基于旋量法的可變形六足機(jī)器人腿部運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

于常娟，張明路，劉慶玲，劉欣媛

（1.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130；2.廊坊師范學(xué)院 數(shù)信學(xué)院，廊坊 065000）

0 引言

普通的仿生機(jī)器人腿部一般具有根關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，腿部末端位置如果確定，那么腿部位姿也隨之唯一確定[1,2]，本文突破以往六足仿生機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模式單一和固定的局限，提出了一種具有變形能力的六足仿生機(jī)器人，和普通六足仿生機(jī)器人的區(qū)別是每個(gè)腿又設(shè)計(jì)了一個(gè)變形關(guān)節(jié)，從而使腿部能以不同的姿態(tài)到達(dá)同一位置，因此增加了六足機(jī)器人腿部運(yùn)動(dòng)的多樣性和靈活性，以及對(duì)不同地形適應(yīng)的能力，該機(jī)器人可根據(jù)地形的情況模仿不同動(dòng)物行走的方式和姿態(tài)，如螃蟹、蜘蛛和壁虎等動(dòng)物。

傳統(tǒng)的D-H方法的局限性在于只能表示關(guān)于x軸和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，不能表示關(guān)于y軸的運(yùn)動(dòng)。由于該六足仿生機(jī)器人腿部具有沿y軸的移動(dòng)，所以不能直接應(yīng)用傳統(tǒng)的D-H方法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。而旋量方法可以表示任意方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，且只需建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系S和工具坐標(biāo)系T兩個(gè)坐標(biāo)系，運(yùn)算過(guò)程較D-H法簡(jiǎn)單。利用旋量理論計(jì)算機(jī)器人的雅克比矩陣可避免對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿正解求導(dǎo)，簡(jiǎn)化了計(jì)算，并且避免了D-H法的奇異性問(wèn)題。

因此采用旋量方法和指數(shù)積公式建立可變形腿的運(yùn)動(dòng)模型，計(jì)算腿部的正解和逆解以及雅可比矩陣。劉亞軍等運(yùn)用旋量方法建立操作臂串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，得到該操作臂的16組運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的解析解[3]。胡典傳等利用傳統(tǒng)D-H分析方法建立裝夾機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[4]。錢東海等基于旋量理論建立6自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型并利用Paden-Kahan子問(wèn)題得到其逆解算法[5]。張小俊等基于旋量法對(duì)連續(xù)體搜救機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析并計(jì)算其雅克比矩陣[6]。許晨等利用旋量理論建立多運(yùn)動(dòng)體航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[7]。

1 可變形六足機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)

該可變形六足仿生機(jī)器人的六條結(jié)構(gòu)相同腿部對(duì)稱分布在機(jī)體的兩側(cè)。和普通六足機(jī)器人不同，可變形六足仿生機(jī)器人每條腿除了具有根關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)外還有一個(gè)變形關(guān)節(jié)，這樣每條腿具有四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。當(dāng)變形關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角發(fā)生變化時(shí)可以改變腿部行走的模式，完成多運(yùn)動(dòng)模式行走的功能，如模擬蜘蛛、螃蟹和壁虎等不同昆蟲或哺乳動(dòng)物的行走模式，具有多運(yùn)動(dòng)模式能力有利于增強(qiáng)六足機(jī)器人對(duì)未知環(huán)境的適應(yīng)性和可通過(guò)性。圖1為六足可變形仿生機(jī)器人的樣機(jī)。

圖1 六足仿生機(jī)器人樣機(jī)

2 建立腿部運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

機(jī)器人單腿示意圖如圖2所示。機(jī)身1與構(gòu)件2連接處有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)根關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)，根關(guān)節(jié)1繞z軸正方向轉(zhuǎn)動(dòng)，髖關(guān)節(jié)2繞y軸負(fù)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，構(gòu)件2與構(gòu)件3由膝關(guān)節(jié)3連接也繞y軸負(fù)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，構(gòu)件3與構(gòu)件4由變形關(guān)節(jié)4連接。

2.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系o-xyz，原點(diǎn)o在腿與機(jī)身的接觸點(diǎn)。腿部初始位置：構(gòu)件2和構(gòu)件3都與x軸重疊，方向向右，構(gòu)件4沿y軸正方向。構(gòu)件2、構(gòu)件3和構(gòu)件4的長(zhǎng)度分別為l2、l3和l4。

