懸鏈線的幾何特征

邱為鋼

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

質(zhì)量均勻分布的繩子，兩端固定，在重力場(chǎng)中重力勢(shì)能最小的繩子位形，就是懸鏈線[1，2].文獻(xiàn)[2]討論了懸鏈線幾何形狀與外力作用形式的聯(lián)系.本文的懸鏈線模型，繩子兩端在同一水平線上，外力只有重力和繩子最底端懸掛重物施加的拉力，這相當(dāng)于文獻(xiàn)[2]中外力分布函數(shù)為連續(xù)分布疊加一個(gè)單點(diǎn)的離散分布.懸鏈線兩端的水平距離定義為寬度2D，兩端連線到繩子最低點(diǎn)的垂直距離定義為高度H，如圖2所示.半寬度D和高度H就是懸鏈線的幾何特征.實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，半寬度D變大，高度H則變小，反之亦然.物理現(xiàn)象研究的問(wèn)題之一就是找出兩個(gè)變化物理（或者幾何）量所隱含的關(guān)系.即，懸鏈線的幾何特征、寬度和高度滿足什么樣的關(guān)系式？

1 理論推導(dǎo)

首先利用微元分析法來(lái)推導(dǎo)懸鏈線方程，設(shè)懸鏈線的長(zhǎng)度是2l，線密度是ρ.由對(duì)稱(chēng)性，設(shè)懸鏈線的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，最低點(diǎn)懸掛重物，其質(zhì)量為m.弧長(zhǎng)坐標(biāo)在（s，s＋ds）的繩子微元受到3個(gè)力：兩端的張力，大小分別為T(mén)（s）和T（s＋ds），重力G＝ρgds，如圖1所示.

圖1 繩子微元受力分析示意圖

繩子微元受力平衡，分解為水平和豎直方向，得到

其中，θ（s）是弧長(zhǎng)坐標(biāo)s處懸鏈線切線與水平方向的夾角，且有

懸鏈線最低點(diǎn)重物受力平衡，有

其中，T0是懸鏈線最低端的張力；θ0是懸連線最低端切線與水平方向的夾角，m是重物質(zhì)量.由式（1），式（2）和式（4）解得

作變量代換tanθ＝sinhτ，這樣有cosθ＝1／coshτ，sinθ＝tanhτ.設(shè)τ0是繩子最底端對(duì)應(yīng)的參數(shù)，τ1是繩子其中一個(gè)端點(diǎn)（不妨設(shè)為右端）對(duì)應(yīng)的參數(shù).把式（5）代入式（3），計(jì)算得到懸鏈線形狀的參數(shù)方程

其中比例系數(shù)k是重物質(zhì)量m與懸鏈線質(zhì)量的比值，與參數(shù)τ1，τ0的關(guān)系式為

由式（6）和式（7）得到懸連線的半寬度D和高度H為

式（9）、式（10）就是懸鏈線半寬度D和高度H的參數(shù)方程.

接下來(lái)討論兩個(gè)極限，一個(gè)是不掛重物，此時(shí)k＝0和τ0＝0，懸鏈線形狀方程為

另一個(gè)是重物質(zhì)量為無(wú)窮大，相當(dāng)于鏈子質(zhì)量為零，很容易看出懸鏈線形狀為V字形的兩個(gè)線段.

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中所用的鏈子長(zhǎng)度是66cm，質(zhì)量是17.706g.懸掛重物（砝碼）分別為2g，5g和10g.寬度固定為16，20，24，28，32，36，40cm.實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖和懸鏈線寬度2D和高度H標(biāo)注如圖2所示.

圖2 實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖和懸鏈線寬度2 D和高度H 標(biāo)注圖

實(shí)驗(yàn)測(cè)得懸鏈線高度H（單位cm）數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 懸掛不同重物時(shí)懸鏈線高度H與寬度2D數(shù)據(jù)表

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)和理論公式（9）、（10），我們得到以下4個(gè)懸鏈線高度H和半寬度D的關(guān)系圖（圖3～圖6），其中實(shí)線是理論曲線，三角形標(biāo)記是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

圖3 m＝0g高度與寬度關(guān)系圖

圖4 m＝2g高度與寬度關(guān)系圖

圖5 m＝5g高度與寬度關(guān)系圖

圖6 m＝10g高度與寬度關(guān)系圖

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)稱(chēng)懸鏈線最明顯的幾何特征就是它的高度和寬度，這在實(shí)驗(yàn)上很容易測(cè)量和調(diào)節(jié).懸鏈線最底端也可以懸掛重物，這又可以增加一個(gè)可以調(diào)控的參量.實(shí)驗(yàn)中得到了懸鏈線高度和寬度的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)落在哪條理論曲線附近，就對(duì)該理論分析進(jìn)行驗(yàn)證.我們使用最簡(jiǎn)單的模型，繩子質(zhì)量均勻分布，繩子微元受力平衡，得到微分方程組.利用變量代換，得到了繩子坐標(biāo)與參量的明確表示式，進(jìn)而得到了懸鏈線寬度D和高度H的參數(shù)方程.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本落在理論曲線附近，說(shuō)明我們的模型建立和理論推導(dǎo)是基本正確的.

[1]于鳳軍，崔金玲，李立新.利用平衡原理導(dǎo)出懸鏈線方程[J].物理與工程（原名工科物理），1998，8（4）：14-16.

[2]李玉良，黃湘茹.勻質(zhì)懸鏈幾何形狀的力學(xué)研究[J].物理與工程，2013，23（1）：8-10.