向量在代數(shù)中的應(yīng)用

廖紅艷

(重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)，重慶萬(wàn)州 404100)

向量在代數(shù)中的應(yīng)用

廖紅艷

(重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)，重慶萬(wàn)州 404100)

向量融數(shù)、形于一體，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)．它以幾何的形式出現(xiàn)，在幾何中應(yīng)用非常廣泛，其實(shí)利用向量的有關(guān)知識(shí)和運(yùn)算方法解決代數(shù)和三角問(wèn)題，就能劃繁為簡(jiǎn)、劃難為易，起到事半功倍的效果．向量作為一種工具，為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的思路，進(jìn)一步拓寬了思維渠道．

向量；代數(shù)；三角

向量知識(shí)已經(jīng)進(jìn)入高中教材中，其應(yīng)用價(jià)值已被廣大師生認(rèn)可．熟練掌握向量性質(zhì)、特征及運(yùn)算規(guī)律，為解決代數(shù)、三角問(wèn)題提供了新穎、簡(jiǎn)潔、精妙的思想和方法．用向量的方法解決問(wèn)題的一般程序：

第一步：構(gòu)造必要、足夠的基本向量；

第二步：搞清問(wèn)題中待解決的目標(biāo)所相應(yīng)的向量表示形式；

第三步：根據(jù)已知條件和所求進(jìn)行必要的向量運(yùn)算直至問(wèn)題解決[1]．

1 利用向量證明有關(guān)不等式

不等式的證明在高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)．應(yīng)用常規(guī)的方法證明不等式往往繁雜冗長(zhǎng)，而利用向量的方法簡(jiǎn)潔、明了．

證明不等式主要依據(jù)下列向量不等式[2]：

結(jié)合向量的運(yùn)算規(guī)律和不等式的特征，利用向量解決問(wèn)題的一般程序證明不等式．

例1 已知a、b、x、∈yR，且a2+ b2= 1，x2+ y2= 1；求證：|ax + by| ≤ 1．

分析：觀察a2+ b2= 1，x2+ y2= 1方程的左邊與向量的模的計(jì)算公式相似．a(chǎn)x + by又符合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，所以利用向量的方法解決此題更容易，更簡(jiǎn)單．

例2 證明柯西不等式

分析：觀察柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合向量的模的公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式及向量不等式，構(gòu)造經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到證明．

分析：f（x）=（1+x2）1/2的形式與向量模的公式相同，則f（a），f（b）分別等于的模，而根據(jù)則得證．

2 利用向量求解無(wú)理函數(shù)最值問(wèn)題

按常規(guī)的方法求解無(wú)理函數(shù)最值問(wèn)題具有一定的難度，若能用向量的知識(shí)解答將會(huì)變得簡(jiǎn)單，其中主要是利用向量的幾個(gè)性質(zhì)：

當(dāng)且僅當(dāng)pn=qm時(shí)等號(hào)成立．

無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題種類(lèi)繁多，不過(guò)也可以歸納為以下四大類(lèi)型：

的最大值．

求解這種類(lèi)型的無(wú)理函數(shù)的最值時(shí)，首先，將根號(hào)下的式子配方，調(diào)節(jié)根號(hào)外未知數(shù)次數(shù)為一的項(xiàng)，然后構(gòu)造向量使得模為常數(shù)，最后利用向量的性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律求解．

在求解此種類(lèi)型的無(wú)理函數(shù)的最值時(shí)，首先將根號(hào)下的式子配方，然后構(gòu)造兩個(gè)向量，使得向量的模的平方分別等于根號(hào)下的式子，最后利用向量的性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)律求得最值．

（4）其它類(lèi)型

觀察待解決的無(wú)理函數(shù)的特征，構(gòu)造必要、足夠的向量，結(jié)合向量的性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)律，求出函數(shù)的最值．

例7 設(shè)ix)2007,,3,2,1(······=i為正實(shí)數(shù)，且試求的最小值．

例8 已知a，b，c，d∈R，求的最小值．

解：構(gòu)造向量

由性質(zhì)3，得

3 利用向量解決三角問(wèn)題

平面向量的數(shù)量積的定義，將平面向量與三角函數(shù)融為一體，體現(xiàn)了向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)之間的關(guān)系，為運(yùn)用平面向量解決三角問(wèn)題創(chuàng)造了有利的條件．若能構(gòu)造恰當(dāng)?shù)钠矫嫦蛄浚ㄟ^(guò)平面向量的運(yùn)算來(lái)處理，往往可以收到事半功倍的效果[3]．

利用向量的方法解決三角問(wèn)題，仔細(xì)觀察三角問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造必要、足夠的基本向量，最典型的就是兩角和與差的余弦公式證明，余弦定理的證明；然后利用向量的性質(zhì)、向量不等式及其運(yùn)算規(guī)律解決問(wèn)題．

分析：觀察兩角差的余弦公式的右邊，是兩個(gè)向量的數(shù)量積，可以構(gòu)造

結(jié)合向量的數(shù)量積公式，容易得到證明．

（2）當(dāng)θ=（β- α）時(shí)，cosαcosβ+sinα sinβ

解：如圖3.1，在單位圓O上取七個(gè)等分點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G，則

作為一種數(shù)學(xué)工具的向量，它不僅為幾何代數(shù)化、代數(shù)幾何化帶來(lái)了極大的方便，而且使它成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介．如能靈活使用向量的有關(guān)知識(shí)和運(yùn)算方法，可以使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題避免繁雜的運(yùn)算，降低計(jì)算量，不僅新穎，而且簡(jiǎn)單明了，做到解題有規(guī)可循、有法可用、化難為易[4]．讓學(xué)生掌握好向量的知識(shí)和運(yùn)算方法，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用向量的意識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用向量的能力，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力的培養(yǎng)．

圖1

[1]薛金星.高考總復(fù)習(xí)全解：數(shù)學(xué)B版[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.

[2]薛金星.高中數(shù)學(xué)：必修5[M].北京：人民教育出版社，2012.

[3]過(guò)大維，錢(qián)軍先.挖掘向量的應(yīng)用功能，發(fā)揮向量的工具作用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004（4）.

[4]於增輝.淺談平面向量的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003（12）.

（責(zé)任編輯：于開(kāi)紅）

Application of Vector in Algebra

LIAO Hongyan
(Chongqing Wanzhou Second Senior High School, Wanzhou, Chongqing 404100)

Vector, integrating number and shape, is a meeting point of middle school mathematics knowledge. It takes a geometric form and is widely used in geometry. In fact, it can simplify the complex and make the difficult easy by using the relevant knowledge, the operation method of vector can be used to solve algebra and trigonometry problems, and better results are obtained with less effort. As a tool, Vector provides a new way to solve the middle school mathematics problems and further broadens the thinking channel.

vector; algebra; trigonometry

G812.78

A 文章編號(hào)：1009-8135（2015）03-0020-05

2015-03-22

廖紅艷（1982-），女，重慶萬(wàn)州人，重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)教師，主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)．