一種動(dòng)態(tài)分組的粒子群優(yōu)化算法

王燕燕,葛洪偉,王娟娟,楊金龍

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇無錫214122;2.國網(wǎng)濰坊供電公司,山東濰坊261021)

一種動(dòng)態(tài)分組的粒子群優(yōu)化算法

王燕燕1,葛洪偉1,王娟娟2,楊金龍1

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇無錫214122;2.國網(wǎng)濰坊供電公司,山東濰坊261021)

針對(duì)粒子群優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)的問題,提出一種動(dòng)態(tài)分組的粒子群優(yōu)化算法。通過對(duì)鳥群習(xí)性的研究,給出交互粒子的概念,并在粒子群優(yōu)化過程中引入動(dòng)態(tài)分組機(jī)制,將種群動(dòng)態(tài)劃分成多個(gè)子種群,且每次劃分的子種群數(shù)目是從特定集合中隨機(jī)選取,從而增加交互粒子劃分到同一子種群的概率。每個(gè)子種群在收斂進(jìn)化的同時(shí),利用環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提高種群多樣性及算法搜索全局最優(yōu)解的能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與其他粒子群優(yōu)化算法相比,該算法具有更好的穩(wěn)定性、尋優(yōu)性能以及更高的收斂精度。

粒子群優(yōu)化;局部最優(yōu);全局最優(yōu);交互粒子;動(dòng)態(tài)分組;環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

1 概述

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法[1]是由Kennedy等人在1995年提出的一種基于種群的智能優(yōu)化算法,該算法具有可變參數(shù)少、簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn),得到廣泛關(guān)注。為了避免粒子陷入局部最優(yōu),提高粒子的全局搜索能力,增加算法的應(yīng)用領(lǐng)域,研究者對(duì)其進(jìn)行了大量研究,以期達(dá)到更好的優(yōu)化能力。在算法參數(shù)的改進(jìn)方面,文獻(xiàn)[2]將慣性權(quán)重引入到速度更新公式中,提高了算法的收斂速度;文獻(xiàn)[3-6]研究了慣性權(quán)重、參數(shù)的設(shè)置對(duì)算法優(yōu)化性能的影響。在種群劃分的改進(jìn)方面,文獻(xiàn)[7]將合作框架引入到PSO算法中,將種群劃分成多個(gè)子種群,通過子種群協(xié)同合作,提高種群優(yōu)化性能;文獻(xiàn)[8]將主從模式引入到PSO算法中,將種群劃分成多個(gè)子種群:由一個(gè)主群和幾個(gè)奴仆群組成,提高了種群的多樣性和收斂速度;文獻(xiàn)[9]采用控制理論的分層思想,提出多種群分層PSO算法,有效提高了算法收斂速度;文獻(xiàn)[10]提出一個(gè)基于動(dòng)態(tài)鄰居的多子種群PSO算法,避免算法陷入局部最優(yōu);文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上,提出一種基于動(dòng)態(tài)鄰居和變異因子思想的粒子群優(yōu)化算法(DNMSPSO),提升了粒子跳出局部最優(yōu)的能力。在其他改進(jìn)方面,文獻(xiàn)[12]提出基于學(xué)習(xí)策略的綜合學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化(CLPSO)算法,提高了算法解決多峰問題的性能;文獻(xiàn)[13]使用Monte Carlo隨機(jī)投點(diǎn)的方法確定粒子的具體位置進(jìn)行協(xié)同進(jìn)化更新,提高了算法優(yōu)化性能。

上述研究對(duì)提升算法的收斂速度和運(yùn)行效率有一定成效,但在種群多樣性、跳出局部最優(yōu)及收斂精度上仍存在不足。粒子群優(yōu)化算法是從鳥群尋找食物的生物現(xiàn)象中得到啟發(fā),鳥群在尋找食物的過程中可能存在結(jié)伴現(xiàn)象,且不知道哪幾只鳥結(jié)伴和結(jié)伴鳥的個(gè)數(shù)。在粒子群優(yōu)化算法中,由于粒子之間的“結(jié)伴現(xiàn)象”(簡(jiǎn)稱交互粒子)事先不知道,交互粒子的個(gè)數(shù)也不確定,因此交互粒子的出現(xiàn)可能導(dǎo)致種群陷入局部最優(yōu)。為保證種群的多樣性,避免種群陷入局部最優(yōu),提高種群的全局收斂性,提升算法的尋優(yōu)能力,本文結(jié)合鳥群結(jié)伴行為的特性,提出一種動(dòng)態(tài)分組的粒子群優(yōu)化(DGPSO)算法,將種群動(dòng)態(tài)地劃分成多個(gè)子種群,每次劃分的子種群數(shù)目從特定集合中隨機(jī)取得,且子種群的數(shù)目不定,從而增加交互粒子劃分到同一子種群的概率,而且在不同子種群中尋找全局最優(yōu),能增加種群的多樣性,避免算法易陷入局部最優(yōu)。

