基于風(fēng)險(xiǎn)管理的動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型

馬 軍， 董 瓊， 楊德禮

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,遼寧 沈陽 110870; 2.紐約州立大學(xué) 商學(xué)院,紐約州,奧斯威格市 13126; 3.大連理工大學(xué) 管理學(xué)院,遼寧 大連 110064)

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基于風(fēng)險(xiǎn)管理的動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型

馬 軍1， 董 瓊2， 楊德禮3

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,遼寧 沈陽 110870; 2.紐約州立大學(xué) 商學(xué)院,紐約州,奧斯威格市 13126; 3.大連理工大學(xué) 管理學(xué)院,遼寧 大連 110064)

基于風(fēng)險(xiǎn)管理的動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型的研究有助于供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)廠商在動態(tài)環(huán)境下優(yōu)化其風(fēng)險(xiǎn)管理，降低風(fēng)險(xiǎn)損失，提升供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)在風(fēng)險(xiǎn)管理下的競爭優(yōu)勢。本文以三層供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)為研究對象，采用風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率和損失函數(shù)表達(dá)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)廠商中斷風(fēng)險(xiǎn)的特征，構(gòu)建了基于風(fēng)險(xiǎn)管理的動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型。模型中包括三種類型的節(jié)點(diǎn)，產(chǎn)品生產(chǎn)商、零售商和需求市場，生產(chǎn)商考慮風(fēng)險(xiǎn)損失的情況下，基于動態(tài)變化的風(fēng)險(xiǎn)、需求和成本追求個(gè)體期望效益最優(yōu)化。接著，通過進(jìn)化變分不等式來表達(dá)動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)管理下的均衡解，并采用投影動態(tài)系統(tǒng)求解進(jìn)化變分不等式，通過數(shù)值算例驗(yàn)證方法的可靠性和合理性，通過投影動態(tài)系統(tǒng)解釋某一個(gè)廠商趨近均衡解的過程。通過單一廠商趨近均衡解的過程，闡述其他廠商相應(yīng)的最優(yōu)決策。

超網(wǎng)絡(luò)；進(jìn)化變分不等式；投影動態(tài)系統(tǒng)；個(gè)體優(yōu)化；全局優(yōu)化

0 引言

供應(yīng)鏈管理理論自從提出以來到現(xiàn)在已經(jīng)解決了供應(yīng)鏈內(nèi)和供應(yīng)鏈間許多實(shí)際的問題，但是動態(tài)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)險(xiǎn)管理方面依然存在眾多問題。僅近年來眾多的災(zāi)難和人為風(fēng)險(xiǎn)因素已極大地影響了世界各地供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)行，甚至是供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的中斷，相關(guān)的節(jié)點(diǎn)廠商損失嚴(yán)重。2011年VOA新聞報(bào)道[1]，日本大地震與海嘯導(dǎo)致日本工廠零部件中斷供應(yīng)，逐步影響到許多國家的電子產(chǎn)品和汽車的生產(chǎn)與供應(yīng)，級聯(lián)故障問題影響嚴(yán)重，甚至影響到整個(gè)國家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。美國知名網(wǎng)站(www.businesspundit.com)新聞報(bào)道[2]，2010年美國波音787飛機(jī)的延期生產(chǎn)，從而波及其供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中眾多的零部件供應(yīng)商，損失嚴(yán)重。2003年北美電力中斷致使眾多供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中企業(yè)中斷生產(chǎn)，損失慘重。2008年四川地震重創(chuàng)四川磷產(chǎn)品供應(yīng)鏈[3]和半導(dǎo)體供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，級聯(lián)影響到全國相關(guān)產(chǎn)業(yè)。2010年美國紐約時(shí)報(bào)報(bào)道[4]，日本豐田公司汽車召回事件影響多個(gè)國家的汽車零部件供應(yīng)商，包括日本、美國、中國和韓國等眾多的汽車零部件供應(yīng)廠商。這樣的新聞報(bào)道極其眾多，如此頻發(fā)的自然災(zāi)害和人為風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)嚴(yán)重影響到我們的日常生活，許多自然災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生非人為可以避免，但如何減少風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生給企業(yè)帶來的損失，如何提升供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)在中斷風(fēng)險(xiǎn)下的競爭優(yōu)勢，依然是供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中值得研究的問題。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)在目前供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)研究綜述的基礎(chǔ)上，對基于風(fēng)險(xiǎn)管理的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)研究和動態(tài)供應(yīng)鏈研究進(jìn)行綜述，并指出相關(guān)研究的成果和不足；第二節(jié)構(gòu)建了基于風(fēng)險(xiǎn)管理的動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型；第三節(jié)闡述了個(gè)體優(yōu)化和全局優(yōu)化的相關(guān)理論；第四節(jié)給出求解進(jìn)化變分不等式的求解方法-投影動態(tài)系統(tǒng)；第五節(jié)通過算例闡述模型的可靠性和合理性，通過投影動態(tài)系統(tǒng)解釋某一個(gè)廠商趨近均衡解的過程。通過單一廠商趨近均衡解的過程，闡述其他廠商相應(yīng)的最優(yōu)決策；第六節(jié)給出結(jié)論。本文主要特點(diǎn)是：(1)通過風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率和損失函數(shù)來表達(dá)動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型中的風(fēng)險(xiǎn)管理，更加符合動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)管理的特征；(2)通過進(jìn)化變分不等式表示動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)、成本和需求的動態(tài)變化特征，通過投影動態(tài)系統(tǒng)表達(dá)某個(gè)廠商趨近均衡解的過程，并分析不同風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率下對于供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡流量的影響情況，以及單一廠商非最優(yōu)決策時(shí)，其它廠商的相應(yīng)最優(yōu)策略。