初始位置時(shí)四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的軸線方向和位置如表1所示。

表1 各關(guān)節(jié)的螺旋軸線方向和位置

圖2 機(jī)器人單腿示意圖

轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)變換矩陣：

θi為各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，hi為各螺旋運(yùn)動(dòng)的節(jié)距，由于各關(guān)節(jié)沒有沿各軸線方向移動(dòng)，所以hi都為0。足端相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系o-xyz的位姿矩陣為：

其中g(shù)TS(0)為足端在初始時(shí)刻相對(duì)基礎(chǔ)坐標(biāo)系位姿矩陣：

其中，p(0)為初始時(shí)刻足端在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。ci、si分別是 cos(θi)和sin(θi)的縮寫，c23、s23分別是cos(θ2+ θ3)和s i n(θ2+ θ3)的縮寫。

足端的坐標(biāo)為：

2.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

式(1)兩邊同時(shí)右乘gTS-1(0)得：

點(diǎn)q3同時(shí)在關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4的軸線上，式(3)兩邊同時(shí)右乘q3得：

解得：

把θ1和θ2的值代入式(3)得：

2.3 正解和逆解的驗(yàn)證

設(shè) θ1= π /6，θ2= π /6，θ3= π /4，θ4= π /6；

則根據(jù)式，足端相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系o-xyz的位姿矩陣為gTS(θ)，其中：

根據(jù)逆解式(4)～式(7)解得：

逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)的輸出是正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的輸入，說(shuō)明利用旋量理論與指數(shù)積方法建立腿部運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正確。

3 雅可比矩陣求解

為機(jī)器人足端瞬時(shí)空間速度（相對(duì)慣性坐標(biāo)系的速度），(θ)為機(jī)器人相對(duì)慣性坐標(biāo)系的雅可比矩陣。為機(jī)器人腿部各關(guān)節(jié)相對(duì)慣性坐標(biāo)系的角速度。

傳統(tǒng)方法是對(duì)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求導(dǎo)得到雅可比矩陣但是求導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜。而利用旋量理論描述雅可比矩陣計(jì)算自然簡(jiǎn)單，并且結(jié)果有明確的幾何特征。

其中：

因此，不必對(duì)正解求微分就能求出機(jī)器人足端的雅可比矩陣，這大大簡(jiǎn)化了雅可比矩陣的計(jì)算量，并且避免了傳統(tǒng)方法可能存在的奇異性問(wèn)題。

四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)旋量Plücer射線坐標(biāo)為：

四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的當(dāng)前時(shí)刻運(yùn)動(dòng)旋量Plücer坐標(biāo)為：

六足仿生機(jī)器人腿部相對(duì)慣性坐標(biāo)系的雅可比矩陣[8]。

4 MAPLE仿真

機(jī)器人腿部構(gòu)件的參數(shù)l1=2cm，l2=20cm，l3=15cm，l4=10cm。當(dāng)各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的空間角速度（相對(duì)慣性坐標(biāo)系）=（10，20，10，20）時(shí)，根據(jù)式(2)，機(jī)器人足端相對(duì)慣性坐標(biāo)系的三個(gè)方向位移變化如圖3所示。

圖3 機(jī)器人足端位移變化曲線

根據(jù)式(8)，得到機(jī)器人足端瞬時(shí)空間速度：

其中為足端物體坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的角速度，如圖4所示。

圖4 足端坐標(biāo)系空間角速度變化曲線

為機(jī)器人腿部最末構(gòu)件上的經(jīng)過(guò)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)的點(diǎn)相對(duì)慣性坐標(biāo)系的速度如圖5所示。

圖5 足端通過(guò)慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)的空間速度變化曲線

5 結(jié)論

基于指數(shù)積和旋量理論為六足可變形仿生機(jī)器人的腿部建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并計(jì)算得到足端位姿正解的解析解，利用經(jīng)典消元理論和Paden-Kahan子問(wèn)題方法計(jì)算其運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析逆解。根據(jù)旋量理論推導(dǎo)出腿部的雅可比矩陣，并利用MAPLE軟件對(duì)足端的位置和速度進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和雅可比矩陣的正確性。

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