瀝青混合料蠕變?nèi)崃哭D(zhuǎn)換為松弛模量的研究

黃文柯，張麗娟，張肖寧，邵申申

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州 510640）

瀝青混合料的路用性能十分復(fù)雜，但其力學(xué)行為主要表現(xiàn)為粘彈特性［1］。瀝青混合料可以看作一種簡單的熱流變材料，其粘彈性力學(xué)行為的研究已經(jīng)成為這一領(lǐng)域的主流研究方法。因此，確定瀝青混合料的粘彈性參數(shù)，是研究瀝青混合料粘彈性能的基礎(chǔ)。

松弛模量與蠕變?nèi)崃渴菫r青混合料靜態(tài)粘彈性能的基本方程，是研究瀝青混合料粘彈性物理學(xué)性能的重要參數(shù)。其確定方法［2］有直接拉伸試驗(yàn)、應(yīng)力松弛試驗(yàn)和蠕變?cè)囼?yàn)等。周志剛［3］從瀝青混合料蠕變特性出發(fā)，通過直接拉伸試驗(yàn)，確定了瀝青混合料粘彈性參數(shù)。鄭健龍［4］根據(jù)應(yīng)力松弛試驗(yàn)，運(yùn)用粘彈性力學(xué)相關(guān)理論，對(duì)瀝青混合料的粘彈性參數(shù)測定方法進(jìn)行了分析。

應(yīng)力松弛試驗(yàn)是在試驗(yàn)開始的很短時(shí)間內(nèi)輸入一定的應(yīng)變。然而，直接利用松弛試驗(yàn)測定松弛模量，往往會(huì)造成較大的誤差，而且操作上也有一定的困難。而利用瀝青混合料復(fù)數(shù)模量，確定松弛模量，已有許多學(xué)者研究并取得了一些成果。趙延慶［5］利用瀝青混合料復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)結(jié)果，確定瀝青混合料存儲(chǔ)模量主曲線，利用配置法和相關(guān)的粘彈性理論關(guān)系式，將瀝青混合料的存儲(chǔ)模量轉(zhuǎn)化為瀝青混合料的松弛模量。YAN［6］根據(jù)瀝青混合料動(dòng)態(tài)掃描數(shù)據(jù)，運(yùn)用非線性擬合工具與矩陣的方法，得到相同的廣義Maxwell模型的Prony級(jí)數(shù)表達(dá)式的參數(shù)。劉孝敏［7］在分析前人成果的基礎(chǔ)上，給出了復(fù)模量－松弛模量的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。然而，在測定瀝青混合料的復(fù)數(shù)模量時(shí)，需要在若干個(gè)溫度下進(jìn)行試驗(yàn)。而且，在每一個(gè)溫度下，還需要測定若干個(gè)不同角頻率瀝青混合料的復(fù)數(shù)模量，才能得到瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量和相位角。

瀝青混合料單軸蠕變?cè)囼?yàn)較為簡單，而且容易實(shí)現(xiàn)。本研究擬利用不同荷載水平下瀝青混合料蠕變?nèi)崃康臄M合結(jié)果，根據(jù)瀝青混合料蠕變?nèi)崃颗c松弛模量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，確定松弛強(qiáng)度。以期為瀝青混合料粘彈性能進(jìn)一步分析提供方法。

1 瀝青混合料松弛模量和蠕變?nèi)崃康腜rony級(jí)數(shù)表達(dá)式

瀝青混合料是典型的線性粘彈性材料。通常運(yùn)用線性粘彈力學(xué)，研究和分析瀝青混合料的性質(zhì)。線性疊加原理是粘彈性力學(xué)中最基本但最重要的原理（也叫Boltzmann疊加原理）之一，最早由Boltzmann作為經(jīng)驗(yàn)關(guān)系提出。線性粘彈性材料單軸、抗老化及等溫本構(gòu)方程為：

或

式中：E（t）為松弛模量；J（t）為蠕變?nèi)崃浚沪覟閼?yīng)力；ε為應(yīng)變；t為時(shí)間；τ為積分變量。

描述粘彈性本構(gòu)關(guān)系時(shí)，可以用彈簧和粘壺組合的機(jī)械模型來解析材料的有關(guān)性質(zhì)。廣義Maxwell模型由一個(gè)彈簧和m個(gè)并聯(lián)的Maxwell單元組成，如圖1所示。

