高考導(dǎo)數(shù)題的解題方法

安徽省來安縣來安中學(xué) 李遠凱

利用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)范圍、恒成立（證明）等問題。是解決函數(shù)問題的一種重要手段，是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶，是高考題中的重點、難點。下面介紹常見的幾種導(dǎo)數(shù)的解題方法。

一、利用分離變量法解導(dǎo)數(shù)中參數(shù)范圍問題

分離變量法是通過將兩個變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同,解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知。

例1：已知函數(shù)

存在單調(diào)增區(qū)間，求a的范圍？

即存在正數(shù)解。

記當.

二、利用“特殊值”解導(dǎo)數(shù)中復(fù)雜問題

“特殊值”在解題中可以縮小參數(shù)的范圍，有利于參數(shù)討論更加簡捷?！疤厥庵怠边€可以很快找到函數(shù)的關(guān)鍵點，有利于找到更有效的解題方向，達到事半功倍的效果。

k為常數(shù)。曲線y=f(x)在點（1 ， f (1)）處的切線與x軸平行。

（1）求k的值；

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)證明：對任意x＞0都有.。

解（1）由題意得：

∵f′(1)=0,∴k =1.

∴f (x)在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減。

令,令,得。

即對于任意x ＞ 0都有.

注：在第（2）問中，利用特殊值求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就很簡捷了。

三、利用“構(gòu)造函數(shù)”解有關(guān)導(dǎo)數(shù)題

導(dǎo)數(shù)中有很多創(chuàng)新題、復(fù)雜題、不等式證明等題型，可以通過構(gòu)造合適的函數(shù)就可以迎刃而解。

1.對導(dǎo)函數(shù)進行研究構(gòu)造二次導(dǎo)數(shù)

(1)討論函數(shù) f (x)的單調(diào)性；

（2）若在（1，+∞）上恒成立，

令

在（0，+∞）上單調(diào)遞增。

當,即時，

令

所以 f (x )在（0,x1）,(x2,+∞)上單調(diào)遞增；

在（ x1,x2）上單調(diào)遞減。

（2）轉(zhuǎn)化為：在（1，+∞）上恒成立.

令，

F′(x)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則

則F(x)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則.得a≤1,又a＞0,所以a∈(0,1].

2.構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)證明不等式

例4：已知函數(shù),

（1）若不等式在x∈[0,+∞)時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

（2）當a=1時，證明：

∴當a ≥ 1時，φ(x)在x≥0上單調(diào)遞增的，成立；

當a ∈ ( 0,1)時，φ(x)在上單調(diào)遞減的，使得,不符合題意。

∴a≥1.

分析：本題（1）中利用到特殊值減少了解題步驟；（2）中利用函數(shù)單調(diào)性加以證明不等式，簡明方便。

導(dǎo)數(shù)作為解決數(shù)學(xué)問題的一種工具，它為高中數(shù)學(xué)注入了新的活力。對于一些常見方法的掌握能更加準確快捷的解決導(dǎo)數(shù)中的復(fù)雜問題。關(guān)于難繁的導(dǎo)數(shù)大題，解題的方法可以用這樣的順口溜去記憶：關(guān)注函數(shù)定義域，求導(dǎo)公式要牢記。求參范圍用分離，若遇繁難找親戚（特殊值）。構(gòu)造函數(shù)再分析，如若困難返回去。分類討論頂上去，細心認真放第一。無能為力把家分（分拆多個簡單函數(shù)），化繁為簡解難題。