1 文獻(xiàn)綜述

超網(wǎng)絡(luò)的概念最早于1978年由Sheffi[5,6]提出，最開始在其博士論文中稱為“Hypernetwork[5]”，后來統(tǒng)稱為“Supernetwork[7]”。美國Nagurney和June Dong教授[8]最早針對超網(wǎng)絡(luò)理論“Supernetwork”進(jìn)行了系統(tǒng)的理論和應(yīng)用研究。目前，超網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域，引起了理論界和企業(yè)界廣泛的關(guān)注，美國麻省大學(xué)建立了首個(gè)超網(wǎng)絡(luò)研究中心(supernet.isenberg.umass.edu)來研究相關(guān)的問題。超網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、金融網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、電信網(wǎng)絡(luò)和知識網(wǎng)絡(luò)6個(gè)主要領(lǐng)域的理論和應(yīng)用研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)是產(chǎn)品從原材料供應(yīng)商到顧客的生產(chǎn)和運(yùn)輸過程中組織、人員、活動、信息和其它資源組成的物流、信息、資金等網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的一個(gè)協(xié)調(diào)復(fù)雜的系統(tǒng)。隨著經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程的加速和信息化技術(shù)的發(fā)展與普及，如何協(xié)調(diào)和管理覆蓋全球的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，供應(yīng)鏈企業(yè)如何在競爭中生存，如何從理論上解釋這樣一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)已成為理論界和實(shí)踐界普遍廣泛關(guān)注的問題。這也要求研究者們能提供一個(gè)更加準(zhǔn)確地和有效地的理論和工具來理解這個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，以及對這類問題的解決方法。超網(wǎng)絡(luò)理論可以為多層、多級、多維、多屬性和多準(zhǔn)則的網(wǎng)絡(luò)提供深入的認(rèn)識和有效的理解。針對于供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的研究Zhang, Dong與Teng[9]和董瓊與馬軍[10]針對近年來的研究進(jìn)行了綜述。本節(jié)在此基礎(chǔ)上針對基于風(fēng)險(xiǎn)管理的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)和動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的研究進(jìn)行進(jìn)一步綜述。