圖1 廣義Maxwell模型Fig.1 General Maxwell model

模型的松弛模量為：

式中：Ee為靜彈性模量；Ei為松弛強(qiáng)度；ρi為松弛時(shí)間。

蠕變?nèi)崃靠梢酝ㄟ^由一個(gè)彈簧、一個(gè)粘壺和n個(gè)Voigt單元串聯(lián)而成的廣義Kelvin模型表示，其組合方式如圖2所示。

模型的蠕變?nèi)崃繛椋?/p>

式中：Jg為玻璃態(tài)柔量；η0為零剪切粘度；Jj為延遲強(qiáng)度；τj為延遲時(shí)間。

式（3），（4）中的系列表達(dá)式被稱為Prony級(jí)數(shù)表達(dá)式。通過試驗(yàn)，測定了粘彈性參數(shù)Ji，τj，Jg，η0，Ee，Ei及ρi，即確定表征瀝青混合料粘彈性能的松弛模量和蠕變?nèi)崃?。該?jí)數(shù)表達(dá)式表征了恒定荷載作用下瀝青混合料的蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ侩S時(shí)間的變化關(guān)系。

2 松弛模量與蠕變?nèi)崃恐g的轉(zhuǎn)換

粘彈性材料的松弛模量E（t）與蠕變?nèi)崃縅（t）之間不是簡單的倒數(shù)關(guān)系，它們之間存在一個(gè)卷積積分的形式：

由方程（5）可知，當(dāng)蠕變?nèi)崃縅（t）已知時(shí)，通過積分，可以確定松弛模量E（t）；相反，當(dāng)松弛模量E（t）已知時(shí)，通過積分，可以確定蠕變?nèi)崃縅（t）。Park［8］給出的方法為：當(dāng)松弛模量E（t）已知時(shí)，將式（3）和（4）代入式（5），并引入狄拉克δ函數(shù)，將式（5）化簡為矩陣形式，求解蠕變?nèi)崃縅（t）。當(dāng)蠕變?nèi)崃縅（t）已知時(shí)，求解松弛模量E（t）卻沒有進(jìn)行推導(dǎo)。本研究利用文獻(xiàn)［8］提供的方法，將已知的蠕變?nèi)崃縅（t）代入式（5）進(jìn)行推導(dǎo)，并將推導(dǎo)結(jié)果用矩陣的形式表示：

或者AkiEi＝Bk；i＝1，2，…，n；k＝1，2，…，p。

式中：tk（k＝1，2，…，p）為與式（5）積分上限相對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間。

式（4）中的玻璃態(tài)柔量Jg可以由Ee＝（Jg＋得到。

3 模型選擇及試驗(yàn)

為了驗(yàn)證推導(dǎo)公式的合理性和適用性，本研究將對(duì)基質(zhì)瀝青和SBS改性瀝青2種膠結(jié)料的AC－13C瀝青混合料在25℃溫度環(huán)境下進(jìn)行不同荷載水平的單軸靜載蠕變?cè)囼?yàn)。其中：基質(zhì)瀝青混合料的荷載水平分別為0.5，0.7和1.0MPa，SBS改性瀝青混合料的荷載水平分別為1.0，1.2和1.5MPa。本實(shí)驗(yàn)試驗(yàn)在MTS810萬能材料試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。

3.1 模型選擇

張麗娟［9］利用非線性數(shù)學(xué)擬合工具，對(duì)八單元廣義Maxwell模型和廣義Kelvin模型進(jìn)行了參數(shù)擬合，發(fā)現(xiàn)八單元廣義Maxwell模型Prony級(jí)數(shù)表達(dá)式能表征基質(zhì)、改性瀝青混合料的剪切松弛模量隨時(shí)間的變化關(guān)系；在恒定荷載作用下，八單元廣義Kelvin模型能表征基質(zhì)、改性瀝青混合料的蠕變?nèi)崃侩S時(shí)間的變化關(guān)系。本研究中，廣義Maxwell模型和廣義Kelvin模型都采用八單元（n＝8）Prony級(jí)數(shù)表達(dá)式。對(duì)于式（6），當(dāng)選取的時(shí)間點(diǎn)與單元個(gè)數(shù)相同（即p＝n＝8）時(shí)，運(yùn)用配置法，求解方程；當(dāng)選取的時(shí)間點(diǎn)大于單元個(gè)數(shù)（p＞n）時(shí)，即式（6）的方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)，使用最小二乘法，求解方程。本研究采用2種方法求解方程，并對(duì)2種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

