邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)的仿真研究

喬 亮

（福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建福州 350108）

邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)的仿真研究

喬 亮

（福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建福州 350108）

利用Matlab軟件，根據(jù)光的干涉理論，模擬邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)的等傾干涉和白光干涉圖樣，便于直接觀察到改變參數(shù)對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的影響.用直觀的圖像將抽象的相干性理論形象化，希望能夠改進(jìn)和豐富物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的手段．

邁克爾遜干涉儀；光的干涉；Matlab模擬

在高等教育的普通物理教學(xué)中，光學(xué)作為獨(dú)立的章節(jié)，教學(xué)內(nèi)容中主要體現(xiàn)了光波動(dòng)性的特質(zhì)．光的干涉現(xiàn)象是當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)光束在空間疊加時(shí)，在疊加區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的各點(diǎn)強(qiáng)度穩(wěn)定的強(qiáng)弱分布現(xiàn)象．光的干涉、衍射和偏振都是波動(dòng)光學(xué)的主要研究對象．光的干涉和干涉儀應(yīng)用較為廣泛，例如用干涉方法研究光譜線的超精細(xì)結(jié)構(gòu)，精密計(jì)量長度；檢驗(yàn)光學(xué)零件的各種偏差，在光學(xué)器件表面鍍膜以減少或增加反射光能等．干涉儀從方法上來說大致可分為兩類：分波前裝置和分振幅裝置．前者只容許使用足夠小的光源，而后者可使用擴(kuò)展光源，可獲得強(qiáng)度較大的干涉效應(yīng)[1-3]．邁克爾遜干涉儀就屬于這類．本文針對邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)，根據(jù)光強(qiáng)分布的理論公式，利用Matlab編程得到數(shù)值曲線，模擬光的干涉現(xiàn)象，并與實(shí)驗(yàn)效果相對比，可以加深對光干涉現(xiàn)象的認(rèn)識和理解．本文應(yīng)用Matlab仿真單色光干涉和白光干涉，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果類比．

1 基本原理

美國物理學(xué)家邁克爾遜（A. A. Michelson, 1852—1931）在1881年，利用光的干涉原理，發(fā)明了光學(xué)干涉儀器——邁克爾遜干涉儀[4]．一束光經(jīng)過一塊分光板（玻璃上鍍有半透明的銀膜，使入射其上的光一半被折射，一半被反射），分成A、B兩束，再分別經(jīng)兩個(gè)反射鏡反射回來，相會(huì)后形成干涉條紋，如圖1所示．兩個(gè)反射鏡中，其一可以移動(dòng)，它的移動(dòng)將導(dǎo)致干涉條紋發(fā)生變化，并且移動(dòng)的距離與條紋的變化數(shù)相關(guān)．M2′是M2參考半透膜表面G1所成的虛象．所以在光學(xué)上，這里的干涉就相當(dāng)于M2′和M1之間的空氣板干涉．邁克爾遜干涉儀的作用就在于制造這樣一個(gè)假想空氣層．設(shè)置補(bǔ)償板G2是為了當(dāng)使用白光光源時(shí)，補(bǔ)償G1的色散．

2 干涉圖樣仿真與實(shí)驗(yàn)

2.1 等傾干涉

當(dāng)M1和M2準(zhǔn)確地相互垂直，則空氣層的二平面M1、M2′相當(dāng)于平行，空氣層厚度為d．A、B兩條光線間的程差為：

上式中Δ為兩列光波的相位差，亮暗條件取決于下列條件：

所以我們將得到一組亮暗相間的條紋．如果G1和G2是絕對均勻且平行的，那么光程差只決定于入射光在平板G1上的入射角γ．因此，在平板G1上，具有相同入射角γ的光束經(jīng)平板兩表面反射后形成的反射光在其相遇點(diǎn)有相同的光程差，也就是說，凡入射角γ相同的光束就形成同一干涉條紋，由于這樣的原因，通常把這種干涉條紋成為等傾干涉．可見，在d一定時(shí)，光程差只決定于入射角．相干光合成后的強(qiáng)度表達(dá)式為：

I1和I2是A、B兩支反射光的強(qiáng)度.