從2002年Nagurney, Dong, Zhang[11]撰寫第一個(gè)基本供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型的文獻(xiàn)以來，眾多文獻(xiàn)在此基礎(chǔ)上把電子商務(wù)、庫存管理、多目標(biāo)決策、不確定需求、時(shí)間約束等問題整合到該供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的基本模型中[12～21]。在供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)險(xiǎn)管理理論研究方面，Dong等[17]把多目標(biāo)決策引入到具有不確定性需求的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，第一次結(jié)合多目標(biāo)決策和不確定性決策提出供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型；Nagurney等[22]整合供應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)和電子商務(wù)模式到文獻(xiàn)[17]的模型中，在模型中考慮到供應(yīng)方生產(chǎn)商和分銷商的風(fēng)險(xiǎn)管理，同時(shí)測量需求方風(fēng)險(xiǎn)； Nagurney和Matsypura[23]針對全球供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)考慮到風(fēng)險(xiǎn)性和不確定性提出了一個(gè)動態(tài)的超網(wǎng)絡(luò)模型，供應(yīng)方和市場風(fēng)險(xiǎn)通過以風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的形式，再通過多目標(biāo)決策以加權(quán)的方式來表示，需求的不確定性通過使用不確定性需求函數(shù)來表達(dá)。在動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的研究方面，動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)主要是通過進(jìn)化變分不等式來表達(dá)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中依時(shí)性的能力約束和需求[24]。早在1967年，Lions等[25]和Brezis[26]提出了進(jìn)化變分不等式用于解決力學(xué)上的一些問題，并進(jìn)行解的存在性和唯一性證明。1998年Daniele等[27]把進(jìn)化變分不等式用于研究交通網(wǎng)絡(luò)中滿足依時(shí)性交通容量和需求的可行性流量問題。Raciti[28,29]運(yùn)用投影動態(tài)系統(tǒng)和進(jìn)化變分不等式理論解決動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)問題。Daniele和Maugeri[30～32]把進(jìn)化變分不等式用于解決供應(yīng)鏈均衡和金融均衡問題。2003年Gwinner在其著作中[33]對多階層的進(jìn)化變分不等式進(jìn)行了一個(gè)詳細(xì)的綜述。

目前關(guān)于供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)管理的研究多整合多目標(biāo)決策方法于超網(wǎng)絡(luò)理論中，有助于解決決策者不同風(fēng)險(xiǎn)偏好下的決策問題，適用性比較廣泛，但并沒有充分體現(xiàn)供應(yīng)鏈節(jié)點(diǎn)企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)管理的特征；另一方面，目前針對準(zhǔn)確地表達(dá)基于風(fēng)險(xiǎn)管理的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)特性的研究還是空白。關(guān)于超網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)一步研究，June Dong在文獻(xiàn)[10]中提出超網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)一步研究需要把微觀運(yùn)作的問題整合到超網(wǎng)絡(luò)的模型中來。王眾托院士在文獻(xiàn)[34,35]中提出超網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)一步研究需要結(jié)合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)作方法，完善超網(wǎng)絡(luò)模型，使模型能夠更加準(zhǔn)確地刻畫實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的特征。本文基于準(zhǔn)確刻畫超網(wǎng)絡(luò)特征的思路和在目前研究的基礎(chǔ)上研究基于風(fēng)險(xiǎn)管理的動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型，以期為供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的決策者提供應(yīng)用支持。

圖1 基于風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率的三層供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型

2 基于風(fēng)險(xiǎn)管理的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

假設(shè)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)G=[N,L]，代表網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)的集合，L代表網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)品處理活動有向鏈接的集合，產(chǎn)品處理活動包括：產(chǎn)品的生產(chǎn)、運(yùn)輸和銷售等過程。假設(shè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中生產(chǎn)廠商生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品。構(gòu)建如圖1所示的基于風(fēng)險(xiǎn)管理的三層動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型。假設(shè)存在m個(gè)產(chǎn)品生產(chǎn)商，典型的生產(chǎn)商以j表示。存在h個(gè)產(chǎn)品零售商，典型的零售商以l表示，服務(wù)于o個(gè)需求消費(fèi)市場，典型的需求市場以k表示，需求函數(shù)是彈性的是價(jià)格的函數(shù)，對于k市場的需求函數(shù)用dk表示。產(chǎn)品的生產(chǎn)、運(yùn)輸和銷售過程是一個(gè)非循環(huán)過程。

