氫原子能級(jí)Stark位移的理論研究

樊 娟，李小勇*，王文海

(西北民族大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，甘肅蘭州 730030)

氫原子能級(jí)Stark位移的理論研究

樊 娟，李小勇*，王文海

(西北民族大學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，甘肅蘭州 730030)

利用對(duì)角化方法，通過數(shù)值求解氫原子處于靜電場(chǎng)中薛定諤方程，研究了氫原子的Stark能級(jí)分裂，計(jì)算得到了n=7,10,15,16,17,18能級(jí)附近的Stark位移.

Stark位移;氫原子;對(duì)角化

氫原子中電子受到對(duì)稱的庫(kù)侖場(chǎng)的作用，第n個(gè)能級(jí)有n2重簡(jiǎn)并.當(dāng)氫原子處在外電場(chǎng)中時(shí)，電子所受勢(shì)場(chǎng)的球?qū)ΨQ性受到破壞，能級(jí)發(fā)生移動(dòng)或分裂，簡(jiǎn)并度降低.這種在外電場(chǎng)中氫原子能級(jí)發(fā)生移動(dòng)或分裂的現(xiàn)象，稱之為氫原子的Stark效應(yīng).Stark效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，證實(shí)了玻爾氫原子理論模型的正確性，為早期量子力學(xué)的發(fā)展提供了一定的實(shí)驗(yàn)支持，并開啟了人們研究原子與外場(chǎng)相互作用的大門，并且Stark效應(yīng)對(duì)于理解原子或者分子光譜等也具有非常重要的意義.

Stark效應(yīng)發(fā)現(xiàn)后,人們對(duì)其產(chǎn)生了濃厚的興趣.理論上已發(fā)展了好幾種研究Stark位移的方法，最常用的有微擾法、解析法(或半解析法)和直接數(shù)值求解法.時(shí)慶云[1]對(duì)氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)進(jìn)行了研究，并討論了n=1,2,3三個(gè)能級(jí).曾謹(jǐn)言[2]同樣也對(duì)氫原子的一級(jí)Stark效應(yīng)進(jìn)行了研究.許新勝等[3]研究了氫原子低能級(jí)的Stark效應(yīng)，基態(tài)精確到了二級(jí)修正.蘇燕飛等[4]給出了任意狀態(tài)下氫原子Stark效應(yīng)中的久期方程行列式中各矩陣元的分布規(guī)律，并給出了n=1，2，3，4能級(jí)對(duì)應(yīng)的久期方程.這些研究都采用了微擾法.用微擾法研究氫原子的Stark位移時(shí)，當(dāng)氫原子處于弱外電場(chǎng)下且研究的為高激發(fā)態(tài)時(shí)，計(jì)算得到的結(jié)果能與實(shí)驗(yàn)符合很好，但當(dāng)氫原子置于強(qiáng)外電場(chǎng)中，并且研究的為低態(tài)激發(fā)態(tài)時(shí)，微擾法就不能給出有意義的結(jié)果.有時(shí)人們期望能夠找到含時(shí)薛定諤方程的解析解(或半析解解).這是由于解析解(或半解析解)不僅給出的結(jié)果簡(jiǎn)單，便于把握規(guī)律，而且物理意義明確.但是，解析法或半解析法的結(jié)果僅僅對(duì)某些特定的原子或特定的條件才適用.因此，它的應(yīng)用范圍受到了很大的限制.事實(shí)上，比微擾法、解析法(或半解析法)應(yīng)用范圍廣的方法是直接數(shù)求解法.隨著計(jì)算機(jī)性能和速度的飛速提高和計(jì)算方法的不斷完善，使用計(jì)算機(jī)來直接進(jìn)行數(shù)值求解就顯得更加容易了.針對(duì)微擾法和解析法(或半解析法)的不足，我們采用了數(shù)值對(duì)角化來研究氫原Stark位移.1979年，Zimmerman 等[5]利用對(duì)角化的辦法研究了里德堡堿金屬原子的Stark效應(yīng)，并且得到與實(shí)驗(yàn)符合的結(jié)果.

本文首先給出氫原子在外電場(chǎng)中的哈密頓算符，并寫出與其對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)式，然后通過零場(chǎng)下氫原子的本征值和本征函數(shù)來構(gòu)造靜電場(chǎng)中的波函數(shù)，再通過數(shù)值對(duì)角化方法得到任意態(tài)氫原子的Stark位移.

1 理論方法

外電場(chǎng)中，不考慮電子的自旋和相對(duì)論效應(yīng)，氫原子的哈密頓算符為(原子單位)

(1)

(2)

(3)

由于價(jià)電子所受的作用勢(shì)為中心勢(shì)，因此，零場(chǎng)下氫原子的波函數(shù)為

(4)

其中，Rn l(r)為徑向波函數(shù);Yl m(θ,φ)為球諧波函數(shù);n,l,m分別為主量子數(shù)、角量子數(shù)和磁量子數(shù).

