降低光子晶體諧振腔Q值的方法分析

郝建紅 喻 宇

(華北電力大學電氣與電子工程學院 北京 102206)

降低光子晶體諧振腔Q值的方法分析

郝建紅 喻 宇*

(華北電力大學電氣與電子工程學院 北京 102206)

該文在分析計算金屬光子晶體的正三角形晶格TE模式的色散特性、全局帶隙分布圖的基礎上，針對金屬光子晶體結構諧振腔Q值較高的問題，對降低光子晶體諧振腔Q值的方法進行了分析和設計。采用加載介質柱的混合結構和介質微擾兩種方法分別對諧振腔的Q值進行有效的控制，并分析了兩種方法對諧振腔模式選擇性的影響。結果表明，兩種方法都能在不改變諧振腔模式選擇性和場分布的基礎上有效降低Q值，而介質微擾的方法還同時清除了與TE04競爭的兩種雜模，提高了模式選擇性。

光子帶隙；Q值；諧振腔；模式競爭

1 引言

在毫米、亞毫米和太赫茲波段的回旋器件的注-波互作用過程中，強流電子束間的相互作用強度非常明顯，采用基模工作的回旋管由于尺寸小加工困難和熱損耗高[1]等問題，往往需要采用過模結構，通過高階模式[2]進行注-波相互作用。因此，在高功率高頻率器件中，比如回旋振蕩管，模式競爭就會隨著頻率的增加而變得更加激烈，使得回旋管的效率變差。為了獲得高頻純凈模式[3]的微波激勵，相互作用結構就必須具有模式選擇性。光子帶隙[4](Photonic Band Gap, PBG)結構的出現(xiàn)為解決這一問題帶來了希望。PBG結構是金屬柱[5]或介質柱按空間周期排列構成的，具有頻率選擇性。跟周期勢阱中電子能隙類似，PBG結構[6]中存在電磁波的通帶和禁帶。當PBG結構中存在缺陷時，頻率在禁帶[7]內的模式將被束縛在內，頻率不在禁帶內的模式則會從缺陷中泄漏出去。因此，采用PBG結構可以設計具有頻率選擇性[8,9]的高頻結構。

文獻[10]將三角形晶格的光子晶體應用于加速器單元，其工作頻率選在17.1 GHz，工作模式為準TM010模。與傳統(tǒng)TM010模相比，該光子晶體諧振腔具有以下特點：具有純凈的模式、傳統(tǒng)尺寸大小、輸入耦合不發(fā)生頻偏。文獻[11]設計并用軟件HFSS模擬了PBG回旋振蕩管電場分布的結果。該器件工作模式設計為類TE04模，工作頻率140 GHz，工作電壓68 kV，工作電流5 A，產生25 kW的峰值功率。同年，文獻[12]對帶有輸入耦合的PBG諧振腔進行了理論研究和冷測，工作模式是類TM01模，工作頻率是17 GHz。

以往工作研究重點大多集中于PBG回旋管腔的電壓、電流、頻率以及功率等方面的討論，而對諧振腔的品質因數(shù)Q值則沒有予以過多關注。具有較低品質因數(shù)的諧振管能最大化地縮小回旋管的自激反應，理論上，一個由PBG結構設計的PBG高頻率回旋管的有載Q值[13,14]高達135000，在這個值下回旋管的自激反應非常嚴重。PBG諧振腔的另一個優(yōu)勢就是它能通過移除一個或多個金屬柱從橫向有效地提取功率。橫向功率[15]提取決定了回旋管的提取效率，然而工作在亞毫米波段的回旋管較長，具有很高的有載Q值，導致有限的提取效率。如果能找到有效的方法控制PBG諧振腔的Q值，那么將不僅能提高PBG諧振腔的提取效率，同時也能解決諧振腔的熱損耗的問題。

本文針對金屬光子晶體Q值較高的問題，在以上工作的基礎上，探討降低PBG諧振腔Q值的設計方法，以類TE04模為例，分析了采用加載介質柱的混合結構和介質微擾的方法控制PBG諧振腔的Q值大小，并討論了兩種方法對諧振腔模式選擇性的影響。

