平面幾何教學(xué)中幾何變換的探究

王彩英

【摘要】 在初中數(shù)學(xué)中，平面幾何是其中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在具體教學(xué)和學(xué)習(xí)時(shí)，通常采用幾何變換的形式來(lái)達(dá)到解題的目的.該方法不僅能加快解題速度，還能擴(kuò)散學(xué)生的思維能力.本文從具體實(shí)例出發(fā)，探究幾何變換在平面幾何教學(xué)中的具體的作用，從而為提高學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)的能力提供有效建議.

【關(guān)鍵詞】 平面幾何；幾何變換；探究

一直以來(lái)，教育都是我國(guó)長(zhǎng)期堅(jiān)持和發(fā)展的目標(biāo).初中數(shù)學(xué)隸屬于教育體系中的一個(gè)分支.平面幾何是初中數(shù)學(xué)中的重要組成部分.在教學(xué)時(shí)，對(duì)幾何圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，可以對(duì)平面幾何做到更深程度的了解，發(fā)現(xiàn)幾何中存在的內(nèi)在規(guī)律，簡(jiǎn)化解題思路，從而更快地解決實(shí)際問(wèn)題.

一、平移變換深化了平面幾何的概念

概念是一切解題的基礎(chǔ).只有將概念完全吃透，才能在解題時(shí)做到從題目本質(zhì)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)題目規(guī)則，提高解題效率.平移是幾何變換中的一種形式，它通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行平移，靈活運(yùn)用一些基本概念，從而達(dá)到解題的目的.

例如在△ABC中，已知D，E分別是AB，AC線上的中點(diǎn).證明DE平行于BC邊且長(zhǎng)度是BC的一半.在解題時(shí)，我們可以對(duì)三角形ABC進(jìn)行平移，把AB線平移到CF點(diǎn)，平移線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是平移線和DE延長(zhǎng)線的交點(diǎn).由題目條件和相關(guān)定義我們可以得到CF平行AD，從而有∠A = ∠ACF.此外，由∠AED = ∠CEF、AE = CE、∠A = ∠ACF三個(gè)條件得到三角形ADE和三角形CEF之間是全等關(guān)系.得出AD等于CF.結(jié)合AD等于AB的一半這一信息，得出BD = CF.因?yàn)锽D平行且等于CF，所以，四邊形BCFD是平行四邊形.由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等這一基本性質(zhì)，得出DF平行且等于BC，證明出DE平行于BC且等于■BC這一結(jié)論.由該實(shí)例可以得出，平移將關(guān)聯(lián)性不大的兩條線之間建立起聯(lián)系，立足于基本概念，將各種分散的條件放在一起，使解題很快地找到了出路.加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)幾何題的了解.深化了各種概念，為解決以后出現(xiàn)的題目奠定了良好的基礎(chǔ).

二、對(duì)稱(chēng)變換提高了學(xué)生對(duì)題目的獲取能力

平面幾何會(huì)具有映射作用.映像與原圖形存在對(duì)稱(chēng)效果.對(duì)稱(chēng)軸上的每一點(diǎn)到原圖形和映像圖上的距離是完全一樣的.作為幾何變換的又一表現(xiàn)形式，對(duì)稱(chēng)變換可以大大縮短解題的時(shí)間，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.如例二.

在一條河的同方向處有兩個(gè)村莊A，B，一企業(yè)想在河岸上建立一個(gè)抽水站P，方便為兩個(gè)村莊供水.若從實(shí)際經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，抽水站要建在哪個(gè)具體位置才能使用的管道達(dá)到最節(jié)省的效果.在具體解題時(shí)，可以根據(jù)題目要求畫(huà)出簡(jiǎn)易表達(dá)圖，如圖二.合理利用對(duì)稱(chēng)變換這一方法，作A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)之間的連線與P所在直線垂直.連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和B點(diǎn)，他們之間的長(zhǎng)度就等于AP加BP的長(zhǎng)度.再結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短這一數(shù)學(xué)定律，得出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和B點(diǎn)連接直線與P直線的交點(diǎn)就是抽水站最佳建立的位置.在該題中，對(duì)稱(chēng)變換把相對(duì)棘手、毫無(wú)頭緒的題目最簡(jiǎn)化，具有極大的實(shí)際意義.

三、旋轉(zhuǎn)變換讓平面幾何化靜為動(dòng)

保持一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)，按照一定的角度對(duì)平面幾何圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，有時(shí)候可以改變學(xué)習(xí)時(shí)的觀察角度，發(fā)現(xiàn)不一樣的解題策略.旋轉(zhuǎn)之后的圖形與原圖形是全等的.在教學(xué)時(shí)，考慮旋轉(zhuǎn)變換的使用，能取得意想不到的教育效果.可以用例三來(lái)展開(kāi)論述.

在邊長(zhǎng)是100 cm的正方形花圃中，取其中相鄰兩邊為直徑，建兩個(gè)半圓形狀的花圃，求剩余花圃的總面積.解題時(shí)，同樣作出圖三，方便分析理解.要求結(jié)果即是圖中的陰影面積.不難得出，該平面幾何是矩形和圓形的組合問(wèn)題.并且有不規(guī)則圖形出現(xiàn).重合區(qū)域是3和4兩小塊.解決好兩方面的面積就可以很快算出白色面積了.所以，可以進(jìn)行一定程度的旋轉(zhuǎn)變化使題目更加清晰明了.進(jìn)行認(rèn)真觀察之后，可以發(fā)現(xiàn)區(qū)域3逆時(shí)針轉(zhuǎn)90度正好與2區(qū)域重合，區(qū)域4順時(shí)針轉(zhuǎn)90度與區(qū)域1全等.陰影部分直接通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換變成規(guī)則圖形，即△BCD的面積.最后結(jié)果就是矩形面積的一半，為500平方厘米.該方法對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化操作，使無(wú)序變?yōu)橛行颍щy變得簡(jiǎn)單.對(duì)教學(xué)和學(xué)習(xí)起到了很好的輔助功能.

四、平面幾何教學(xué)中幾何變換其他的注意點(diǎn)

除了要不斷發(fā)掘幾何變化形式之外，老師與學(xué)生也要充分發(fā)揮自身在教學(xué)中的主體作用.對(duì)老師而言，要勇于突破常規(guī)的教學(xué)思想，做到創(chuàng)新化教學(xué).對(duì)題目進(jìn)行講解時(shí)，注重多種方式綜合使用，拓展學(xué)生的思維，做到舉一反三，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)幾何的靈活性.同時(shí)，加大與學(xué)生之間的交流，做到共同學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步.對(duì)學(xué)生而言，可以加大對(duì)生活的觀察能力，從日常生活中尋找數(shù)學(xué)幾何模型，使對(duì)平面幾何的認(rèn)知更加具體，從而提高實(shí)踐能力，養(yǎng)成善于幾何變換的習(xí)慣.

五、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是一門(mén)深遠(yuǎn)的學(xué)科，其內(nèi)容變換形式多種多樣.在平面幾何這一塊，幾何變換無(wú)疑為其學(xué)習(xí)指明了更加明確的方向.而只有將課堂與課外有效結(jié)合起來(lái)，豐富課堂理論，立足實(shí)踐教學(xué)，才能使其具有更大的飛躍.

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