利用相干光光強(qiáng)合成原理，設(shè)計(jì)matlab仿真程序，主要程序段如下：

clear;clc;clf;

f=0.2;

lambda=632.8*10^(-9);

d=2.5*10^(-4);

theta=0.2;

rMax=f*tan(theta/2);

N=501;

for i=1:N

x(i)=(i-1)*2*rMax/(N-1)-rMax;

for j=1:N

y(j)=(j-1)*2*rMax/(N-1)-rMax;

r(i,j)=sqrt(x(i)^2+y(j)^2);

delta(i,j)=2*d/sqrt(1+r(i,j)^2/f^2);

Phi(i,j)=2*pi*delta(i,j)/lambda;

B(i,j)=4*cos(Phi(i,j)/2)^2;?

end

end

NCLevels=255;Br=(B/4.0)*NCLevels;

figure(1);image(x,y,Br);

colormap(gray(NCLevels));

axis square;

圖2是我們通過仿真程序，改變不同的入射角條件γ和虛擬空氣層厚度d，得到的干涉圖樣．當(dāng)M1移向M2′，即虛擬空氣層厚度減小，條紋向中心收縮，并在中心一一消失．每當(dāng)M1移動(dòng)λ/2的距離，在中心消失一個(gè)條紋；同時(shí)條紋的角間距增大，條紋將疏松起來．從圖2中（b）和（c）可以看出，當(dāng)γ=0.2時(shí)，d越小，干涉條紋分布越疏松，這比較利于觀察．當(dāng)M1和M2′完全重合時(shí)，對于各個(gè)方向的入射光光程差均相等．繼續(xù)移動(dòng)M1，使M1逐漸離開M2′，條紋不斷由中心冒出，并且隨著虛空氣層厚度的增大，條紋又逐漸地密集起來．同樣，d保持不變，若γ做了改動(dòng)，對干涉條紋的影響是較大的．如圖2中的（a）和（b）、（c）和（d）都是此種情況，入射角γ越小，條紋越疏松清晰，便于觀察．

圖1 邁爾遜干涉儀原理圖

圖2 不同入射角條件干涉圖樣

2.2 等厚干涉

當(dāng)M1、M2不十分垂直，則二平面形成一楔形的空氣層，空氣層的厚度d可移動(dòng)M1的位置來改變．由擴(kuò)展光源發(fā)射出的光束經(jīng)M1、M2′反射后的兩束光A、B相交于定域面上某點(diǎn)P，兩束光的光程差可以近似地用Δ=2d來計(jì)算．即在同一厚度d的地方，光程差相等，干涉條紋僅取決于厚度，故稱為等厚干涉條紋．在實(shí)驗(yàn)操作中，為了能夠下一步較順利獲得白光干涉，我們通常會(huì)將調(diào)節(jié)d適當(dāng)加寬，會(huì)獲得如圖3的干涉圖樣．

干涉儀中的G2是為了消除分光板分出的兩束光A和B的不對稱性而設(shè)置的．不加G2時(shí)，光束B經(jīng)過玻璃板G1三次，而光束A只經(jīng)過一次，加入G2后光束A也經(jīng)過玻璃板三次，故將G2設(shè)置為是與G1同樣厚度的平玻璃板，因而得到補(bǔ)償．這種補(bǔ)償在單色光照明時(shí)并非必要，光束B經(jīng)過玻璃板所增加的光程可以用空氣中的行程補(bǔ)償．但是用白光作光源時(shí)，玻璃對不同波長的光有不同的折射率，因而必須加入G2才能同時(shí)補(bǔ)償各種波長的程差，在觀察白光條紋時(shí)補(bǔ)償板G2不可缺少[5]112-113．