延遲時(shí)間譜和松弛時(shí)間譜通常為預(yù)先給定的一系列時(shí)間點(diǎn)。延遲時(shí)間譜取τj＝10j－4，j＝1，2，…，8；松弛時(shí)間譜取ρi＝10i－4，i＝1，2，…，8。

3.2 試驗(yàn)原材料

試驗(yàn)用瀝青為70?；|(zhì)瀝青和SBS改性瀝青，集料采用花崗巖。級(jí)配為AC－13C，各篩孔集料通過百分率見表1。瀝青用量為4.8%。

表1 AC－13C瀝青混合料礦料級(jí)配組成Table 1 Gradation compositions of AC－13Casphalt mixtures

3.3 單軸壓縮靜載蠕變?cè)囼?yàn)

根據(jù)《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗(yàn)規(guī)程》（JTG E20－2011）中的有關(guān)規(guī)定，采用旋轉(zhuǎn)壓實(shí)試件制作方法，成型直徑為100mm、高度為100mm的圓柱體瀝青混合料試件。試件脫模后，將試件置于25℃的環(huán)境箱中養(yǎng)護(hù)12h。為了消除試驗(yàn)機(jī)的上、下壓板與試件端部的摩擦，在試件上、下端各墊一塊聚四氟乙烯薄膜。將試件置于工作臺(tái)后，先對(duì)試件加載進(jìn)行100N的預(yù)壓，持續(xù)1min，使試件與上、下加載板接觸良好。然后，迅速加載到預(yù)定的荷載，加載試件為3 600s，每秒采集一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。2種膠結(jié)料的AC－13C瀝青混合料在不同荷載水平下的蠕變?nèi)崃壳€如圖3所示。利用式（4），對(duì)蠕變?nèi)崃繑?shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合。25℃溫度下的瀝青混合料可以認(rèn)為是粘彈性固體，因而Ee＞0，η0→∞。蠕變?nèi)崃繑M合曲線如圖4所示。

圖3 蠕變?nèi)崃壳€Fig.3 Compliance curves

圖4 蠕變?nèi)崃繑M合曲線Fig.4 Nonlinear fitting of compliance curves

從圖3，4中可以看出，不同荷載水平下的2種瀝青混合料蠕變?nèi)崃繀?shù)符合瀝青混合料的蠕變性質(zhì)，非線性擬合相關(guān)系數(shù)在0.998以上。這說明擬合的蠕變?nèi)崃糠匠棠茴A(yù)測瀝青混合料的蠕變性能。

4 計(jì)算及結(jié)果分析

根據(jù)推導(dǎo)出來的松弛模量與蠕變?nèi)崃恐g的矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系式（6），利用蠕變?nèi)崃繑M合結(jié)果，通過求解瀝青混合料松弛模量與蠕變?nèi)崃烤仃嚕玫剿沙趶?qiáng)度。為了使時(shí)間點(diǎn)tk覆蓋較寬時(shí)間跨度范圍，本研究分別采用配置法和最小二乘法2種方法，求解矩陣方程式（6）。tk為預(yù)先給定的一系列時(shí)間點(diǎn)，而且tk（k＝1，2，…，p）的選擇基于求解方法。對(duì)于配置法，tk＝1×10k－4（k＝1，2，…，8）；對(duì)于最小二乘法，tk＝10（k－1）／2－3（k＝1，2，…，20）。

4.1 配置法求解方程組

配置法是指預(yù)先指定配置點(diǎn)，配置點(diǎn)個(gè)數(shù)與待求未知量個(gè)數(shù)相同，通過求解方程組，得到所求的未知量。運(yùn)用配置法，時(shí)間點(diǎn)取tk＝1×10k－4（k＝1，2，…，8）并代入式（7），（8），矩陣A變成一個(gè)8×8的方陣，矩陣B是一個(gè)8×1的矩陣。松弛模量未知參數(shù)為8個(gè)，實(shí)際上是求解含有8個(gè)方程的方程組，未知量為8個(gè)，未知量與方程數(shù)量相等?；喎匠探M式（6），E＝A－1B，求解出矩陣E，即瀝青混合料松弛模量。通過計(jì)算，得到松弛強(qiáng)度，其結(jié)果見表2。