2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群

PSO算法是基于社會(huì)群體中個(gè)體行為的一種群體智能優(yōu)化算法,它通過共享群體的信息和個(gè)體本身經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)來引導(dǎo)個(gè)體的行動(dòng)方向,最終找到問題的最優(yōu)解。

PSO算法對(duì)種群的位置xi=[x1,x2,…,xd]和速度vi=[v1,v2,…,vd],i=1,2,…,N進(jìn)行隨機(jī)初始化,并將通過迭代更新后的xi代入目標(biāo)函數(shù)中,根據(jù)適應(yīng)度值的大小判斷找到粒子群的全局最優(yōu)解。在迭代過程中,粒子通過2個(gè)極值更新其位置和速度。一個(gè)極值是粒子本身所遍歷得到的最優(yōu)解,稱為個(gè)體最優(yōu)解;另一個(gè)極值是整個(gè)種群到當(dāng)前時(shí)刻所得到的最優(yōu)解,這個(gè)極值稱為全局最優(yōu)解。此外,還有一個(gè)局部最優(yōu)解,是指從種群中選取一部分作為當(dāng)前粒子的鄰居,取所有鄰居中適應(yīng)度值最好的值為當(dāng)前粒子的局部最優(yōu)解。PSO算法的速度和位置的更新公式為:

置的d維;w是慣性權(quán)重;c1和c2為加速因子,r1和r2是[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

3 動(dòng)態(tài)分組的粒子群優(yōu)化算法

3.1 算法原理

優(yōu)化算法在求解優(yōu)化問題時(shí),為了簡(jiǎn)化問題會(huì)在種群的進(jìn)化開始前就確定好子種群的個(gè)數(shù)及其各子種群負(fù)責(zé)搜索的優(yōu)化范圍[7-11]。然而在優(yōu)化過程中,給定的子種群粒子之間的關(guān)聯(lián)不確定,所以這樣一個(gè)靜態(tài)的分組方法很有可能將交互粒子劃分到不同的子種群中,從而降低粒子的收斂速度,增加粒子陷入局部最優(yōu)的概率。種群中的交互粒子的數(shù)目不確定,可能2個(gè)或者更多的粒子是有關(guān)聯(lián)的,為了便于理解,在此假設(shè)種群有2個(gè)交互粒子(A和B),且分別被劃分到2個(gè)子種群中,迭代過程如圖1所示。

圖1 交互粒子的迭代過程

圖1給出交互粒子的迭代過程,在種群被劃分成2個(gè)子種群的情況下進(jìn)行迭代。其中,黑箭頭表示粒子運(yùn)動(dòng)方向;白箭頭表示種群迭代進(jìn)化的過程;1和2分別表示子種群1和子種群2;A和B分別表示第一次迭代下粒子A和粒子B所處的位置;C表示第n+1次迭代下粒子A和粒子B所處的位置。假設(shè)粒子A和粒子B是各自子種群的最優(yōu)位置。隨著種群的迭代進(jìn)行,粒子A和粒子B的位置可能更新到同一個(gè)位置,那么2個(gè)子種群的局部最優(yōu)解一致,此時(shí),種群極有可能陷入局部最優(yōu)。

本文在PSO算法思想的基礎(chǔ)上,給出一種具有全局收斂性的改進(jìn)算法DGPSO。DGPSO算法不指定固定的子種群數(shù)目,而是每次迭代時(shí),從集合中隨機(jī)選取子種群數(shù)目的一種動(dòng)態(tài)的分組方法。這里的集合中包含了幾個(gè)可能的從小到大的子種群的數(shù)目s,例如,S={2,3,5,6,10}。若適應(yīng)度得到了改善,則繼續(xù)使用原來的s值;否則需要重新選取一個(gè)不同的值。盡管仍然需要設(shè)置S集,但是參數(shù)s不再是必需的。動(dòng)態(tài)隨機(jī)分組無需知道待優(yōu)化問題的任何先驗(yàn)知識(shí)。

