的最優(yōu)投資組合問題,并得到了最優(yōu)投資策略在特殊參數(shù)下的解析式與一般情形下的數(shù)值解。伊博等[10]研究了Heston隨機(jī)波動率市場中的最優(yōu)收斂策略問題, 并考慮了在有限賣空約束下投資者的最優(yōu)投資問題。

綜合以上兩方面,有些學(xué)者同時(shí)研究了隨機(jī)波動率市場中帶VaR約束的最優(yōu)投資問題,例如,Pirvu[11]研究了系數(shù)隨機(jī)的金融市場中,帶動態(tài)VaR約束的投資組合問題。他利用Ito積分的鞅性及對數(shù)效用函數(shù)的特殊性質(zhì),將隨機(jī)控制問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進(jìn)行求解。李仲飛和李克勉[12]引入了非冗余的衍生證券將市場完備化,使用類似于Pirvu[11]的方法,求出了在Heston隨機(jī)波動率模型下,受動態(tài)VaR風(fēng)險(xiǎn)約束時(shí),投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略。伊博等[13]研究了Stein-Stein 隨機(jī)波動率模型下,帶VaR約束的最優(yōu)投資問題,并得到了在該假設(shè)下,投資者最優(yōu)投資策略及相應(yīng)值函數(shù)的顯式解。

就我們所知,目前還沒有文獻(xiàn)在CRRA效用函數(shù)體系下,同時(shí)考慮具有動態(tài)VaR風(fēng)險(xiǎn)約束與Heston隨機(jī)波動率的金融市場中的最優(yōu)投資問題。這主要因?yàn)?Heston隨機(jī)波動率市場中帶動態(tài)VaR約束的最優(yōu)投資策略無法求出顯式解,必須依賴于數(shù)值方法進(jìn)行近似計(jì)算。本文擬在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮動態(tài)VaR約束和Heston隨機(jī)波動率兩重要因素。假設(shè)最大化終端財(cái)富的期望冪效用為投資者的目標(biāo),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程服從Heston模型。本文研究受動態(tài)VaR約束下的最優(yōu)投資組合問題,并運(yùn)用動態(tài)規(guī)劃原理結(jié)合Yiu[4]提出的數(shù)值方法,近似地求得投資者的最優(yōu)投資策略和值函數(shù)。

本文結(jié)構(gòu)如下:第二部分描述Heston隨機(jī)波動的金融市場的數(shù)學(xué)模型。第三部分回顧無約束時(shí)的最優(yōu)投資組合問題。第四部分定義動態(tài)VaR約束。第五部分推導(dǎo)了最優(yōu)投資策略。第六部分給出數(shù)值算法和相應(yīng)計(jì)算結(jié)果及相關(guān)經(jīng)濟(jì)含義。第七部分是總結(jié)。

1 市場模型

我們考慮如下的隨機(jī)波動率市場,[0,T]是其有限交易區(qū)間, 給定完備的賦流概率空間(Ω,F,{Ft},P),其中{Ft}是布朗運(yùn)動Zs(t),Zυ(t)生成的自然域流。假設(shè)投資者可投資于兩種金融資產(chǎn):一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),如債券,其價(jià)格過程B(t)滿足

dB(t)=B(t)rdt,B(0)=B0

(1)

其中r>0, 表示無風(fēng)險(xiǎn)利率; 另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 如股票, 其價(jià)格過程S(t)將滿足如下Heston模型

(2)

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的波動率為V(t), 其中V(t) 滿足一個(gè)均值-回復(fù)過程

(3)

(4)

其中W0為初始財(cái)富。

2 無VaR約束時(shí)的最優(yōu)資產(chǎn)配置

不考慮VaR約束, 假設(shè)投資者具有如下的效用函數(shù)

(5)

常數(shù)γ是投資者的相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù), 其中Et[·]=E[·|Ft],γ∈(0,1)∪(1,+∞)，W(T), 是投資者的終端財(cái)富. 在隨機(jī)的投資機(jī)會集下, 定義該問題的最優(yōu)值函數(shù)為

(6)

根據(jù)Bellman原理, 相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程為

(7)

定理1 當(dāng)投資者不考慮VaR約束問題下,其在Heston隨機(jī)波動率市場中,最優(yōu)投資策略如下:

值函數(shù)有如下形式,

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

3 動態(tài)VaR約束

在無約束情形下, 最優(yōu)投資組合問題存在解析解.但更為實(shí)際的情況是, 投資者將會評估其投資風(fēng)險(xiǎn), 將其投資策略限制在一個(gè)可以接受的風(fēng)險(xiǎn)承受范圍之內(nèi).類似于Cuoco and He定義t 時(shí)刻的動態(tài)VaR如下

VaRtα,π=inf{L≥0:P(exp(τr)Wπ(t)-Wπ(t+τ)≥L|Ft)<α}

(13)

其中1-α為給定的置信水平，可以這樣理解該定義:在事先給定的置信水平下,τ時(shí)間內(nèi)財(cái)富損失的最大值。為避免繁瑣的討論,假定α<0.5。

根據(jù)財(cái)富方程可得

(14)

考慮時(shí)間區(qū)間[t,t+τ],類似可得到

(15)

根據(jù)Pirvu,在很短時(shí)間τ內(nèi), 忽略π(t)和V(t) 的變化,于是

(16)

(17)

其中N-1(α)為正態(tài)分布的α分位數(shù),x+=max(0,x)。由于在受約束情形下,對投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例進(jìn)行了限制,導(dǎo)致原先的最優(yōu)投資策略在此未必是可行的,將定理1中的最優(yōu)策略代入,如下情形將不會受VaR約束:

(18)

