突出理性思維 弘揚數(shù)學(xué)文化
——數(shù)學(xué)文化在高考試題中的滲透

陳昂 任子朝

突出理性思維 弘揚數(shù)學(xué)文化
——數(shù)學(xué)文化在高考試題中的滲透

陳昂 任子朝

數(shù)學(xué)文化是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，其內(nèi)涵是一種理性思維方法在實踐過程中不斷探索、形成的數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用。高考試題主要從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)應(yīng)用三個方面滲透數(shù)學(xué)文化。通過這種滲透，有效促進學(xué)生理性思維的發(fā)展。

理性思維；數(shù)學(xué)文化；高考；數(shù)學(xué)應(yīng)用

1 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

近些年來，人們對數(shù)學(xué)的內(nèi)在價值和認識不斷突破發(fā)展，對由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)文化研究更是得到了國內(nèi)外數(shù)學(xué)家、教育家的關(guān)注。李大潛院士曾提出：“數(shù)學(xué)是一種先進的文化，是人類文明的重要基礎(chǔ)。它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類文明的進程中起著重要的推動作用，占有舉足輕重的地位。”[1]課程標準中也提出要了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。[2]

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與文化學(xué)、社會學(xué)的交叉學(xué)科。[3]關(guān)于數(shù)學(xué)文化概念界定的文章較多，黃秦安認為數(shù)學(xué)文化可以表述為以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心，以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)，其基本要素是數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種文化對象[4]。鄭毓信等對數(shù)學(xué)文化的定義還有另外一種解釋，“即一種由職業(yè)因素聯(lián)系起來的特殊群體，數(shù)學(xué)共同體所特有的行為、觀念和態(tài)度等?！盵5]顧沛給出的數(shù)學(xué)文化的定義為：“數(shù)學(xué)文化”一詞的內(nèi)涵，簡單說，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛些說，除上述內(nèi)涵外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等?！盵6]代欽則認為“數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)知識、思想方法及其在人類活動的應(yīng)用以及與數(shù)學(xué)有關(guān)的民俗習(xí)慣和信仰的總和”。[7]這些定義從不同方面論述了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，通過比較這些不同定義，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的最主要內(nèi)涵是一種理性思維方式在實踐過程中的不斷探索，形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用。

2 高考試題中的數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價值和科學(xué)價值，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育中扮演著重要角色。近年來，高考數(shù)學(xué)科試題中也開始滲透數(shù)學(xué)文化，主要體現(xiàn)在以下三個方面。

2.1 滲透中國古代數(shù)學(xué)史考查

數(shù)學(xué)是一門層層遞進發(fā)展的學(xué)科。重大的數(shù)學(xué)理論總是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎(chǔ)上建立起來的，它們不僅不會推翻原有的理論，而且總是包容原先的理論。[8]因此數(shù)學(xué)史對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要的作用。數(shù)學(xué)史作為試題背景，主要包括數(shù)學(xué)家生平故事，數(shù)學(xué)史事件，數(shù)學(xué)名著，數(shù)學(xué)名題，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史等。以數(shù)學(xué)史為試題情景材料，可以引導(dǎo)中學(xué)生理解數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣起到積極的推動作用；可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)以及探究解決數(shù)學(xué)問題的過程；可以弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并使?jié)撘颇黾訉W(xué)生的愛國主義情感。

例1：我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑。“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式人們還用過一些類似的近似公式。根據(jù)π=3.14159...判斷，下列近似公式中最精確的一個是

例2：我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水。天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中積水深九寸，則平地降雨量是__寸。

中國古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就，出現(xiàn)過劉徽、祖沖之等偉大的數(shù)學(xué)家，以及眾多數(shù)學(xué)名著，其中《九章算術(shù)》便是其中的代表作。這些中國古代數(shù)學(xué)名著是我們的豐富寶庫，是燦爛悠久的中華文明的重要組成部分。中國古代數(shù)學(xué)遵循“經(jīng)世致用”，涉及的研究大多與實際生活、生產(chǎn)結(jié)合緊密，具有濃厚的實際背景，其體現(xiàn)出明顯的問題式、綜合性和算法化的特征。這樣設(shè)計的試題，考查中學(xué)立體幾何中空間幾何體部分的重要知識與算法結(jié)合在一起進行考查，既符合考生的認知水平，又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中華傳統(tǒng)文化。