在等厚條紋的基礎(chǔ)上，換上白光的光源，慢慢移動(dòng)M1鏡，就會(huì)在視場中觀察到彩色條紋．白光條紋只在楔形虛平板極薄時(shí)才能觀察到．在可見光譜范圍內(nèi)，不同波長的光能引起人的不同顏色感覺[6]．利用七色光合成白光的仿真方法，給出白光干涉主要程序段：

lambda=[650,610,570,550,460,440,410]*1e-9; RGB=[1,0,0;1,0.5,0;1,1,0;0,1,0;0,1,1;0,0,1;0.67,0,1]; xs=[-0.075:1.5e-4:0.075];

[x,y]=meshgrid(xs);

Irgb=zeros(1001,1001,3);

Iw=Irgb;

Br=1;r=1e-3;f=1; d=1e-5;D=0.25;

for i=1:1:7.

k=2*pi/lambda(i);

r1=sqrt((x-d/2).^2+y.^2+D^2);

r2=sqrt((x+d/2).^2+y.^2+D^2);

II=(cos(r1.*k)./r1+cos(r2.*k)./r2).^2+(sin(r1.* k)./r1+sin(r2.*k)./r2).^2;

Iw(:,:,1)=II*RGB(i,1);

Iw(:,:,2)=II*RGB(i,2);

Iw(:,:,3)=II*RGB(i,3);

Irgb=Irgb+Iw;

end

B=1/max(max(max(Irgb)));

I=Irgb*B;

imshow(I*Br)

圖3 等厚干涉實(shí)驗(yàn)圖樣

圖4 白光干涉條紋仿真圖和實(shí)驗(yàn)圖

3 結(jié) 論

利用Matlab模擬干涉實(shí)驗(yàn)，可以直觀顯示干涉條紋圖像，在程序中可以較為方便的改變空氣薄膜厚度，入射角等參數(shù)，觀察不同參數(shù)條件下干涉圖樣的變化．與邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)緊密聯(lián)系，對實(shí)驗(yàn)操作起到形象化的指導(dǎo)作用，也積極擴(kuò)展了實(shí)驗(yàn)教學(xué)手段．

[1]段曉勇，單永明.光的干涉和衍射的Matlab數(shù)值模擬[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2012（3）：95-97.

[2]蔣禮，等.用邁克爾遜干涉儀測量全息干板膜厚度[J].應(yīng)用光學(xué)，2006，27（3）：250-253.

[3]譚毅.邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)的仿真研究[J].實(shí)驗(yàn)室科學(xué)，2011（2）：121-124.

[4]施大寧.文化物理[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)，2013：109-110.

[5]梁銓廷.物理光學(xué)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008.

[6]藍(lán)海江.白光干涉、衍射實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)仿真[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2009（12）：16-19.

（責(zé)任編輯：于開紅）

A Simulation Study of Michelson Interference Experiment

QIAO Liang
(Fujian Jiangxia University, Fuzhou Fujian 350108, China)

According to the theory of light interference, a simulation by Matlab program has been obtained on the equal inclination and white-light interference patterns of Michelson’s interferometer. It is easy to observe the effect by parameter changes. Coherence theory has been visualized. It is hoped to improve and enrich teaching methods with it.

Michelson’s interferometer; light interference; simulation by Matla

G812.78

A

1009-8135（2015）03-0050-03

2015-02-01

喬 亮（1981-），女，吉林長春人，福建江夏學(xué)院講師，博士，主要研究激光遙感與激光技術(shù)．

福建江夏學(xué)院校級教育教學(xué)改革項(xiàng)目（大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)開放共享教學(xué)內(nèi)容體系的構(gòu)建）；福建省公共基礎(chǔ)課實(shí)驗(yàn)教學(xué)平臺項(xiàng)目（物理綜合創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)中心）階段性成果