表2 由AC－13C蠕變?nèi)崃坑?jì)算松弛模量結(jié)果Table 2 Relaxation modulus results calculated by the AC－13Ccreep compliance

4.2 最小二乘法求解方程組

當(dāng)選取的時(shí)間點(diǎn)大于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，利用最小二乘法，求解未知量。時(shí)間點(diǎn)取tk＝10（k－1）／2－3（k＝1，2，…，20），同理，代入式（7），（8），矩陣A變成一個(gè)20×8的矩陣，矩陣B是一個(gè)20×1的矩陣。然而，蠕變?nèi)崃课粗獏?shù)為8個(gè)，方程數(shù)量為20個(gè)，方程數(shù)量大于未知量個(gè)數(shù)，屬于線性超定方程組，方程組沒有精確解。運(yùn)用最小二乘法，即min‖AE－B‖2，求出D的最優(yōu)近似解?？梢杂肁TAE＝ATB求解，但比較低效。常見的解法是對(duì)矩陣A進(jìn)行QR分解，即（A＝QR）。因而，有min‖AE－B‖2＝min‖QRE－B‖2＝min‖REQTB‖2。這個(gè)過程可以通過Matlab編程實(shí)現(xiàn)。通過將有關(guān)參數(shù)代入Matlab程序中進(jìn)行計(jì)算，得到松弛強(qiáng)度，其結(jié)果見表3。

表3 由AC－13C蠕變?nèi)崃坑?jì)算松弛模量結(jié)果Table 3 Relaxation modulus results calculated by the AC－13Ccreep compliance

4.3 結(jié)果分析

基于配置法和最小二乘法，求解的松弛模量曲線如圖5所示。這2種方法計(jì)算得到的松弛模量曲線符合瀝青混合料松弛性質(zhì)。這表明：利用較為容易實(shí)現(xiàn)的單軸蠕變實(shí)驗(yàn)，通過蠕變?nèi)崃颗c松弛模量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到基于Prony級(jí)數(shù)瀝青混合料的松弛模量。

從圖5中可以看出，利用配置法與最小二乘法求解得到的松弛模量曲線重合。這表明該2種方法得到的松弛模量相似度非常高。對(duì)于基質(zhì)瀝青混合料，500s之后的松弛模量曲線趨于穩(wěn)定；對(duì)于改性瀝青混合料，1 000s之后的松弛模量曲線趨于穩(wěn)定。這2種方法的計(jì)算結(jié)果差別較小，因而，在實(shí)際計(jì)算過程中，推薦選用方程數(shù)量較少的配置法進(jìn)行轉(zhuǎn)換計(jì)算，得到基于Prony級(jí)數(shù)的松弛強(qiáng)度，可以利用這些參數(shù)，對(duì)瀝青混合料的粘彈性能作進(jìn)一步的分析。

圖5 不同荷載下AC－13C瀝青混合料松弛模量曲線Fig.5 Relaxation modulus curves of AC－13C asphalt mixture with different loadings

5 結(jié)論

1）對(duì)基質(zhì)瀝青與SBS瀝青兩種膠結(jié)料的AC－13C瀝青混合料在25℃溫度環(huán)境下進(jìn)行不同荷載水平的單軸靜載蠕變?cè)囼?yàn)。研究結(jié)果表明：不同荷載水平下的2種瀝青混合料延遲強(qiáng)度數(shù)符合瀝青混合料的蠕變性質(zhì)，基于Prony級(jí)數(shù)的蠕變?nèi)崃糠匠痰姆蔷€性擬合相關(guān)系數(shù)在0.998以上，擬合的蠕變?nèi)崃糠匠棠茌^好地預(yù)測瀝青混合料的蠕變性能。

