基于重整化群和模糊概率法的巖土邊坡穩(wěn)定性

付宗志，劉 濤

（1.長沙有色冶金設(shè)計研究院有限公司，湖南長沙 410011；2.西北礦冶研究院礦山工程研究所，甘肅白銀 730900）

傳統(tǒng)的巖土邊坡穩(wěn)定性分析是以邊坡安全系數(shù)Fs來判別邊坡的穩(wěn)定性。該方法具有一定的局限性，它通過數(shù)值模擬的方法得出邊坡的安全系數(shù)Fs。大量的工程實踐［1－5］表明，并非Fs＞1邊坡就是穩(wěn)定的，也不是Fs＜1邊坡就會破壞。一些學(xué)者通過研究［6－9］發(fā)現(xiàn)，影響邊坡穩(wěn)定性的因素往往是隨機變化的，用確定性的方法很難充分考慮巖土參數(shù)變化對邊坡穩(wěn)定性造成的影響。因此，有必要應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法，在考慮巖土參數(shù)隨機性和模糊性的同時，對邊坡的穩(wěn)定性進行研究。

Logistic函數(shù)是一種常見的S形函數(shù)。Logistic映射是研究動力系統(tǒng)、混沌及分形等復(fù)雜系統(tǒng)行為的一個經(jīng)典模型。Logistic映射又叫Logistic迭代，是一個時間離散的動力系統(tǒng)。

重整化群是一種用于解決多體問題的有力工具。該方法基于統(tǒng)計分形的原理，將小標(biāo)尺下系統(tǒng)簡單特性擴展到大標(biāo)尺下系統(tǒng)復(fù)雜特性的計算，并取得了巨大的成功。重整化群已應(yīng)用于地震預(yù)測、礦柱穩(wěn)定性［10］、采空區(qū)安全評價［11］及采空區(qū)突水預(yù)測［12］等多個領(lǐng)域。

1 重整化群分析模型

1.1 重整化群簡介

重整化群最早是應(yīng)用于量子場論當(dāng)中而得到公認(rèn)。該方法通過研究系統(tǒng)內(nèi)部組成單元之間的聯(lián)系和系統(tǒng)單元之間的自相似變換，從宏觀上對系統(tǒng)的一些規(guī)律進行描述，該方法是解決臨界問題的有效工具。

重整化群是通過改變系統(tǒng)中觀測尺度來獲取系統(tǒng)參數(shù)變化規(guī)律的方法。假設(shè)系統(tǒng)在某個觀測尺度下所獲的物理參數(shù)為p，將觀測尺度放大n倍，這時獲得的物理參數(shù)記為p′。如果將尺寸變換函數(shù)記為fn，那么p與p′的關(guān)系為：

如果觀測尺度再放大n倍，有：

如果將式（2）變成一般情況下的關(guān)系式，那么其變換函數(shù)f具有的性質(zhì)為：

1.2 邊坡演化的一維重整化群模型

傳統(tǒng)的重整化群方法在研究巖石破裂時，假設(shè)一級原包由2個基本單元組成，那么一級原包中有1個及1個以上的單元破裂，則一級原包就破壞了。一級原包所有可能的情況如圖1所示。一級原包發(fā)生破壞的概率為：

式中：p0為基本單元的破壞概率為2個單元都破壞的概率；pab為1個單元破壞后向鄰近單元應(yīng)力轉(zhuǎn)移的條件概率，且應(yīng)力向鄰近為破壞的單元轉(zhuǎn)移概率是相等的。

應(yīng)力轉(zhuǎn)移的條件概率為：

式中：pa為單元破壞前鄰近單元的破壞概率；pb為單元破壞后鄰近單元的破壞概率。

假設(shè)基本單元的破壞概率由Weibull分布給出，其破壞概率函數(shù)為：

式中：F0為基本單元的強度；m為表征一級原包強度相似性的相關(guān)參數(shù)。

單元破壞后鄰近單元的破壞概率為：

當(dāng)m＝2時，一級原包發(fā)生破壞的概率為：

根據(jù)logistic一維映射遞推關(guān)系，可得到n級原包的破壞失穩(wěn)概率為：

式（9）即為一維重整化群方程，將式（9）寫成函數(shù)形式：

在0≤x≤1的范圍內(nèi)求解式（10），可得方程（10）存在3個不動點，即x＝0，0.206，1。根據(jù)判斷準(zhǔn)則，當(dāng)｜（df（x）／dx）｜x＞1時，x為不穩(wěn)定不動點；反之，當(dāng)｜（df（x）／dx）｜x＜1時，x為穩(wěn)定不動點。分別將x＝0，0.206，1帶入判據(jù)df（x）／dx，得到的結(jié)果分別為：0，1.62，0。這說明0和1為穩(wěn)定不動點，0.206為不穩(wěn)定不動點。當(dāng)x＝0時，表示沒有單元破壞，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)x＝1時，表示系統(tǒng)中全部單元破壞，系統(tǒng)處于極限不穩(wěn)定狀態(tài)。故x＝0.206是系統(tǒng)兩種狀態(tài)的分界點。即：當(dāng)x＞0.206時，系統(tǒng)向不穩(wěn)定的方向發(fā)展；當(dāng)x＜0.206時，系統(tǒng)向穩(wěn)定的方向發(fā)展。