2 基本物理模型分析

由于正三角形陣列缺陷內束縛模式場分布具有更好的角對稱性，而且TE模式能更有效地與環(huán)形電子注相互作用，本文以TE模式為例加以分析。

由Maxwell方程可以推導出關于位函數(shù)的ψ(x⊥)的Helmholtz方程：

式中，ψ為TE模式的位函數(shù)；⊥x為橫位移；zk為縱波矢量；ω為角頻率；c為光速。

TE模式下金屬柱表面滿足以下邊界條件：

其中n為金屬表面的法向量；s為金屬表面。

由于電導率在空間上的離散平移對稱性，我們可以將Helmholtz方程寫成block形式：

其中，k⊥=kxex+kyey為任意橫向波矢量，空間周期矢量T滿足：

其中m,n為正整數(shù)，a為晶格常數(shù)。

由式(3)可以導出周期性邊界條件：

式(1)聯(lián)立邊界條件式(2)，式(5)構成了Helmholtz方程的本征問題。

3 PBG諧振腔的電磁模式分析

本文采用有限差分法[16]對Helmholtz方程的本征值問題進行求解，由于正三角形晶格基本單元為菱形，應用有限差分法離散化網格，為充分利用各節(jié)點信息，差分格式采用九點差分格式，我們將Helmholtz方程式(1)以及周期性邊界條件式(5)分別差分為以下表達式：

對于式(6)和式(7)的ψi,j方程，將它劃分為(2N +1)×(2N+1)=L個網格，就有L個方程，但是除去網格點落在理想導體柱內的M個方程，剩下(LM)個方程，左邊構成的矩陣是(L-M)×(L-M)階矩陣，然后求解特征值，即可得到金屬光子晶體全局帶隙圖。考慮歸一化頻率ωa/c在0～20, r/a在0～0.5之間變化，其中ω為角頻率，r為金屬柱半徑，a為晶格常數(shù)，即金屬柱之間的距離。通過數(shù)值計算得到TE模全局帶隙圖，結果如圖1所示。

從圖1我們可以發(fā)現(xiàn)當r/a＜0.2時整個PBG結構是不存在全局帶隙的，當0.2＜r/a＜0.33時存在一個全局帶隙，而當r/a＞0.33時，存在多個全局帶隙，圖1給出了3個全局帶隙分別可以對不同頻率的PBG結構進行設計。

圖2為金屬圓柱正三角晶體的PBG諧振腔截面圖，其中R1為中心缺陷的內切圓半徑。如圖將整個PBG結構中間三層金屬柱全部去掉，根據幾何關系可以得

而對于圓柱波導其TEmn模的截止波長滿足：

其中ymn為m階貝塞爾函數(shù)的導函數(shù)的第n個根，R2為圓柱波導的截止半徑。為了方便分析，我們假定PBG結構的內切圓半徑與圓柱波導中電磁模式對應的截止半徑相近，即

圖1 正三角形晶格中TE模式全局帶隙圖

圖2 PBG諧振腔截面示意圖

因為正三角形結構具有良好的角對稱性，因此我們選取角對稱性比較好的TE04模來設計PBG諧振腔，選取的工作點如圖1(圖中的黑點)所示，選擇r/a=0.365，晶格常數(shù)和金屬柱半徑分別為a=1.99, r=0.727。圖3給出了類TE04模本征頻率為141.53 GHz的PBG諧振腔和傳統(tǒng)諧振腔橫向截面上的場分布圖。

對比圖3(a)和3(b)，可以看出PBG諧振腔有效將TE04模束縛在缺陷區(qū)域內，其場分布與普通諧振腔一致且具有一定的模式選擇性，但是其Q值卻高達13865.2，相比普通141 GHz的普通諧振腔高出10倍之多。