3.2 算法進(jìn)化機(jī)制

各子種群分別進(jìn)行一次優(yōu)化搜索后,粒子各維的位置改變一次,粒子各維的速度更新公式為:

位置更新公式為:

其中,i是第m個(gè)子種群內(nèi)的粒子;m是從集合S=[s1,s2,…,st]中隨機(jī)取得的分群數(shù)目;v′p是粒子i的認(rèn)知部分;v′g是粒子i的社會(huì)部分;是第k次迭代中粒子i的局部最優(yōu)解;是當(dāng)前粒子i對(duì)應(yīng)的全局最優(yōu)解;和是第k次迭代中粒子i對(duì)應(yīng)的速度和位置;w是慣性權(quán)重;c1和c2為加速因子;r1和r2是[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

在DGPSO算法中,采用環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)策略求解局部最優(yōu)解,求解過程如圖2所示。以圖2中粒子A為例,當(dāng)前的粒子是A時(shí),鄰域?yàn)榱Ｗ覤、粒子H,取3個(gè)粒子的適應(yīng)度最小值作為粒子A的局部最優(yōu)解;當(dāng)前的粒子是B時(shí),鄰域?yàn)榱Ｗ覣、粒子C,取3個(gè)粒子的適應(yīng)度最小值作為粒子B的局部最優(yōu)解;以此向后進(jìn)行類推;當(dāng)前的粒子是H時(shí),整個(gè)粒子群的環(huán)拓?fù)溲h(huán)結(jié)束。A=min(A,B,H)表示當(dāng)前的粒子A與鄰域粒子B、粒子H的適應(yīng)度進(jìn)行比較,找出適應(yīng)度值最小值對(duì)應(yīng)的粒子作為該粒子A的局部最優(yōu)解。

圖2 環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

為取得更好的收斂性能,隨著迭代的進(jìn)行,粒子群的搜索范圍從全局逐步向局部進(jìn)行搜索,w值也隨之改變,w的更新公式如下[2]:

其中,wmax表示慣性權(quán)重的最大值;wmin表示慣性權(quán)重的最小值;u表示當(dāng)前的迭代次數(shù);maxiter表示粒子群優(yōu)化的最大迭代次數(shù)。

3.3 算法步驟

算法步驟具體如下:

步驟1設(shè)置粒子群數(shù)目、最大迭代次數(shù)、慣性權(quán)重最大值及最小值、學(xué)習(xí)因子、狀態(tài)值cc和子種群數(shù)目集合S。

步驟2隨機(jī)初始化種群中粒子的初始位置和速度。

步驟3在約束條件下求出粒子的適應(yīng)度值,并分別記錄個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。

步驟4判斷狀態(tài)值cc是否等于0,若等于0,則從集合S=[s1,s2,…,st]中隨機(jī)選取子種群的數(shù)目,按照該子種群的數(shù)目重新劃分子種群;若不等于0,則子種群保持當(dāng)前劃分。

步驟5分別求出各子種群的適應(yīng)度值,記錄個(gè)體最優(yōu)解和各子種群的全局最優(yōu)解,通過環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)策略,求出粒子的局部最優(yōu)解。

步驟6利用式(3)、式(4)更新各子種群中粒子的速度和位置。

步驟7各子種群的全局最優(yōu)解與粒子群的全局最優(yōu)解比較,若粒子群的全局最優(yōu)解并沒有得到更新,則狀態(tài)值cc不變;若得到更新,則狀態(tài)值cc加1。

步驟8判斷是否滿足終止條件,即是否已經(jīng)達(dá)到設(shè)置的最大迭代次數(shù),若滿足,則執(zhí)行步驟9;否則返回執(zhí)行步驟4。

步驟9終止優(yōu)化運(yùn)算,輸出粒子的最優(yōu)位置和全局最優(yōu)解。

3.4 算法驗(yàn)證

在種群進(jìn)化迭代中,給定的粒子群數(shù)目N隨機(jī)分成m個(gè)子種群,每個(gè)子種群包含個(gè)粒子。隨著迭代次數(shù)的增加,2個(gè)交互粒子被劃分到相同子種群的概率變得更高(推理過程,見證明),概率公式如下:

其中,X是交互粒子劃分到同一個(gè)子種群的次數(shù);k是交互粒子劃分到同一個(gè)子種群的迭代次數(shù);r是當(dāng)前的迭代次數(shù);H是總的迭代次數(shù);是的簡(jiǎn)寫,是從H個(gè)次數(shù)中取出r(r≤H)次的組合數(shù);m是子種群數(shù)目;v是交互粒子的總數(shù);X取大于或等于k值;k值限制在一個(gè)小于H大于0的范圍內(nèi)。

證明:

(1)將種群劃分成m個(gè)子種群;

(2)由概率公式可知,在種群中的粒子被劃分到其中一個(gè)

(3)假設(shè)在種群中存在著v個(gè)交互粒子,那么這些交互粒子被劃分到同一個(gè)子種群中的概率為:

(4)種群中共有m個(gè)不同的子種群,所以在種群中與步驟(3)一樣的情況會(huì)有m種不同劃分的可能,則總概率為:

(5)種群在經(jīng)過r次迭代后,所有N個(gè)粒子隨機(jī)劃分到m個(gè)子種群中,由二項(xiàng)概率分布可知,計(jì)算種群中所有交互粒子到同一個(gè)子種群的概率公式如下:

由上述證明過程可知,在不同迭代次數(shù)下,交互粒子被劃分到相同子種群的概率見式(6)。

實(shí)例當(dāng)N=40,m=10,H=50,v=4時(shí),交互粒子劃分到同一個(gè)子種群的概率為:

其中,p(1)表示在50次迭代中2個(gè)粒子被放置到同一個(gè)子種群中的情況出現(xiàn)一次的概率;p(2)表示在50次迭代中2個(gè)粒子被放置到同一個(gè)子種群中的情況出現(xiàn)2次的概率;p(50)表示有50個(gè)這樣的情況“成功”的概率。式(7)表明,隨機(jī)分組策略將幫助解決交互粒子的問題,且概率會(huì)隨著子種群的數(shù)目變化而發(fā)生相應(yīng)改變。種群最優(yōu)解的更新如圖3所示。

圖3 種群最優(yōu)解更新

將每個(gè)子種群的全局最優(yōu)解Pi_gbest,i=1, 2,…,m分別與種群的全局最優(yōu)解gbest進(jìn)行比較,用最小值取代gbest(gbest=min(gbest,P1_gbest,P2_gbest,…,Pk_gbest)),若gbest得到更新,那么仍繼續(xù)使用現(xiàn)在的分組進(jìn)行迭代;若gbest沒有得到更新,則需要對(duì)種群進(jìn)行重新分組。其中,k,k′表示粒子數(shù);m表示子種群數(shù)目。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 測(cè)試函數(shù)

為測(cè)試本文算法性能,采用了12個(gè)測(cè)試函數(shù)。

其中,f1～f5函數(shù)是單峰函數(shù);f6～f12函數(shù)是多峰函數(shù)。函數(shù)具體取值范圍和最優(yōu)解如表1所示。

表1 測(cè)試函數(shù)

4.2 結(jié)果分析

為測(cè)試DGPSO算法的有效性,本文將DGPSO算法與以下算法進(jìn)行對(duì)比:

(1)基本粒子群優(yōu)化算法PSO[2];

(2)基于動(dòng)態(tài)鄰居的DNMSPSO算法[11];

(3)基于綜合學(xué)習(xí)的CLPSO算法[12];

(4)基于協(xié)同量子的CQPSO算法[13]。

本文實(shí)驗(yàn)采用Matlab7.8進(jìn)行仿真,系統(tǒng)軟硬件環(huán)境為:2.20 GHz,4.00 GB內(nèi)存,Windows7操作系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)中,DGPSO算法與PSO算法[2]慣性權(quán)重最大值設(shè)為0.9,最小值設(shè)為0.4,學(xué)習(xí)因子c1=1.7,c2=2.05,DNMSPSO算法的參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[11]中的一致,CLPSO算法的參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[12]中的一致,CQPSO算法的參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[13]中的一致。5個(gè)算法的最大迭代次數(shù)均設(shè)置為1 000次,粒子數(shù)目為30個(gè),維數(shù)為30維,DGPSO算法的子種群數(shù)目集合為S=[2,3,5,6,10],測(cè)試函數(shù)如表1所示,取50次運(yùn)行結(jié)果的平均值。