其中W0為初始財(cái)富。

4 最優(yōu)性條件

我們利用動態(tài)規(guī)劃方法求解以上帶VaR約束的最優(yōu)化問題,值函數(shù)可寫為

(19)

(20)

利用Langrage函數(shù)法,將約束條件引入HJB方程

(21)

由一階條件和Kuhn-Tucker條件,我們得到如下的最優(yōu)性條件:

(22)

(23)

λ≤0

(24)

從中可以求出最優(yōu)策略π*和λ*。

5 數(shù)值算例

在第三部分中,我們得到了無約束情形下的值函數(shù)的解析式。當(dāng)VaR約束被附加的時(shí)候,假設(shè)值函數(shù)具有如下形式:

(25)

H和h的形式將不僅僅依賴于時(shí)間t,而同時(shí)依賴于狀態(tài)變量w,υ。但是我們在后面的數(shù)值算例中會發(fā)現(xiàn),對于某些合理的參數(shù)而言,H,h關(guān)于狀態(tài)變量w,υ的變化是微小的。根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理,最優(yōu)化條件可寫為:

(26)

其邊界條件為

(27)

其中

(28)

將假設(shè)的值函數(shù)形式代入HJB方程,整理后,我們得到如下兩個(gè)方程:

γht+(1-γ)γ+γκηH=0

(29)

我們假設(shè)非限制問題的解為我們迭代算法的初始解,將w,υ,t離散化為Nw×Nυ×Nt個(gè)格點(diǎn),我們計(jì)算值函數(shù)的算法如下:

步驟2 對于w=[0,Δw,……,NwΔw],υ=[0,Δυ,……,NυΔυ],t=[0,Δt,……,Nt-1Δt,T],判定

(30)

若成立,取πk+1=πk,若不然求解

(31)

(32)

解出λk+1,πk+1。

步驟3 對于w=[0,Δw,……,NwΔw],n=Nt,Nt-1,……,0 解

(33)

步驟4 回到步驟2, 并取k=k+1直到收斂。

圖1 H關(guān)于波動率v的變化趨勢

圖2 H關(guān)于財(cái)富率w的變化趨勢

圖3 h關(guān)于波動率v的變化趨勢

圖4 h關(guān)于財(cái)富率w的變化趨勢

圖5 最優(yōu)投資策略關(guān)于剩余投資時(shí)間T-t的變化趨勢

6 總結(jié)和展望

隨著量化金融方法在實(shí)務(wù)操作中使用越來越頻繁,對量化的精確性也提出了越來越高的要求。 實(shí)證研究已經(jīng)證實(shí):現(xiàn)實(shí)金融市場的波動率在一般情形下并不是一個(gè)常數(shù),而應(yīng)滿足一個(gè)隨機(jī)變量。Heston隨機(jī)波動率假設(shè)作為全局隨機(jī)波動率中最主流的觀點(diǎn),已經(jīng)在學(xué)界和業(yè)界被廣泛采用,故而研究Heston隨機(jī)波動率市場中的最優(yōu)投資組合問題給實(shí)務(wù)操作者提供了更為準(zhǔn)確的量化投資輔助。另一方面,無論對于機(jī)構(gòu)投資者或者個(gè)人投資者來說,控制其投資組合的風(fēng)險(xiǎn)都應(yīng)作為他們投資金融市場的基本需求。甚至對于金融市場監(jiān)管者,為了維護(hù)金融市場穩(wěn)定和大多數(shù)投資者利益,也應(yīng)對大型投資者(主要為機(jī)構(gòu)投資者)的投資組合進(jìn)行一定的限制?；诂F(xiàn)實(shí)中的實(shí)際要求,研究被廣泛采用的VaR約束頗具實(shí)用價(jià)值,并為金融市場風(fēng)險(xiǎn)管理提供了相應(yīng)的理論支持。因此本文結(jié)合兩方面,研究了金融市場滿足Heston隨機(jī)波動率模型時(shí),帶動態(tài)VaR約束的最優(yōu)投資組合選擇問題,利用動態(tài)規(guī)劃和數(shù)值方法,在一定的參數(shù)條件下,近似地解出了最優(yōu)投資策略并給出了數(shù)值算例。但是, 本文的方法需要對參數(shù)施加一些限制,即需要當(dāng)前財(cái)富始終處于一個(gè)較高的水平,并非適用于所有的參數(shù),故而對大型投資者尤其機(jī)構(gòu)投資者,會具有更大的指導(dǎo)意義。對于更廣泛的參數(shù),還需要探索更為普遍的算法。

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Optimal Inverstment Strategy with Heston Stochastic Volatility and Dynamicvar Constraint

CAO Yuan

(TheSchoolofFinance,RenminUniversityofChina,Beijing100872,China)

This paper considers an optimal portfolio choice problem under Heston stochastic volatility model and a dynamic VaR constraint. Assume the financial market consists of one risky asset, like stock, whose price satisfies a Heston stochastic volatility model and one risk-free asset, like bond. The investor aims to maximize the expected power utility of the terminal wealth. At the same time, the investor hopes to manage the portfolio risk by a dynamic VaR constraint, which means she will compute the VaR of her portfolio continually. Using the stochastic dynamic programming approach, we solve the problem numerically. Finally, economic implications are proposed to illustrate the impacts of Heston stochastic volatility and dynamic VaR constraint on the investor’s optimal strategy. Our numerical experiment shows that the dynamic VaR criterion is an effective tool to manage the risk during the whole investment period.

portfolio optimization; Heston stochastic volatility; dynamic VaR constraint; dynamic programming approach.

2013- 07-14

曹原(1989-)，女，江西南昌人，博士，研究方向：金融學(xué)。

F380

A

1007-3221(2015)01- 0231- 06