4 降低PBG諧振腔Q值的優(yōu)化設計

對于諧振頻率為140 GHz的PBG諧振腔，它的熱負荷和自激反應將非常激烈，嚴重影響了PBG諧振腔的正常工作。本節(jié)將分別討論采用加載介質柱和介質微擾的方法對PBG諧振腔的Q值進行優(yōu)化設計，并總結了優(yōu)化后的PBG諧振腔工作中的工作參數(shù)以及競爭模式。

4.1 采用加載介質柱混合結構降低Q值

傳統(tǒng)的諧振管直接加載介質柱，電子束會使這些介質充電，這樣便會產生額外的空間電荷，導致電子束在傳播中發(fā)生分裂。目前，一種可以控制PBG回旋管Q值的方法是采用介質柱來代替其中一部分金屬柱，形成混合腔。在混合PBG結構中，一方面，為了避免介質填充對諧振腔電磁特性的不良影響，介質柱要盡量遠離電子束；另一方面，介質柱置于PBG結構的外層，又削弱了混合結構降低Q值的作用。所以，要綜合兩方面因素進行介質柱位置的優(yōu)化設計。

4.1.1 介質柱位置對Q值的影響 在介質柱混合PBG結構中，為了避免介質填充對諧振腔電磁特性的不良影響，在設計上要把介質柱隱蔽在一排或者幾排金屬柱后面。這樣介質柱離電子束通道更遠，在介質柱前一排的金屬柱將會把電子束屏蔽掉。這種設計能極大減小介質填充的影響。圖4分別給出了靠近中心第2層和第3層的銅柱換成介電常數(shù)為ε=12.27，介質損耗率為tan(δ)=0.3的介質柱(介質材料陶瓷在真空器件中被廣泛應用，在通過低溫共燒技術后其介電常數(shù)在2～2000范圍內變化)后的場分布圖，圖4(a)結構的品質因數(shù)低至135.637，但和圖3(b)對比可以看出，這種混合結構的諧振腔雖然大體上把能量禁錮在了缺陷區(qū)內，但是邊緣區(qū)域的能量和電場大小都發(fā)生了變化。我們對此進行了改進，將介質柱向外移動一層，如圖4(b)所示，計算結果是其Q值為387.676，且電場分布與圖3(b)相比沒有太大的變化。雖然這種混合結構的PBG腔對于Q值的控制沒有圖4(a)那么強，但是已經具有很低的有載Q值，能夠滿足回旋振蕩管的加工和工作要求。

為了便于更好地分析介質柱的位置和Q值的關系，我們將諧振腔的周期柱排列擴大到6層，從而進一步分析了第3層和第4層的銅柱加載介質柱對諧振腔Q值的影響，如圖5(a)和5(b)所示。為了方便分析，我們將幾種位置加載介質柱結構的諧振腔的Q值匯總于表1。由此可知，加載介質柱能夠有效的控制Q值的大小，而且隨著加載介質柱離中心缺陷區(qū)域距離的增加，Q值也隨著增加。

實際上，因為此設計采用的是用介質柱的損耗來減少諧振腔的Q值，所以隨著介質柱到中心缺陷區(qū)域距離的增加，介質柱與中心電子束的作用也跟著降低，Q值也自然升高了。同時我們發(fā)現(xiàn)只要介質柱在第3層及其以后其諧振腔的能量和場分布都能比較完善禁錮在中心缺陷區(qū)域，所以，為了獲得滿足要求的場分布和較低Q值的相互作用結構，只要保證最里層為金屬柱，設計第3層或其它層為介質柱就可以達到不同程度降低Q值的目的。實際中，可以根據不同的需求進行優(yōu)化設計，達到最佳狀態(tài)要求。

