數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)習(xí)的快樂(lè)

趙娜

在日復(fù)一日的教學(xué)生涯中，總想為自己略顯枯燥的生活裝點(diǎn)一些亮色。因此每當(dāng)自己在課堂上有所新的嘗試而獲得成功的時(shí)候，那種從心里發(fā)出來(lái)的喜悅是很難用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)的。而這種快樂(lè)的體驗(yàn)又促使我進(jìn)行新的嘗試。有時(shí)甚至體會(huì)到了“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”那種感覺(jué)。下面將我的快樂(lè)與大家分享。

快樂(lè)之一：讓學(xué)生在思維的活動(dòng)中閃現(xiàn)哲學(xué)的火花

懂得一些哲學(xué)常識(shí)的人知道：“矛盾的普遍性存在于特殊性之中，沒(méi)有矛盾的特殊性就沒(méi)有矛盾的普遍性，二者相互聯(lián)系不可分割”。因而當(dāng)我們解決一個(gè)問(wèn)題后，能否有意識(shí)的進(jìn)行反思，從而找到問(wèn)題的本質(zhì)，再去解決另外一些特殊問(wèn)題。這就反映出，我們是否在自覺(jué)的運(yùn)用從特殊到一般，再由一般到特殊的唯物辯證規(guī)律指導(dǎo)我們的教學(xué)實(shí)踐。如果在教學(xué)中能適時(shí)地向?qū)W生滲透辯證法，相信將對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)起到一定作用。下面略舉兩例以說(shuō)明：

例1：（1）a，b∈R+，求證：a3+b3≥a2b+ab2

（2）a，b∈R+，求證：a5+b5≥a3b2+a2b3

本題證明思路比較明顯，作差—變形—判斷符號(hào)。但更為重要的是，在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生作更一般的推廣和證明，體會(huì)由特殊到一般的思想。不難想到，有下面的推廣命題：a，b∈R+，m，n∈Z+ ?求證：am+n+bm+n≥ambn+anbm

例2：過(guò)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)的一條直線l和拋物線相交，交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）求y1？y2的值

本題解題思路比較容易，設(shè)出直線的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，消掉變量x，得到關(guān)于y的一元二次方程，最后應(yīng)用韋達(dá)定理很快求解。但更為重要的是，能否由此及彼的產(chǎn)生一系列的聯(lián)想：

①由縱坐標(biāo)之積得到定值，那么作一類比，橫坐標(biāo)之積是否是定值呢？

②能否由y2=16x推廣到一般情形y2=2Px？

③應(yīng)用逆向思維，由y1？y2=-P2，能否判定直線過(guò)焦點(diǎn)呢？

④若將直線過(guò)焦點(diǎn)F（ ，0）推廣為直線過(guò)定點(diǎn)M（a，0），則y1？y2是否為定值？

上述兩例均是從特殊題目出發(fā)，抽象出一般的結(jié)論，或類比、或聯(lián)想進(jìn)而解決更廣泛的問(wèn)題。

快樂(lè)之二：讓學(xué)生在解題中學(xué)會(huì)變換思維角度，學(xué)會(huì)退與進(jìn)

學(xué)生在解題中常常會(huì)遇到困難，但是總是苦于沒(méi)有閃現(xiàn)柳暗花明又一村的靈感，其實(shí)要想突破，亦非難事，關(guān)鍵在于我們能否運(yùn)用運(yùn)動(dòng)，變化，聯(lián)系，發(fā)展的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)聯(lián)想遷移達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化生為熟的目的。這正是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中著力培養(yǎng)學(xué)生的一種思維品質(zhì)。下面略舉兩例以說(shuō)明：

例1求下列函數(shù)的最值：

（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5（|x|≤3）

（2）y=

簡(jiǎn)析：（1）若直接展開(kāi)，則會(huì)出現(xiàn)x的4次方項(xiàng)，使問(wèn)題復(fù)雜化，若將（x+1）（x+4）結(jié)合（x+2）（x+3）結(jié)合，則有y=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+5，妙處在于出現(xiàn)了相同的x2+5x因而采用換元法，化繁為簡(jiǎn)，水到渠成。即y=（t+4）（t+6）+5 （ ）轉(zhuǎn)化成熟悉的條件二次函數(shù)進(jìn)而求解。