2）利用擬合的蠕變?nèi)崃糠匠探Y(jié)果，根據(jù)瀝青混合料松弛模量與蠕變?nèi)崃恐g的轉(zhuǎn)換關(guān)系，利用配置法和最小二乘法，確定蠕變?nèi)崃縋rony級(jí)數(shù)方程的有關(guān)參數(shù)，計(jì)算得到的松弛模量曲線符合瀝青混合料松弛性質(zhì)。這表明：利用較為容易實(shí)現(xiàn)的單軸蠕變實(shí)驗(yàn)，通過蠕變?nèi)崃颗c松弛模量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到基于Prony級(jí)數(shù)的瀝青混合料的松弛模量。

3）利用配置法和最小二乘法，得到的松弛模量曲線接近重合。這說明2種方法得到的松弛模量相似度非常高。該2種方法的計(jì)算結(jié)果差別較小，因而，在實(shí)際計(jì)算過程中，推薦選用方程數(shù)量較少的配置法進(jìn)行轉(zhuǎn)換計(jì)算。

4）基于實(shí)現(xiàn)容易和操作方便的蠕變實(shí)驗(yàn)，避免了誤差較大的松弛試驗(yàn)。通過粘彈性參數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到基于Prony級(jí)數(shù)的松弛強(qiáng)度，可以利用這些參數(shù)，對(duì)瀝青混合料的粘彈性能作進(jìn)一步的分析。

（References）：

［1］張肖寧.瀝青與瀝青混合料的粘彈力學(xué)原理及應(yīng)用［M］.北京：人民交通出版社，2006.（ZHANG Xiaoning.Viscoelastic mechanics theory and the application of asphalt and asphalt mixtures［M］.Beijing：China Communications Press，2006.（in Chinese））

［2］Monismith C L，Coetzz N F.Reflection cracking：Analysis，laboratory studies and design consideration［A］.Proceedings of Association of Asphalt Paving Technologists［C］.Chicago：［s.n.］，1980：290－293.

［3］周志剛，錢國平，鄭健龍.瀝青混合料粘彈性參數(shù)測定方法的研究［J］.長沙交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，17（4）：23－28.（ZHOU Zhi－gang，QIAN Guo－ping，ZHENG Jian－long.Research on viscoelastic parameters determination method of asphalt mixture［J］.Journal of Changsha Communications University，2001，17（4）：23－28.（in Chinese））

［4］鄭健龍，呂松濤，田小革.瀝青混合料粘彈性參數(shù)及其應(yīng)用［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25（4）：8－15.（ZHENG Jian－long，LV Song－tao，TIAN Xiao－ge.Viscoelastic parameters of the asphalt mixture and its application［J］.Journal of Zhengzhou University，2004，25（4）：8－15.（in Chinese））

［5］趙延慶，唐積民，白龍.利用瀝青混合料復(fù)數(shù)模量確定松弛模量研究［J］.建筑材料學(xué)報(bào)，2012（4）：498－502.（ZHAO Yan－qing，TANG Zhi－ming，BAI Long.Determination of relaxation modulus using complex modulus of the asphalt mixture［J］.Journal of Building Materials，2012（4）：498－502.（in Chinese））

［6］Yan H Q，Zhang X N，Zhang L J.Methods of fitting the Prony series of viscoelastic models of the asphalt mixture based on dynamic modulus［A］.Proceedings of the Third International Conference on Transportation Engineering［C］.Chengdu：［s.n.］，2011：1384－1389.

［7］劉孝敏，唐志平，李欣增.復(fù)柔量－蠕變?nèi)崃亢蛷?fù)模量－松弛模量轉(zhuǎn)換公式的討論［J］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，1989，19（4）：476－485.（LIU Xiao－ming，TANG Zhi－ping，LI Xing－zeng.Discussion on complex compliance－creep compliance and complex modulus－relaxation modulus conversion formula［J］.Journal of China University of Science and Technology，1989，19（4）：476－485.（in Chinese））

［8］Park S W，Schapery R A.Methods of interconversion between linear viscoelastic material functions.Part I－a numerical method based on Prony series［J］.International Journal of Solids and Structures，1999，36（11）：1653－1675.

［9］張麗娟.基于蠕變?cè)囼?yàn)的瀝青混合料本構(gòu)關(guān)系及車轍預(yù)估方法研究［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2009.（ZHANG Li－juan.Research on constitutive relations of asphalt mixtures and the method of rutting prediction based on creep tests［D］.Guangzhou：South China University of Technology，2009.（in Chinese））