2.1 生產(chǎn)商的行為和優(yōu)化條件

假設(shè)對于產(chǎn)品生產(chǎn)商和產(chǎn)品零售商之間的中斷風(fēng)險(xiǎn)概率ε已知，風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生后的損失s和產(chǎn)品的流量相關(guān)，產(chǎn)品生產(chǎn)商在此基礎(chǔ)上需要優(yōu)化生產(chǎn)量、運(yùn)輸量以及針對各個(gè)零售商運(yùn)輸量的比例。

q表示產(chǎn)品生產(chǎn)商生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，qj∈R+m。fj表示生產(chǎn)商j的生產(chǎn)成本函數(shù)，考慮到廠商之間對原材料購買的競爭關(guān)系，生產(chǎn)成本不僅和自身生產(chǎn)的產(chǎn)品相關(guān)，而且和其他生產(chǎn)商生產(chǎn)相關(guān)。則在t時(shí)刻生產(chǎn)商j的生產(chǎn)成本函數(shù)為：

fj(t)=fj(qj(t)), ?j

(1)

產(chǎn)品生產(chǎn)商和產(chǎn)品零售商之間的交易成本包括運(yùn)輸成本和處置成本。包括：資金占用成本和保險(xiǎn)費(fèi)用等。cjl表示交易成本，cjl是交易的產(chǎn)品數(shù)量的函數(shù)。

cjl(t)=cjl(qjl(t)), ?j,l

(2)

產(chǎn)品生產(chǎn)商和產(chǎn)品零售商之間中斷風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)致生產(chǎn)商的損失函數(shù)用rjl表示。中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率為ε。則在t時(shí)刻針對產(chǎn)品生產(chǎn)商的期望損失表達(dá)式為：

sjl(t)=rjl(qjl(t))×ε, ?j,l

(3)

(4)

假設(shè)生產(chǎn)商之間是完全信息下非合作博弈，生產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)是連續(xù)凸函數(shù)，每個(gè)產(chǎn)品生產(chǎn)商都追求期望收益最大化，則對于每個(gè)生產(chǎn)商的優(yōu)化函數(shù)根據(jù)進(jìn)化變分不等式理論知識[8,36～40]可知，可以轉(zhuǎn)換為以下進(jìn)化變分不等式：

(5)

2.2 零售商的行為和優(yōu)化條件

(6)

(7)

(8)

假設(shè)零售商之間是完全信息下非合作博弈，零售商的成本函數(shù)是連續(xù)凸函數(shù)，同樣，每個(gè)零售商都追求利潤最大化(7)，同時(shí)約束于式(8)，根據(jù)進(jìn)化變分不等式理論知識[8, 36～40]可知，則該表達(dá)式針對于所有的產(chǎn)品零售商可以轉(zhuǎn)換成以下進(jìn)化變分不等式：

(9)

2.3 需求市場的均衡條件

(10)

如果形成購買，則銷售的價(jià)格加上單位產(chǎn)品的邊際成本要等于顧客愿意提供的價(jià)格，如果價(jià)格加上單位產(chǎn)品的邊際成本要大于顧客愿意提供的價(jià)格，則不形成購買，相應(yīng)流量為0。

(11)

針對所有消費(fèi)市場k上，如果形成購買，需求函數(shù)等于所有產(chǎn)品流量，否則不形成購買，則均衡條件是：

(12)

因此，根據(jù)進(jìn)化變分不等式理論知識[8, 36～40]可知，式(11)和式(12)可以轉(zhuǎn)換為如下進(jìn)化變分不等式：

(13)