(5)

當(dāng)存在外電場(chǎng)時(shí)，本征值方程為[6]

(6)

(7)

用Φi左乘(6)式并積分得到

(8)

其中，哈密頓矩陣元為

(9)

(10)

(11)

理想情況下，(7)式中的求和應(yīng)該取無窮多項(xiàng)，但在實(shí)際計(jì)算中很難實(shí)現(xiàn).如何選擇求和的基函數(shù)，對(duì)實(shí)際的計(jì)算具有重要意義.求和中參與求和的基函數(shù)及相應(yīng)的個(gè)數(shù)選擇得當(dāng)，不僅可以大大減少計(jì)算工作量，而且還可以保證必要的精度.

在一般情形下，只有能量在所研究的態(tài)鄰近的那些激發(fā)態(tài)會(huì)對(duì)所研究的態(tài)產(chǎn)生較大影響.因此可以選擇其附近能區(qū)內(nèi)的態(tài)函數(shù)作為基函數(shù).用(n,l)表示絕熱近似下與自由原子主量子數(shù)為n,角量子數(shù)為l相聯(lián)系的Stark態(tài)，而用(n,li-lj)表示(n,l),(n,li+1),…(n,lj)等一組相鄰近的Stark態(tài).

2 結(jié)果與討論

2.1 基函數(shù)的選取

在氫原子9S態(tài)對(duì)應(yīng)能量處，上下對(duì)稱的截取n=6到n=11的態(tài)作為基函數(shù)組，得到的51個(gè)自由原子的波函數(shù)，為了檢驗(yàn)基函數(shù)選取的完備性，同時(shí)選取主量子數(shù)n=1到n=15所有120個(gè)自由原子波函數(shù)作為基函數(shù)組.最后得到的兩組結(jié)果符合的很好，相差最多不超過10-6Hartree.表1為計(jì)算得到的結(jié)果.

可見，在選取基函數(shù)時(shí)，只要選取的基保證有足夠的精度就行.這樣，即減少了對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存需求，又提高了計(jì)算效率.

表1 Stark態(tài)9S能量隨靜電場(chǎng)強(qiáng)度的變化(0.01 Hartree)

2.2 氫原子的Stark位移

下面根據(jù)基函數(shù)的選取，所研究的態(tài)鄰近的那些激發(fā)態(tài)會(huì)對(duì)所研究的態(tài)產(chǎn)生較大影響，選擇其附近能區(qū)內(nèi)的態(tài)函數(shù)作為基函數(shù).通過數(shù)值對(duì)角化的辦法，研究氫原子在不同外電場(chǎng)強(qiáng)度下，不同主量子數(shù)的Stark位移結(jié)果.

2.2.1 氫原子置于外電場(chǎng)中n=7附近的一簇Stark位移 在計(jì)算時(shí)，截取n=4到n=10，則基函數(shù)組由自由原子的波函數(shù)(4，0-3)，(5，0-4)，(6，0-5)，(7，0-6)，(8，0-7)，(9，0-8)，(10，0-9)組成，共記49個(gè)，得到圖1.從圖1可以看出，氫原子n相同l不同的態(tài)，在零場(chǎng)下是簡(jiǎn)并的，置于外電場(chǎng)中發(fā)生了Stark分裂.在一定的外電場(chǎng)范圍內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度與能量呈線性關(guān)系.從這些Stark態(tài)中可以看出它們的間距大致相等，并且可以計(jì)算n相同l不同的兩個(gè)Stark態(tài)的大致能量之差，得到它們的差值大致相等.

圖1 氫原子附近的一簇Stark態(tài)

2.2.2 氫原子在外電場(chǎng)中n=7和n=10附近的兩簇Stark位移的比較 在計(jì)算時(shí)，分別截取n=4到n=10和n=7到n=13作為基函數(shù)組，分別得到49個(gè)自由原子的波函數(shù)和70個(gè)自由原子的波函數(shù)，如圖2所示.從圖中可以看出，兩簇Stark能譜中，n相同l不同的兩個(gè)Stark態(tài)，n越大的發(fā)生Stark位移越大，n越小的發(fā)生的Stark位移越小.

圖2 氫原子n=7和附近兩簇的Stark位移

2.2.3 氫原子在外電場(chǎng)中n=15和n=16相鄰的兩簇Stark位移比較 在計(jì)算時(shí)，截取n=13到n=18，則基函數(shù)由自由原子的波函數(shù)(13，0-12)，(14，0-13)，(15，0-14)，(16，0-15)，(17，0-16)，(18，0-17)組成，共記93個(gè)，得到Stark態(tài)(15，14)和Stark態(tài)(16，0)相交，如圖3所示.可以看出,兩組鄰近的能態(tài)發(fā)生Stark分裂時(shí)，在某一外電場(chǎng)范圍內(nèi)Stark態(tài)(n,n-1)與Stark態(tài)(n+1,0)會(huì)發(fā)生交叉，如圖3中A點(diǎn).該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的外電場(chǎng)強(qiáng)度大致為2 070 V·cm-1.

