例談代數(shù)法解初中平面幾何計算題

宋鈺

平面幾何題是初中數(shù)學(xué)課程中要求學(xué)生們學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在幾何題的學(xué)習(xí)過程中對學(xué)生們的思維度有著很高的要求，而且初中平面幾何的學(xué)習(xí)是在為以后的立體幾何等內(nèi)容打基礎(chǔ)，所以這就要求學(xué)生們在學(xué)習(xí)初中平面幾何的過程中能夠熟練掌握學(xué)習(xí)的方法與解法. 對于初中平面幾何中的題目學(xué)生在做題時要善于轉(zhuǎn)換思維與方法，在學(xué)習(xí)的過程中有很多的幾何題目都很難用平時直接的方法進(jìn)行求解與證明，但是如果換用代數(shù)法進(jìn)行求解就會非常方便，所以這就要求學(xué)生們在學(xué)習(xí)初中平面幾何的過程中熟練掌握代數(shù)法，在運(yùn)用的過程中學(xué)生可以適當(dāng)?shù)亟柚恍┹o助線等條件來完成所求內(nèi)容，教師可以在不斷的練習(xí)中鍛煉學(xué)生的思維能力和解題邏輯能力，讓學(xué)生們在學(xué)習(xí)平面幾何的過程中學(xué)會用代數(shù)法巧妙解決平面幾何問題.

1. 用代數(shù)法解決有關(guān)三角形問題

三角形是初中平面幾何題目中出現(xiàn)頻率最高的圖形，教師在教學(xué)過程中對三角形的講解內(nèi)容也非常多而且這一圖形中要求學(xué)生們記住和掌握的內(nèi)容和性質(zhì)也比較多. 例如有關(guān)三角形的相似問題，相似是學(xué)生們在學(xué)習(xí)三角形過程中的重要內(nèi)容，學(xué)生們在解有關(guān)三角形相似的幾何題目中常常會出現(xiàn)沒有思緒的情況，在用一般的方法無法解決時，這就要求學(xué)生們換一種思維方式與解題方法來考慮問題，從另一個角度對所解題目進(jìn)行求解，運(yùn)用代數(shù)法將題目中的各種未知量設(shè)成未知數(shù)并作為已知條件使用，列出它們與已知量之間的數(shù)量關(guān)系和方程關(guān)系進(jìn)行求解.

例 如圖在△ABC中，AD垂直于BC且交于點(diǎn)D，BE垂直于AC且交于點(diǎn)E ，AD = BC，M為BC的中點(diǎn)，AD交BE于H，求DH + HM與BC 之間的數(shù)量關(guān)系.

分析 該題用純幾何方法很難找出DH + HM與BC之間的關(guān)系，但如果考慮用代數(shù)知識通過計算，即數(shù)形結(jié)合法來求解，學(xué)生在解題的過程中會很容易找出答案，解題過程如下：

解 設(shè)AD = BC = 2，則BM = CM = 1，設(shè)DM = x，CD = 1 - x，BD = 1 + x，

因為∠BDH = ∠ADC，∠HBD = ∠CAD，

所以△BHD∽△ACD，所以DH ∶ CD = BD ∶ AD，

所以DH = ■（1 - x2），

在Rt△MHD中，MH2 = DH2 + DM2，

MH2 = ■（1 - x2）2 + x2，所以MH = ■（1 + x2），

所以DH + HM = ■（1 - x2） + ■（1 + x2） = 1，

又因為■BC = 1，所以DH + HM = ■BC.

在對該題進(jìn)行求解時代數(shù)法的使用大大降低了該題目的難度，通過設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，將含有未知數(shù)的代數(shù)式參與到解題的運(yùn)算中，用未知數(shù)表示同一圖形中的相關(guān)量，再根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解，使此題在解答時變得更加簡明.

2. 用代數(shù)法解決有關(guān)圓的計算

圓是初中生在學(xué)習(xí)平面幾何過程中非常重要的知識，而且在平時做練習(xí)和考試的題目中有關(guān)圓出現(xiàn)的題目也非常多，對學(xué)生們的測試形式并不是單單只有平面圓的圖形，往往跟其他圖形相結(jié)合對學(xué)生所掌握的知識進(jìn)行測試，在有關(guān)圓與其他圖形方面的知識有很多，如圓內(nèi)四邊形所有的性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓、外接圓的各邊和中線重線等性質(zhì)，所以在做有關(guān)圓與其他圖形相結(jié)合的題目時如果用一般的方法進(jìn)行計算很難得出正確答案，而且在計算的過程中很容易被某些未知條件阻擋，所以當(dāng)學(xué)生遇到有關(guān)題目且無法解出答案時可以換一種思考的方式尋求答案，代數(shù)法可以在解題的過程中將未知視為已知，通過平面幾何解題常用的方法數(shù)形結(jié)合對未知量進(jìn)行設(shè)解進(jìn)行計算，這樣在解題的過程中只需列出有關(guān)的計算式子就可以對未知量進(jìn)行求解，而且大大減少了學(xué)生在解題過程中由于未知量而無法順利解題的困擾.

3. 用代數(shù)法解決組合圖形問題

初中生在平時的平面幾何題目的練習(xí)過程中遇到的大多數(shù)計算題目都是以組合圖形的形式出現(xiàn)在學(xué)生們的面前，一般情況下單一的圖形對學(xué)生所學(xué)知識的考驗程度并不高，而且單一的圖形并不能對學(xué)生所學(xué)的有關(guān)平面幾何進(jìn)行綜合能力的考驗，但是在解決有關(guān)組合圖形的問題時往往由于圖形復(fù)雜學(xué)生無從插手，而且這類題目中往往涉及的位置條件比較多在計算的過程中很難進(jìn)行直接計算，所以這就需要學(xué)生們在解決這類題目時運(yùn)用代數(shù)法進(jìn)行求解，在解題的過程中將未知量設(shè)成未知數(shù)且把它當(dāng)成已知量進(jìn)行計算，有了這些條件學(xué)生就可以通過數(shù)形結(jié)合的方式列出相關(guān)的關(guān)系方程對該題進(jìn)行計算，在邏輯關(guān)系上這些計算方程也會非常簡明，讓學(xué)生在解決這類題目時變得得心應(yīng)手.

代數(shù)法在初中數(shù)學(xué)平面幾何的計算題目中應(yīng)用的范圍很廣，它可以解決多類相關(guān)題目而且該方法是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)，通過圖形列出它們之間的數(shù)量關(guān)系，而且運(yùn)用代數(shù)法進(jìn)行解題時大大降低了平面幾何題目的難度，學(xué)生在做題的過程中也能很好地鍛煉思維能力，平面幾何圖形的學(xué)習(xí)往往要求學(xué)生們在解題的過程中擁有數(shù)形結(jié)合的能力，在平時練習(xí)的過程中沒有頭緒時使用代數(shù)法將圖形與它們之間的數(shù)量關(guān)系完美的結(jié)合在一起來進(jìn)行求解，使所解題目變得更簡明. 所以這就要求教師在平面幾何的教學(xué)過程中要鼓勵學(xué)生們運(yùn)用代數(shù)法進(jìn)行平面幾何題目的有關(guān)計算，在不斷地練習(xí)中讓學(xué)生們的思維變得更加活躍，解題邏輯變得更加清晰.