2.4 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的均衡條件

在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)組織中滿足式(5)、式(9)和式(13)之和時(shí)，整個(gè)動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)在產(chǎn)品交易的過程中產(chǎn)品交易的數(shù)量、產(chǎn)品交易的價(jià)格滿足以下變分不等式時(shí)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)組織的產(chǎn)品交易過程處于均衡狀態(tài)。約掉相同的項(xiàng)可得式(14)。

(14)

3 個(gè)體優(yōu)化和全局優(yōu)化

1952年Wardrop教授通過交通網(wǎng)絡(luò)的描述[41]闡述了網(wǎng)絡(luò)中全局優(yōu)化和個(gè)體優(yōu)化的關(guān)系。交通網(wǎng)絡(luò)個(gè)體優(yōu)化的均衡定律是：每個(gè)出行者的出行成本在每個(gè)已經(jīng)使用的路徑上是相等的且最小，此時(shí)是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)個(gè)體優(yōu)化的均衡點(diǎn)。交通網(wǎng)絡(luò)全局優(yōu)化的均衡定律是：邊際總出行成本在每個(gè)已經(jīng)使用的路徑上是相等的且最小，此時(shí)是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)全局優(yōu)化的均衡點(diǎn)。交通網(wǎng)絡(luò)的個(gè)體優(yōu)化和全局優(yōu)化均衡定律已經(jīng)擴(kuò)展到供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中。在供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體優(yōu)化均衡點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體廠商在已經(jīng)使用的連接流量中成本相等并最小；全局優(yōu)化的均衡點(diǎn)是供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中總的邊際成本在每個(gè)已經(jīng)使用的連接流量中是相等并最小。

供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體優(yōu)化的均衡點(diǎn)其實(shí)是非合作博弈中的納什均衡點(diǎn)。而供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的全局優(yōu)化均衡點(diǎn)其實(shí)是有一個(gè)局外人(例如：行業(yè)協(xié)會、政府部門等等)進(jìn)行控制和協(xié)調(diào)整個(gè)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的決策。個(gè)體優(yōu)化是代表分散式?jīng)Q策，而全局優(yōu)化是代表集權(quán)式?jīng)Q策。從全球范圍內(nèi)的研究來看，市場機(jī)制對于供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的影響越來越重，因此，本論文基于個(gè)體優(yōu)化的基礎(chǔ)上構(gòu)建基于風(fēng)險(xiǎn)管理的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡模型，這樣的模型符合市場機(jī)制下供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際運(yùn)作狀況，當(dāng)然全局優(yōu)化下的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型也是值得研究的，可為全局性的優(yōu)化和協(xié)調(diào)提供參考和依據(jù)。

4 投影動態(tài)系統(tǒng)

進(jìn)化變分不等式有許多求解方法，包括投影算法、松弛算法、修正投影算法、相繼平均法(MSA)、投影動態(tài)系統(tǒng)算法等[8,39]，本文采用投影動態(tài)系統(tǒng)，因?yàn)樵趧討B(tài)投影系統(tǒng)中，投影算子表明在約束集中最大化效用決策中最可能的方向[42]，也就是表明決策者最快可能達(dá)到均衡點(diǎn)的方向，能夠準(zhǔn)確形象的表達(dá)決策者的決策過程。早在1973年Henry[43]就提出了投影動態(tài)系統(tǒng)的思想，盡管沒有命名為投影動態(tài)系統(tǒng)(Projected Dynamical Systems)。1993年Dupuis和Nagurney[44]通過右邊非連續(xù)的微分方程來求解一系列動態(tài)問題，見表達(dá)式(15)，并第一次稱為投影動態(tài)系統(tǒng)。本節(jié)給出投影動態(tài)系統(tǒng)一個(gè)簡單的介紹和定義，以及針對投影動態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定點(diǎn)求解的離散時(shí)間算法。

dx(t)/dt=∏κ(x(t),-F(x(t)))

(15)

κ為RN上的閉凸集，F(xiàn):κ→RN是線性增長的Lipschitz連續(xù)函數(shù)，Πk:R×κ→RN是投影算子Pκ:RN→κ的Gateaux微分。給定如下：