（2）令 ，，則y= ，轉(zhuǎn)化成熟悉的“對(duì)勾”函數(shù)，進(jìn)而求得最值.上例說(shuō)明轉(zhuǎn)化的思想在解題中有著廣泛的應(yīng)用。

例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（3n+1）7n-1（n∈N*）能被9整除。

在講解該題時(shí)，大多數(shù)同學(xué)采用了如下學(xué)生甲的解法：

學(xué)生甲：第一步驟略;第二步驟（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即（3k+1）7k-1能被9整除

當(dāng)n=k+1時(shí)，[3（k+1）+1]7k+1-1=（3k+1+3）7k？7-1=7[（3k+1）7k-1]+21？7k+6

到這一步后，好多同學(xué)“卡了殼”。

教師：真的不能再進(jìn)一步了嗎？21？7k+6能被9整除可采用什么方法？

學(xué)生乙：可以再次采用數(shù)學(xué)歸納法。

教師：非常好。除此之外，21？7k+6形式上的特點(diǎn)還能使我們想到什么方法？

學(xué)生丙：容易想到二項(xiàng)式定理，21？7k+6=3[（6+1）k+1+2]然后利用展開(kāi)式很快得證。

引來(lái)大家一片喝彩。

教師：這說(shuō)明當(dāng)我們?cè)庥鲭y題時(shí)，不要立即退縮，而是試著往前走一走，也許會(huì)出現(xiàn)豁然開(kāi)朗的感覺(jué)。但是俗話說(shuō)的好有進(jìn)有退，“退一步海闊天空”，那么退一步是否也能解決問(wèn)題呢？退到哪一步是最恰當(dāng)?shù)哪兀?/p>

學(xué)生?。簯?yīng)用歸納假設(shè)時(shí)，系數(shù)7是造成問(wèn)題復(fù)雜的主要原因，若系數(shù)是1，則問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了，接著他上黑板寫(xiě)出了解題過(guò)程。

又引來(lái)一片喝彩聲。

學(xué)生戊：我認(rèn)為既然除歸納假設(shè)外的部分必然能被9整除，而直接做又有困難，不妨采用逆向思維，由[3（k+1）+1]7k+1-1與（3k+1）7k-1作差得（18k+27）7k，顯然能被9整除，問(wèn)題迎刃而解。

看到學(xué)生們精彩的思維活動(dòng)，我感到了由衷的喜悅.學(xué)會(huì)變換角度考慮問(wèn)題，進(jìn)則不畏艱辛，退則靈活巧妙不失為一種解題策略。

快樂(lè)之三：讓學(xué)生在一題多解，一題多變的變式教學(xué)中感受發(fā)散思維的魅力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心，而思維能力的培養(yǎng)要通過(guò)精心設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析，探討，才能達(dá)到在解題過(guò)程中發(fā)展智力，提高能力的目的。因此精心選題，充分挖掘題目本身的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)常對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解，一題多變的變式訓(xùn)練，不僅能鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法，而且能有效的優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維能力。進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的最終目的。下面略舉兩例以示說(shuō)明：

例1：已知x，y∈R+，且x+y=1，求 的最小值

此題先讓學(xué)生思考，探索討論后，學(xué)生給出了諸多解法，歸納總結(jié)如下：

方法一：利用均值不等式。

方法二：利用三角換元。

方法三：均值換元。

方法四：利用二次函數(shù)求值域。

方法五：“1”的妙用。

上述解法的詳細(xì)過(guò)程略去，但并不是說(shuō)過(guò)程不重要，本文撰寫(xiě)的目的是想通過(guò)一些典型，生動(dòng)的例子，能引起我們?cè)诮虒W(xué)上的某種思考，若能達(dá)到拋磚引玉的作用則幸甚。

例2：求（1+2x）6展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)

變式一：求（1-x）6展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)

變式二：求（1-x）6（1+2x）2展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)

變式三：求（x2+3x+2）6展開(kāi)式中x11項(xiàng)的系數(shù)

變式四：求（1-x）6（1+2x）2展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和

變式五：求（1-x）6（1+2x）2展開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和

以上兩例主要是想通過(guò)一題多解，一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，從多角度，多方位思考問(wèn)題，用多種方法進(jìn)行嘗試，使學(xué)生在思維的廣闊天地里翱翔。