圖3 諧振頻率為141 GHz的類TE04的場分布

圖4 第2層和第3層金屬柱換成介質柱后諧振腔的場分布

圖5 諧振腔第3層和第4層加載介質柱

表1 介質柱的位置和Q值的關系

4.1.2 介質材料對Q值的影響 上一節(jié)討論了介質柱位置變化和品質因數(shù)Q的關系，下面將進一步討論加載介質柱的介電常數(shù)和介質損耗率對品質因數(shù)Q的影響。保持圖4(b)諧振腔結構不變，控制介質損耗率為0.3，可以得出諧振腔Q值隨介質柱介電常數(shù)的變化，如圖6(a)所示，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)隨著介電常數(shù)增加品質因數(shù)Q值相應增加，基本是呈線性關系，而且變化幅度在100以內，對于一個介質加載諧振腔可以通過調整介電常數(shù)的大小對諧振腔Q值進行細微調整。圖6(b)也是保持圖4(b)諧振腔結構不變，并控制介電常數(shù)為12.27時，Q值與介質損耗率的關系，可以看出總體上隨著介質損耗率的增加品質因數(shù)是減少的，但是隨著介質損耗率的增大，介質發(fā)熱越嚴重，能量損耗也就越多。在PBG諧振腔中，介質柱是作為一個絕緣體出現(xiàn)在諧振腔內，而當作絕緣材料或電容器材料的高聚物時，介質損耗率越小越好。所以，對于140 GHz的諧振腔介質損耗率最好在0.2～0.3左右。

圖6 介質材料的參數(shù)和Q的關系

以上分析表明，對于加載介質柱的PBG諧振腔，可以根據實際應用需要，用介質柱的位置對諧振腔的Q值進行大調，再用介電常數(shù)的大小對諧振腔的Q值進行微調，并同時把介質損耗控制在0.22左右，從而達到滿意的要求。

4.2 通過介質微擾控制Q值大小

加載介質柱的混合腔設計雖然在一定程度上可以降低品質因數(shù)Q的大小，但同時也造成了一定的介質損耗。考慮到實際工程中，介質柱的損耗是非常嚴重的，而且介質柱和銅柱之間的距離非常近(大約為0.5 mm)，損耗產生的一些污穢物不能及時清理就會附著在銅柱上，對諧振腔電磁特性產生不良影響，影響諧振腔的正常工作。因此為了減小介質損耗對諧振腔電磁特性的影響，我們考慮將加載介質柱設計改為介質微擾的方法來控制Q值的大小。

在由金屬柱構成的PBG諧振腔的缺陷區(qū)域中，插入4根介質柱作為微擾，插入微擾(介質柱)的位置盡量在TE04場分布為接近為0的位置(見圖7(a))，根據文獻[17]介質微擾公式為

其中f0, f分別表示諧振腔原來的諧振頻率和經擾動后的諧振頻率，V是諧振腔的體積，V1是加載的介質體積。

式(11)可以計算出諧振腔經微擾后的新諧振頻率和材料之間的關系。選定插入圓柱形介質柱的基本參數(shù)為：介電常數(shù)為11.7，介質損耗為0.22，圓柱半徑為0.2 mm，介質柱的高度和腔體高度一致。計算得到介質微擾后的諧振腔的工作頻率為142.34 GHz，其Q值為1535.44，與原諧振腔的Q值相比縮小了約9倍，很大程度上控制了Q值的大小。加入介質微擾后諧振腔場分布如圖7(b)所示，從圖中可以看出，TE04的場分布與未加介質微擾的諧振腔場分布一致，說明介質微擾比介質柱加載對TE04電場的影響要小得多，這主要是因為微擾介質柱放置在TE04模的電場分布為0的位置上，也就是處于圖7中圓環(huán)部分。從圖中我們還可以發(fā)現(xiàn)介質柱和銅柱的距離保持在3 mm左右，可以有效地控制介質損耗殘留對銅柱的影響。這樣不僅保證了諧振腔的工作環(huán)境，而且解決了諧振腔Q值過高問題。但這種方法對于諧振腔Q值的控制并沒有第1種那么強，而且此種方法略微改變了諧振腔TE04的工作頻率，對于工程計算也會帶來一些不便。

4.3 低Q值PBG結構諧振腔的模式選擇性

PBG諧振腔與普通諧振腔相比最大的優(yōu)勢在于能夠很大程度上抑制模式競爭，保證諧振腔的單模運行。對于一個140 GHz的TE04普通諧振腔，在其工作頻段上模式競爭非常嚴重。然而加載PBG結構后的諧振腔能在很大程度上抑制雜模在腔內傳播。采用加載介質柱和介質微擾方法能夠將PBG諧振腔的Q值進行有效的控制，但不希望破壞它的模式選擇性。為此我們在130～155 GHz范圍內對普通諧振腔、PBG諧振腔、加載介質的PBG混合腔以及介質微擾的PBG諧振腔進行了模式分布的計算，其結果歸納為表2。