(16)

在此基礎(chǔ)上給出投影動態(tài)系統(tǒng)的定義如下。

定義：動態(tài)投影系統(tǒng)PDS(F,K)定義為映射x:R×κ→RN，F(xiàn):κ→RN是Lipschitz連續(xù)的矢量域，x0∈κ，其中x(t)是下面微分方程的解。

x(t)=Πκ(x(t),-F(x(t))),x(0)=x0

(17)

Πκ(x(t),-F(x(t)))=0時(shí)，則x*∈κ是投影動態(tài)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)。

Dupuis和Nagurney[44]證明了投影動態(tài)系統(tǒng)的關(guān)鍵的特性是標(biāo)準(zhǔn)變分不等式〈F′(x*),(y-x*)〉≥0,?x∈κ和投影動態(tài)系統(tǒng)的問題dx(t)/dt=∏κ(x(t),-F(x(t))),x(0)=x0的均衡解是一致的。也就是說，針對這樣類型的問題給定F:κ→RN可以找到x*∈κ滿足的〈F′(x*),(y-x*)〉≥0其中y∈κ，〈·,·〉表示定義在RN上的內(nèi)積。

在計(jì)算投影動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，常用的方法就是離散時(shí)間算法，本文參看文獻(xiàn)[45]給出離散時(shí)間算法的步驟如下：

步驟1 令X0=0，T=0，αT=1/(T+1)；

步驟2 計(jì)算XT+1=P(XT-αT·F(XT))，P為標(biāo)準(zhǔn)投影算子；

步驟3 如果對所有的T，滿足max|XT-XT+1|≤ε，其中ε為容許誤差，則停止迭代；否則，返回步驟2。

收斂性說明：假設(shè)對所有的T，F(xiàn)(XT)為Lipschitz連續(xù)，且是嚴(yán)格單調(diào)，對于給定足夠大常數(shù)M，當(dāng)X≥M時(shí)，F(xiàn)(XT)>0，則離散時(shí)間算法收斂于唯一的均衡點(diǎn)，詳細(xì)證明參看文獻(xiàn)[45]。

圖2 數(shù)值算例結(jié)構(gòu)圖

5 數(shù)值算例

5.1 數(shù)據(jù)和結(jié)果

本節(jié)通過一個(gè)數(shù)值算例來說明本文構(gòu)建模型的應(yīng)用情況，以及方法求解的可行性和可靠性。圖2給出某類型汽車生產(chǎn)的供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，兩個(gè)生產(chǎn)商位于中國的吉林省和上海市，通過位于北京、沈陽和南京的三個(gè)零售商把產(chǎn)品銷售到華北和華東兩個(gè)需求市場。

本節(jié)采用投影動態(tài)系統(tǒng)求解數(shù)值算例，由于生產(chǎn)商和零售商的地理位置不同，生產(chǎn)的成本不同，所以不同鏈接的成本函數(shù)不盡相同，各個(gè)廠商的成本函數(shù)給定如下。

零售商中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生后對產(chǎn)品生產(chǎn)商的損失函數(shù)給定如下：

供應(yīng)鏈生產(chǎn)廠商的生產(chǎn)成本函數(shù)和時(shí)間函數(shù)給定如下：

生產(chǎn)商和零售商之間的交易成本函數(shù)給定如下：

零售商和需求市場之間的成本函數(shù)給定如下：

消費(fèi)市場和零售商之間的交易成本函數(shù)給定如下：

需求市場的需求函數(shù)給定如下：

d1(t)=-4p1+3p2+200-20t,d2=-4p2+3p1+200-25t

表1給出通過Matlab 7.0軟件進(jìn)行求解，采用投影動態(tài)系統(tǒng)給出ε=0.001時(shí)，t=0,1,2時(shí)刻整個(gè)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)均衡時(shí)的運(yùn)輸量和需求價(jià)格，以及達(dá)到均衡點(diǎn)時(shí)的迭代次數(shù)。