為了更好地檢驗(yàn)基函數(shù)選取的有效性以及更深入地研究Stark效應(yīng)，下面來研究較高激發(fā)態(tài)的氫原子.

圖3 氫原子n=15和附近兩簇的Stark位移Fig 3 Stark state of H atom with n=15

2.2.4 氫原子在外電場(chǎng)中n=17和n=18相鄰的兩簇Stark位移 計(jì)算時(shí)，分別截取n=15到n=20，則基函數(shù)組由自由原子的波函數(shù)由(15，0-14)，(16，0-15)，(17，0-16)，(18，0-15)，(19，0-18)，(19，0-18)，(20，0-19)組成，共記124個(gè)，得到Stark態(tài)(17，16)和Stark態(tài)(18，0)發(fā)生交叉，如圖4中A點(diǎn)，并且A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的外電場(chǎng)強(qiáng)度大致為1 260 V·cm-1.

由圖3和圖4比較可以看出,它們交叉點(diǎn)的位置不同.并可以明顯地看出圖4中A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的外電場(chǎng)強(qiáng)度比圖3中A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的外電場(chǎng)強(qiáng)度小.

圖4 氫原子n=17和附近兩簇的Stark位移Fig 4 Stark state of H atom with n=17

綜上所述，氫原子置于外電場(chǎng)中發(fā)生Stark分裂時(shí)，在一定的外電場(chǎng)范圍內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度與能量呈線性關(guān)系，并且相鄰的兩Stark態(tài)之間的間距大致相等.在兩簇相鄰的Stark能譜中，在外電場(chǎng)強(qiáng)度足夠的條件下，Stark態(tài)(n,n-1)和Stark態(tài)(n+1,0)會(huì)在某一定外電場(chǎng)范圍內(nèi)會(huì)發(fā)生第交叉，且該交叉點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的外電場(chǎng)強(qiáng)度隨主量子數(shù)n的升高而降低.

3 結(jié)束語

針對(duì)微擾法、解析法(或半解析法)的不足，采用數(shù)值對(duì)角化的辦法研究了氫原子置于外電場(chǎng)時(shí)的Stark位移.研究表明，用數(shù)值對(duì)角化的方法無論研究弱場(chǎng)還是強(qiáng)場(chǎng)下的高、低激發(fā)態(tài)的氫原子的Stark位移，都能得到很好的結(jié)果.另外，本文還給出了不同主量子數(shù)下Stark態(tài)的分裂規(guī)律，比較了Stark態(tài)能級(jí)交叉點(diǎn)隨n的變化情況.

[1] 時(shí)慶云.量子力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，1993：256-259.

[2] 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)：卷Ⅰ[M].北京：科學(xué)出版社,2001：356-347

[3] 許新勝，張先燚,涂興華.氫原子低能級(jí)的Stark效應(yīng)[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2001，24(1):21-26.

[4] 蘇燕飛，張昌莘,席偉.氫原子Stark效應(yīng)的能級(jí)分裂規(guī)律[J].大學(xué)物理,2004,24(2):8-10.

[5] ZIMMERMAN M L,LITTMAN M G,KASH M M,et al.Stark structure of the Rydberg states of alkali-metal atoms[J].PhysRevA 1979,20(6):2251-2275.

[6] 張現(xiàn)周.頻率調(diào)制場(chǎng)中里德堡原子的激發(fā)與態(tài)囚禁[D].武漢：中國(guó)科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所，2003.

[7] HOOKER A,GREENE C H,WILUAM C.Classical examination of the Stark effect in hydrogen[J].PhysRevA 1997,55(6):4069-4612.

(責(zé)任編輯 孫對(duì)兄)

Theoretical study on level energy shift of H atom

FAN Juan,LI Xiao-yong,WANG Wen-hai

(Experimental Center,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,Gansu,China)

By using the numerical diagonalization method,Stark effect of hydrogen atoms has been studied by solving Schr?dinger equation for hydrogen atoms in the static field,then we obtain the Stark shifts of the states which are in the neighborhood ofn=7,10,15,16,17,18.

Stark shift;hydrogen atom;diagonalization

2014-12-05;修改稿收到日期:2015-03-20

國(guó)家民委科研基金資助項(xiàng)目(14XB2019)；西北民族大學(xué)中青年基金資助項(xiàng)目(N12098,x2010-6)；西北民族大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目

樊娟(1984—)，女，甘肅渭源人，實(shí)驗(yàn)師.主要研究方向?yàn)榉蔷€性光學(xué)、物理教育. E-mail:fanjuan@xbmu.edu.cn*通訊聯(lián)系人，男，甘肅寧縣人，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，博士.主要研究方向?yàn)閺?qiáng)激光場(chǎng)中的原子物理.E-mail:lxycock@163.com

O 562.3+2

A

1001-988Ⅹ(2015)04-0034-04