從表2可以看出PBG諧振腔能夠有效地減少諧振腔中的競爭模式，加載介質柱的方法并沒有影響到PBG諧振腔的模式選擇性，而且相應模式的諧振頻率也幾乎是一樣的，所以采用加載介質柱的方法不僅能夠有效地控制Q值，而且諧振腔的模式選擇性和諧振頻率也沒有發(fā)生改變。另外，采用介質微擾后，諧振腔中存在的模式減少了兩種，分別是TE72和TE121，這是因為利用微擾原理改變諧振腔的諧振頻率，使原本處于禁帶的模式的頻率改變，從而將雜模的頻率調整到通帶頻率范圍內，增強了諧振腔的模式選擇性。所以介質微擾的方法不僅能夠有效控制Q值的大小，還能增加諧振腔的模式選擇性，但諧振腔的諧振頻率略微有所改變。

圖7 諧振腔的橫截面圖

表2 模式選擇性的比較

5 結論

本文在分析計算金屬光子晶體的正三角形格子TE模式的色散特性、全局帶隙分布圖的基礎上，針對光子金屬晶體結構PBG諧振腔Q值較高的問題，設計了兩種PBG介質混合結構用于控制PBG諧振腔Q值的大小，兩種方法各有利弊，具體總結如下：(1)采用加載介質柱的混合結構能夠很大程度上控制PBG諧振腔Q值的大小，并可以通過改變介質柱的位置和介電常數(shù)以及介質損耗因數(shù)來滿足不同工程對Q值的需求。但介質柱損耗殘留污穢物會破壞諧振腔的電磁特性，從而影響諧振腔的正常工作。(2)為了減小介質柱對場分布的影響，將介質柱加載改為介質柱微擾，經過微擾后的PBG諧振腔，Q值明顯降低，其大小為原PBG諧振腔的1/9，同時也解決了介質殘留影響PBG諧振腔電磁特性的問題。(3)比較了兩種方法對諧振腔模式選擇性的影響，發(fā)現(xiàn)加載介質柱的方法并沒有改變諧振腔的模式選擇性和諧振頻率，而介質微擾法不但沒有增加諧振腔的模式競爭反而清除了TE04的兩種競爭雜模，提高了模式選擇性，但會略微提高的諧振腔的諧振頻率。

上述降低Q值的方法可以為適合實際需求的PBG諧振腔的工程設計提供理論參考。

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郝建紅： 女，1960年生，教授，博士生導師，主要研究方向為高功率微波、混沌控制等.

喻 宇： 男，1989年生，碩士，主要研究方向為高功率微波.

Analysis of the Method to Decrease the Q Value in Photonic Band Gap Cavity

Hao Jian-hong Yu Yu
(Institute of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Based on analyzing the dispersion characteristics and global band gaps for general two-dimensional Photonic Band Gap (PBG) structures formed by triangular arrays of metal posts for TE modes, two methods are proposed to solve the problem of the high Q value in PBG cavity. The result shows that the Q value can be effectively controlled by loading media structures or inserting dielectric perturbation in PBG cavity. In consideration of mode competition in PBG cavity, the mode selection is calculatedrespectively for the two methods. It is shown that the two methods both can control the Q value without reducing the mode selection or changing the electric field distribution of TE04mode. In addition, two competing modes are cleared in the method of dielectric perturbation, which improves the mode selection at the operation frequency of TE04mode.

Photonic Band Gap (PBG); Q value; Resonator; Mode competition

TN129

A

1009-5896(2015)03-0739-07

10.11999/JEIT140486

2014-04-15收到，2014-09-17改回

國家自然科學基金(61372050, 61250008)資助課題

*通信作者：喻宇 252423540@qq.com