表1 數(shù)值算例的均衡均衡結(jié)果

5.2 敏感性分析

假設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)商和零售商之間的中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率為(ε=0,0.0005,0.0010,0.0015,0.0020,0.0025,0.0030,0.0035,0.0040,0.0045)時(shí)，選取產(chǎn)品生產(chǎn)商和產(chǎn)品零售商之間交易量及交易量占總交易量的比例來分析其隨風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率變化的敏感性情況。

表2 生產(chǎn)商和零售商之間的運(yùn)輸量和比重隨著風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率的變化情況

表2表明隨著中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率不斷增加時(shí)，生產(chǎn)商1和零售商1,2,3之間的運(yùn)輸量和運(yùn)輸量占總運(yùn)輸量的變化情況，可以看出生產(chǎn)商1和零售商1之間的運(yùn)輸量占總運(yùn)輸量比例隨著中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率不斷增加而逐步減少，而生產(chǎn)商1和零售商2,3之間的運(yùn)輸量占總運(yùn)輸量比例隨著中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率不斷增加而逐步增加，主要因?yàn)楸M管生產(chǎn)商1和零售商1之間的交易成本較低，運(yùn)輸量也較大，但是如果中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率增加后，損失也就非常大了，所以隨著中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率不斷增加，生產(chǎn)商1調(diào)整在不同零售商之間的運(yùn)輸量，使整體收益達(dá)到最大。從總體上可以看出，節(jié)點(diǎn)間運(yùn)輸量較大的鏈接，中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生后損失也較大，所以隨著中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率的增加，相應(yīng)的運(yùn)輸量逐步減少，從而導(dǎo)致了其它節(jié)點(diǎn)間的運(yùn)輸量逐步增加。

圖3 時(shí)生產(chǎn)商1和零售商1之間的運(yùn)輸量收斂于均衡點(diǎn)的過程

圖4 節(jié)點(diǎn)間運(yùn)輸量隨著生產(chǎn)商1決策的變化情況

5.3 投影動態(tài)系統(tǒng)趨近均衡點(diǎn)的過程

采用動態(tài)投影系統(tǒng)的優(yōu)勢就是可以通過離散時(shí)間算法了解決策者從非均衡狀態(tài)到均衡狀態(tài)的過程，均衡狀態(tài)時(shí)的流量對于網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)廠商的決策具有一定的指導(dǎo)價(jià)值。通過市場機(jī)制來達(dá)到均衡點(diǎn)，均衡點(diǎn)是一個(gè)最優(yōu)的目標(biāo)，因此達(dá)到均衡點(diǎn)的過程對于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)廠商也同樣具有一定的指導(dǎo)意義。在動態(tài)投影系統(tǒng)中，投影算子表明決策者最快可能達(dá)到均衡點(diǎn)的方向，圖3描述了在t=0時(shí)，生產(chǎn)商1和零售商1上的流量收斂到均衡狀態(tài)的整個(gè)過程。從圖上可以看出，在初始X=0時(shí)，迭代到13次，生產(chǎn)商1和零售商1上的流量就基本上收斂于均衡點(diǎn)時(shí)的最優(yōu)流量。

5.4 趨近均衡點(diǎn)的博弈過程

均衡解是供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)廠商在長期競爭中達(dá)到非合作納什均衡，是各個(gè)廠商不斷博弈的結(jié)果，在實(shí)際過程中很難準(zhǔn)確地達(dá)到均衡點(diǎn)。在實(shí)際動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)廠商如何達(dá)到均衡解的過程，以及針對其他廠商非最優(yōu)策略給出相應(yīng)的對策也同樣重要。下面針對以上數(shù)值算例分析其中一個(gè)廠商給出非最優(yōu)解時(shí)其他廠商的對策情況。