2.2 滲透數(shù)學(xué)精神

數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)、培養(yǎng)理性思維的一個主要途徑。數(shù)學(xué)精神其內(nèi)涵是人們在依靠思維能力對感性材料進行一系列抽象、概括、分析和綜合，形成概念、判斷或推理的認識過程中反映出的，重視理性認識活動，以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系的精神。[9]它表現(xiàn)為一種信念，表現(xiàn)為對真理的追求，表現(xiàn)為一種基于事實的，正確合乎邏輯的推理形式。在試題中滲透數(shù)學(xué)精神，可以從以下幾個方面做起：①體現(xiàn)反思性；②體現(xiàn)探究性；③體現(xiàn)獨立思考。

例3：（Ⅰ）正四棱錐的體積，求正四棱錐的表面積的最小值；

（Ⅱ）一般地，設(shè)正n棱錐的體積V為定值，試給出不依賴于n的一個充分必要條件，使得正n棱錐的表面積取得最小值。

本題含有兩個小問，都是求表面積的最小值。在第（Ⅰ）問中，給出的幾何圖形是具體的：正四棱錐，所給的體積也是一個固定值，在這樣的背景條件下，讓考生求四棱錐的表面積，試題所給的內(nèi)容知識是學(xué)生常見的。第（Ⅱ）問則是在第（Ⅰ）問的前提下，更進一步，給出了正n棱錐這樣一般幾何圖形，這樣考生思考起來時，不大利于直觀地畫出幾何圖形進行思考。但是通過與第（Ⅰ）問進行比較可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以通過類比方法解決問題。在解題的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)解題的思路是伴隨著反思的，首先就一個特殊情況進行解題（第（Ⅰ）問），然后我們就一類普遍的情況進行研究（第（Ⅱ）問）。當(dāng)對普遍情況進行研究時，則需要我們對特殊情況的解題進行分析和反思。通過這樣的思維活動，也正好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一般發(fā)展過程：從特殊到一般。

例4：為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量。A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如圖1所示）。飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離。請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟。

圖1

試題以“不可到達兩點”的距離測量為素材，要求考生對解題策略、方法進行探究。題目沒有像傳統(tǒng)的三角測量題目一樣給出測量的方法和測量到的數(shù)值，要求考生用公式進行計算，而是給出了飛機航測可以測量的基本數(shù)據(jù)，為考生創(chuàng)設(shè)一個主動探究的學(xué)習(xí)環(huán)境。要求考生對測量的要求有整體的把握和通盤的考慮，設(shè)計測量和計算的方案，然后自己確定需要測量的數(shù)據(jù)，并且可以利用這些數(shù)據(jù)和三角知識計算兩點間的距離。學(xué)生通過自主操作和合情推理提出猜想，通過演繹推理證實或證偽猜想。

例5：已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x。

（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)，當(dāng)x＞0時，g(x)＞0，求b的最大值；

獨立思考指的是敢于沖破習(xí)慣思維的束縛打破常規(guī)去思考問題，運用判斷、歸納、演繹、比較、概括等方法辯證地討論問題的各個影響因素，提出研究問題的新思路和方法步驟，或者提出新的觀點、新的發(fā)現(xiàn)以及總結(jié)新的規(guī)律。

本題將函數(shù)設(shè)計為指數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)的組合f(x)=ex-e-x-2x，第（Ⅰ）問要求討論單調(diào)性。問題基本，直接求導(dǎo)，利用平均值不等式即可解決。第（Ⅱ）問則引進另一個函數(shù)g(x)=f(2x)-4bf(x)，假定當(dāng)x＞0時，g(x)＞0，求參數(shù)b的最大值。這一問的解決需要能把ex+e-x看做一個整體，之后通過解不等式，從而得到b的最大值。第（Ⅲ）問給出的近似值，要求估計ln2的近似值。

從試題本身上來看，前兩問與第（Ⅲ）問之間貌似并無直接聯(lián)系，在解第（Ⅲ）問時，若直接利用前面結(jié)果，不借助2的近似值，直接估計ln2的近似值，但估計的精度不夠理想，這時需要我們重新進行思考，將試題條件與前兩問結(jié)論創(chuàng)造性結(jié)合在一起，最終得到我們要證明的結(jié)論。在這道試題中，通過分步設(shè)問的方式，逐步推進，將不同知識和方法有機整合。對知識的考查側(cè)重理解和運用，讓學(xué)生獨立思考，分析問題，研究問題，并最終解決問題。

2.3 滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)的發(fā)展與社會的進步有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系是雙向的，即一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于社會環(huán)境，受社會經(jīng)濟、政治、文化等諸多因素的影響；另一方面，數(shù)學(xué)的發(fā)展又反過來對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質(zhì)文明和精神文明兩大方面的影響。[10]科學(xué)研究的發(fā)展和進步使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，數(shù)學(xué)概念與方法空前廣泛地滲透到數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科領(lǐng)域和我們的生活。在試題中滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用，可以通過設(shè)計適合的試題情境，要求學(xué)生能夠利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析、解決實際生活、生產(chǎn)中的問題。