DGPSO算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D×maxiter),其中,N為粒子群數(shù)目;D為粒子維數(shù);maxiter表示粒子群優(yōu)化的最大迭代次數(shù)。

表2為5個(gè)算法在12個(gè)測(cè)試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,其中,最差解和最好解分別表示在50次獨(dú)立運(yùn)行中,算法找到的最差的最優(yōu)解和最好的最優(yōu)解。均值表示在50次獨(dú)立運(yùn)行中,算法最優(yōu)解的平均值。方差表示50次獨(dú)立運(yùn)行中,算法的穩(wěn)定性。為了準(zhǔn)確判定算法的優(yōu)化能力,取上述測(cè)試指標(biāo)中的均值和方差作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

表2 4種算法在測(cè)試函數(shù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由表2的均值和方差結(jié)果可以看出DGPSO算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,除了在f1函數(shù)的優(yōu)化性能比CQPSO算法[13]稍差,f2～f12測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都明顯優(yōu)于其他算法,其收斂精度和穩(wěn)定性較好。

圖4～圖9給出了5種算法在6個(gè)測(cè)試函數(shù)中的迭代進(jìn)化曲線對(duì)比,為了便于觀察,將各算法尋找到的最優(yōu)解進(jìn)行取對(duì)數(shù)操作?？梢钥闯?本文提出的DGPSO算法在收斂速度上具有明顯優(yōu)勢(shì),可以有效跳出局部最優(yōu),且算法搜索到的解的精度高。由于篇幅有限,本文只列舉了6個(gè)測(cè)試函數(shù)的對(duì)比圖,在其他測(cè)試函數(shù)上算法也具有相似的性能。

圖4 算法在f3函數(shù)上的迭代效果

圖5 算法在f4函數(shù)上的迭代效果

圖6 算法在f5函數(shù)上的迭代效果

圖7 算法在f7函數(shù)上的迭代效果

圖8 算法在f11函數(shù)上的迭代效果

圖9 算法在f12函數(shù)上的迭代效果

5 結(jié)束語

本文提出一種采用動(dòng)態(tài)隨機(jī)劃分子種群策略的粒子群優(yōu)化算法。該算法能增加交互粒子劃分到同一個(gè)子種群的概率,避免不同子種群搜索范圍可能相同的情況,幫助種群跳出局部最優(yōu)。理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,DGPSO算法能有效利用粒子的共享信息、擴(kuò)大種群的搜索范圍、提高算法的尋優(yōu)性能以及處理復(fù)雜多峰問題的能力。

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編輯 陸燕菲

A Particle Swarm Optimization Algorithm of Dynamic Grouping

WANG Yanyan1,GE Hongwei1,WANG Juanjuan2,YANG Jinlong1
(1.College of Internet of Things Engineering,Jiangnan University,Wuxi 214122,China; 2.Weifang Power Supply Company,State Grid Corporation of China,Weifang 261021,China)

Aiming at Particle Swarm Optimization(PSO)algorithm is easy to fall into local optimal problems,this paper puts forward a PSO algorithm of dynamic group.Through the study of the flock behavior,the concept of interacting particles is presented.It introduces dynamic groupings into the PSO algorithm.Population is divided into multiple sub populations dynamically,and the number of each division of sub populations is randomly selected from a specific set.It increases the probability of interacting particles into the same sub population.During converging evolution,each sub population uses the ring topology structure to increase the diversity of population and the global search ability of the algorithm.Experimental results show that compared with other PSO algorithms,the algorithm has better optimal performance,stability,and higher convergence precision.

Particle Swarm Optimization(PSO);local optimum;global optimum;interacting particle;dynamic grouping;ring topology

1000-3428(2015)01-0180-06

A

TP18

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.01.033

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61305017);江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20130154);江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程基金資助項(xiàng)目。

王燕燕(1986-),女,碩士,主研方向:粒子群優(yōu)化算法;葛洪偉,教授;王娟娟,工程師;楊金龍,副教授。

2014-01-21

2014-02-20 E-mail:wangyanyanever86@163.com

中文引用格式:王燕燕,葛洪偉,王娟娟,等.一種動(dòng)態(tài)分組的粒子群優(yōu)化算法[J].計(jì)算機(jī)工程,2015,41(1):180-185.

英文引用格式:Wang Yanyan,Ge Hongwei,Wang Juanjuan,et al.A Particle Swarm Optimization Algorithm of Dynamic Grouping[J].Computer Engineering,2015,41(1):180-185.