在實(shí)際動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)中，均衡點(diǎn)是相關(guān)廠商多次博弈過程中達(dá)到的均衡點(diǎn)，一般很難所有廠商同時(shí)都給出最優(yōu)的策略，這時(shí)針對相關(guān)廠商的非最優(yōu)策略如何給出最優(yōu)策略也是一個(gè)值得分析的問題。圖4是在中斷風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率為ε=0.001，t=0時(shí)刻，當(dāng)生產(chǎn)商1決策供應(yīng)零售商1的銷售量從10到均衡點(diǎn)71.8253的不同決策點(diǎn)上，其它生產(chǎn)商、零售商和需求市場之間應(yīng)該給出的最優(yōu)策略情況。圖中的標(biāo)記表明不同廠商之間的流量，例如：前半部分從1-2到2-3表明生產(chǎn)商針對零售商的最優(yōu)流量情況，后半部分從1-1到3-2表明零售商針對需求市場的最優(yōu)流量情況。

6 結(jié)論

本文首先從個(gè)體優(yōu)化的角度出發(fā)，采用風(fēng)險(xiǎn)因素發(fā)生概率和損失函數(shù)來表達(dá)動態(tài)供應(yīng)鏈中廠商風(fēng)險(xiǎn)管理的特征，在此基礎(chǔ)上最優(yōu)化各個(gè)節(jié)點(diǎn)廠商的收益；其次，根據(jù)進(jìn)化變分不等式理論把優(yōu)化函數(shù)轉(zhuǎn)化成進(jìn)化變分不等式，采用投影動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行求解；最后，通過數(shù)值算例給出了不同風(fēng)險(xiǎn)因素發(fā)生概率下的敏感性分析，通過投影動態(tài)系統(tǒng)解釋某一個(gè)廠商趨近均衡解的過程。通過單一廠商趨近均衡解的不同決策點(diǎn)，闡述其他廠商相應(yīng)的最優(yōu)決策。

目前，針對動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的研究時(shí)間較短，仍有許多問題和不足需要進(jìn)一步研究：供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)性從哪些特征進(jìn)行表達(dá)；構(gòu)建符合實(shí)際動態(tài)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)特征的超網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)模型，解釋相關(guān)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象；準(zhǔn)確的考慮供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中風(fēng)險(xiǎn)管理的手段和方法構(gòu)建動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)模型；動態(tài)供應(yīng)鏈超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性測評與分析。

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Dynamic Supply Chain Supernetwork Equilibrium Model Based on Risk Management

MA Jun1, DONG Qing2, YANG De-Li3

(1.ShenyangUniversityofTechnology,ManagementSchool,Shenyang110870,China; 2.StateUniversityofNewYork,BusinessSchool,Oswego,NewYork, 13126; 3.DaLianUniversityofTechnology,ManagementSchool,Dalian110064,China)

The research on supply chain network equilibrium model based on risk management helps the firms in supply chain network optimize their risk management, reduce risk loss and promote the competitive advantage of supply chain network under risk management. First of all, this paper develops a three-layer supply chain network equilibrium model by using probability of risk occurrence and risk loss function to express the characteristics of risk management in supply chain network. This model includes three types of nodes: products manufacturers, products retailers and demand markets. Manufacturers optimize their individual profits based on risk loss, cost and revenue. Then, evolutional variational inequalities are used to express the equilibrium solution of dynamic supply chain supernetwork based on risk management. The projected dynamic system is utilized to solve the evolutional variational inequalities, and a numerical example is used to prove this model is reliable and reasonable. Other manufacturers’ optimized decision making is described when one manufacturer selects a nonoptimized decision. The projected dynamic system is used to illustrate the process of a firm approaching the optimized solution. Sensitivity analysis is compared in this example.

supernetwork; evolution variational inequalities; projected dynamical system; user optimization; system optimization

2012-10-23

國家自然科學(xué)基金重大資助項(xiàng)目(70890083)；遼寧省教育廳資助項(xiàng)目(ZJ2014015)；遼寧省沈陽市科技局項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(F12-278- 6-22)

馬軍(1977-)，男，江蘇東海人，沈陽工業(yè)大學(xué)講師，博士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、超網(wǎng)絡(luò)、移動商務(wù)。

F406.2

A

1007-3221(2015)01- 0001- 09