例6：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

（A）0.8 （B）0.75

（C）0.6 （D）0.45

本題以當(dāng)前社會關(guān)心的空氣質(zhì)量問題為背景，給出了兩個實際的隨機事件及其概率，引導(dǎo)學(xué)生分析各事件及相應(yīng)概率間的相互關(guān)系。試題的設(shè)計源于社會實際，體現(xiàn)了新課程內(nèi)容與我們社會生活的密切相關(guān)性。試題設(shè)計了幾個事件，要求學(xué)生能分析清楚各事件間的相互關(guān)系,利用事件間的關(guān)系及相應(yīng)計算公式解決概率的計算問題。

例7：為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為A藥，B藥）的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間（單位：h）。試驗的觀測結(jié)果如下：

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：

（Ⅰ）分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？

（Ⅱ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？

合理安排試驗以獲取多個樣本，并對多個樣本進行比較，以對所考查的問題作出統(tǒng)計結(jié)論是統(tǒng)計學(xué)中常見的問題，也是生產(chǎn)和生活中經(jīng)常遇到的問題。對兩樣本的比較方法有多種，在中學(xué)階段所學(xué)的統(tǒng)計知識中，可以用直方圖、莖葉圖作出直觀的比較，也可以通過計算平均數(shù)、標準差等作出初步判斷，還可以用列聯(lián)表的獨立性檢驗方法作出統(tǒng)計推斷。本題以比較兩種治療失眠癥的藥的療效為背景，設(shè)計實際問題，考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)及運用統(tǒng)計知識解決問題的能力。試題貼近生活，具有現(xiàn)實意義，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計知識的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提升學(xué)生解決實際問題的能力等方面有著很好的引導(dǎo)作用。體現(xiàn)了新課程注重情感態(tài)度價值觀，過程、實踐與能力的教學(xué)理念。

3 思考及建議

數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科。數(shù)學(xué)文化在本質(zhì)上體現(xiàn)了文化整體育人的基本要求，也是素質(zhì)教育的基本要求。[11]高中數(shù)學(xué)課程的總目標也明確指出：使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足個人發(fā)展與社會進步的需要。要提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度；具有一定的數(shù)學(xué)視野，初步認識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值、科學(xué)價值和文化價值，逐步形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，從而進一步樹立辯證唯物主義世界觀。在高考試題中滲透數(shù)學(xué)文化，可以適當(dāng)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)的教學(xué)，使得更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生。學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的熏陶，可以促進對健全人格的養(yǎng)成。一方面，可以學(xué)到了數(shù)學(xué)家們那種不畏艱辛，不怕失敗的精神；另一方面，又能學(xué)到以退為進，逐步調(diào)整的方法、策略，形成了能進能退的開闊胸襟。這正是一種文化的遷移，一種文化的教育。

值得我們注意的是，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個有機組成部分，高考試題在滲透數(shù)學(xué)文化時，應(yīng)當(dāng)注意與數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合，注重體現(xiàn)其理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵。可以通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式，選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化。近幾年來，高考數(shù)學(xué)試題作出了大膽的嘗試，高考中編制的數(shù)學(xué)試題，除了要實現(xiàn)能力考查的要求以外，還應(yīng)當(dāng)注重對數(shù)學(xué)文化的滲透，特別是對中國古代傳統(tǒng)優(yōu)秀文化的滲透，從而促進學(xué)生理性思維的發(fā)展。這應(yīng)當(dāng)是新時期數(shù)學(xué)科內(nèi)容與能力改革考查的目標之一。

[1]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[C].大學(xué)數(shù)學(xué)課程報告論壇2005論文集.北京：高等教育出版社，2006.

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Highlight Rational Thinking and Carry forward Mathematical Culture: The Infiltration of Mathematical Culture in the Test

CHEN Ang&REN Zizhao

Mathematical culture is an important part of national culture quality education，it’s connotation is the history of mathematics，the spirit of mathematics and the application of mathematics that formed by rational spirit continued exploration during the practice.The items of college entrance examination pay attention to infiltrate mathematical culture.In this way,we can effectively promote the development of student’s rational spirit.

Rational Spirit；Mathematic Culture；College Entrance Examination；Mathematical Application

G405

A

1005-8427(2015）03-0010-5

本文系全國教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點課題“高考能力考查與內(nèi)容改革創(chuàng)新研究”（課題批準號：GFA111006）階段性研究成果之一。

陳 昂，男，教育部考試中心，助理研究員，博士（北京 100084）

任子朝，男，教育部考試中心，研究員（北京 100084）