圖1 2個單元組成一級原包的所有可能情況Fig.1 All the possibilities of two units composed of original package

1.3 二維情況

二維情況下，1個一級原包由4個基本單元構(gòu)成，2個二級原包由4個一級原包構(gòu)成。與一維情況下的分析方法一致，假設(shè)p0為基本單元的破壞概率，根據(jù)式（8）可求出一級原包的破壞概率。同理，二級原包的破壞概率［12］為：

根據(jù)Logistic映射遞推關(guān)系，n級原包的破壞失穩(wěn)概率［13］為：

用Matlab軟件求解式（12），可得x＝0.170 7為系統(tǒng)的臨界點。

1.4 三維情況

三維情況下，1個一級原包由8個基本單元構(gòu)成，1個二級原包由8個一級原包構(gòu)成。假設(shè)p0為基本單元的破壞概率，根據(jù)基本單元的破壞概率，可算出一級原包的破壞概率。同理，根據(jù)一級原包的破壞概率，二級原包的破壞概率為：

據(jù)Logistic映射遞推關(guān)系，n級原包的破壞失穩(wěn)概率為：

用Matlab軟件求解式（14），可得x＝0.159 9為系統(tǒng)的臨界點。

2 邊坡穩(wěn)定分析的模糊概率法

2.1 模糊概率

在邊坡穩(wěn)定性分析中，邊坡的安全性用功能函數(shù)Z來表示。

式中：xi（i＝1，2，…，n）為基本隨機變量。

在模糊數(shù)學(xué)中，可將邊坡失穩(wěn)的概率定義為：

式中：pf為邊坡失穩(wěn)概率；μA（Z）為功能函數(shù)Z的隸屬函數(shù)；f（Z）為Z的概率密度函數(shù)。

2.2 功能函數(shù)

在邊坡穩(wěn)定分析中，安全系數(shù)為：

式中：R為邊坡的抗滑力矩；S為邊坡的滑動力矩。

功能函數(shù)為：

根據(jù)瑞典條分法，安全系數(shù)為：

式中：m為邊坡分條數(shù)；Wi為分條的重力；bi為分條的寬度；αi為第i個分條底部與水平方向的夾角；c為巖土的內(nèi)聚力；φ為巖土的內(nèi)摩擦角。

2.3 隸屬函數(shù)

對于巖土邊坡而言，當(dāng)隸屬函數(shù)越接近于1，表明邊坡破壞的可能性越大；反之，隸屬函數(shù)越接近于0，表明巖土邊坡的破壞可能性越小。假設(shè)

結(jié)合式（20），采用分段線性分布，其隸屬函數(shù)為：

2.4 概率密度函數(shù)

假設(shè)功能函數(shù)Z為非正態(tài)分布，那么可通過中心點法，求得功能函數(shù)Z的均值μZ和方差σZ。

式中：μxi為xi（i＝1，2，…，n）的均值為在中心點對功能函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

則概率密度函數(shù)為：

將式（24）代入式（16），可計算出邊坡工程的失穩(wěn)概率。對于具體的邊坡工程，依據(jù)模糊概率法計算邊坡的失穩(wěn)概率，再與重整化群法計算出的邊坡系統(tǒng)臨界失穩(wěn)概率進行比較。若其結(jié)果大于失穩(wěn)概率且大于臨界概率，則邊坡失穩(wěn)；反之，則邊坡不失穩(wěn)。

3 工程實例

某巖土邊坡如圖2所示。該滑動面滑弧半徑為150m，分條數(shù)m＝8，條寬b＝10m，取內(nèi)聚力c、內(nèi)摩擦角φ的正切f＝tanφ為基本隨機變量，隨機變量的取值：E（c）為18.36，D（c）為44.5，E（f）為0.419 4，D（f）為0.003 4。

圖2 邊坡剖面Fig.2 Sectional view of the slope

通過中心點法計算，μZ＝0.235，σZ＝0.085，將均值μZ和方差σZ代入式（24）和式（16），得：

4 結(jié)論

1）根據(jù)重整化群法，建立了巖土邊坡穩(wěn)定性分析模型。考慮系統(tǒng)應(yīng)力重分布對邊坡穩(wěn)定性的影響，將露天邊坡失穩(wěn)破壞的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為邊坡失穩(wěn)概率與臨界失穩(wěn)概率之間比較的問題，并計算得出了一維、二維及三維情況下露天邊坡失穩(wěn)破壞的臨界概率，它們分別為0.206，0.170 7及0.159 9。

2）用模糊概率的方法對邊坡的穩(wěn)定性進行分析，得到了邊坡失穩(wěn)概率的計算方法。

3）將該方法應(yīng)用于某巖土邊坡穩(wěn)定性分析，通過計算，得出該邊坡的失穩(wěn)概率為0.246 1，大于三維情況下邊坡失穩(wěn)的臨界概率0.159 9。這說明該邊坡是不穩(wěn)定的，具有整體失穩(wěn)的可能性。

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