讓數(shù)學(xué)文化浸潤練習(xí)課

陳恩輝

[摘 要]數(shù)學(xué)練習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的組成部分，要改變數(shù)學(xué)練習(xí)課是只做數(shù)學(xué)練習(xí)的課這一現(xiàn)狀，應(yīng)賦予數(shù)學(xué)練習(xí)課更多的價值內(nèi)涵?？筛鶕?jù)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵和價值，從深入挖掘數(shù)學(xué)價值、深度構(gòu)建數(shù)學(xué)聯(lián)系、深刻融入數(shù)學(xué)文化三個方面進(jìn)行數(shù)學(xué)練習(xí)課的設(shè)計(jì)，這樣可使學(xué)生遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)的枯燥與乏味，體會數(shù)學(xué)的靈動與趣味。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)文化 練習(xí)課 價值 聯(lián)系 文化 教材 數(shù)學(xué)史 數(shù)學(xué)思想方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）17-020

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，練習(xí)課大約占總課時的40%左右，既是新授課的有效補(bǔ)充與拓展延伸，又是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、習(xí)得數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣、提高數(shù)學(xué)思維能力必不可少的手段與途徑。但如今，數(shù)學(xué)練習(xí)課往往被教師簡化成只做數(shù)學(xué)練習(xí)的課。如何讓數(shù)學(xué)練習(xí)課更多地傳遞數(shù)學(xué)知識、傳承數(shù)學(xué)文化、傳播人類文明，值得每位數(shù)學(xué)教師思考。下面我就以自己親自上過的一節(jié)比賽課為例，談?wù)勥@個問題。

去年市里舉行優(yōu)質(zhì)課評比活動，我有幸代表學(xué)校參加比賽，上內(nèi)容為“分?jǐn)?shù)加減法”的練習(xí)課，這個練習(xí)安排在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”新授課的后面，主要目的是在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法后，通過各種形式的練習(xí)鞏固學(xué)生對分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，提升學(xué)生的計(jì)算能力。這個練習(xí)，教材一共安排了13道習(xí)題（課本第13～16頁），其中第1～3題和第5、第6、第8題屬于基礎(chǔ)計(jì)算類題目，主要鞏固學(xué)生對異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，而第3題兼具培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的功能；第4、第7、第9、第11、第12題屬于解決問題類題目，既有利用異分母分?jǐn)?shù)加減法解決簡單實(shí)際問題的基礎(chǔ)題，又有綜合性較強(qiáng)的實(shí)踐運(yùn)用題；第6和第10、第13題屬于拓展延伸類題目，第6題是在常規(guī)計(jì)算的基礎(chǔ)上找到速算的方法，既是基礎(chǔ)題，又是拓展題，第10題是關(guān)于楊輝三角的變式運(yùn)用，主要意圖是為了增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算興趣，而第13題是為學(xué)有余力的學(xué)生提供的挑戰(zhàn)題。這么多的題目想要在一節(jié)課內(nèi)完成教學(xué)顯然是不可能的，于是我對本節(jié)練習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)定位如下：（1）通過基礎(chǔ)練習(xí)，鞏固學(xué)生對分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，提高他們的計(jì)算能力；（2）借助數(shù)學(xué)文化的魅力，對分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算進(jìn)行拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；（3）讓枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算變得生動、有趣，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

為了挖掘數(shù)學(xué)文化的魅力，我就在“埃及分?jǐn)?shù)”上做文章。在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”新授課結(jié)束后，教材安排了一個“你知道嗎”的內(nèi)容，在這則閱讀材料里介紹了“埃及分?jǐn)?shù)”的知識?！鞍＜胺?jǐn)?shù)”是指古埃及沒有表示分?jǐn)?shù)的通用方法，只用一些特殊符號來表示分子為1的分?jǐn)?shù)，而其他分?jǐn)?shù)都是用幾個分子為1的分?jǐn)?shù)之和來表示，如 = + 等。這一部分內(nèi)容在平常的教學(xué)中往往被教師所忽視，讓學(xué)生看一看就算了事。在備課中，我發(fā)現(xiàn)第12題和第6題能很好地詮釋“埃及分?jǐn)?shù)”的意義，于是就在課堂的第二個環(huán)節(jié)中充分利用“埃及分?jǐn)?shù)”做文章。

情景再現(xiàn)：

在第一個環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)練習(xí)結(jié)束后，第二個環(huán)節(jié)中，我就引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略埃及數(shù)學(xué)文化的魅力。由于教材中的第12題是問“每個孩子分得這些蘋果的幾分之幾”，這個問題問的是部分與整體之間的關(guān)系，與單位“1”的具體數(shù)量無關(guān)，不能引入“埃及分?jǐn)?shù)”，所以我把問題作了改變：“每個孩子分得幾個蘋果？該怎么分呢？”教學(xué)中，我把全班學(xué)生按8人一組分好，每組分給6個圓片代表6個蘋果，讓學(xué)生合作嘗試可以怎么分蘋果。學(xué)生交流匯報(bào)的時候，我根據(jù)他們每人手上拿著的圓片情況，有序地進(jìn)行教學(xué)。

師：請手上拿著6個 的同學(xué)來匯報(bào)。

生1：我們是把每個圓片都平均分成8份（同組的同學(xué)補(bǔ)充“把6個圓片疊在一起分”），共48份，再每人拿6份，就是6個 ，即 。

師：請手上拿著3個 的同學(xué)匯報(bào)。

生2：我們是把每個圓片平均分成4份，共24份，再每人拿3份，就是3個 ，即 。

師：你們的分法與他們相比，有什么好處？

生2：他們分得比我們碎。

師：也就是說，你們的整體性更好一些。那有沒有比他們整體性更好的方法呢？

生3：我們先拿4個圓片，把每個圓片都平均分成2份，一共有8個 ，每人先得1個 ；再把余下的2個圓片每個都平均分成4份，一共有8個 ，每人再得1個 ，這樣每人就一共得到了 + = 。

……

我先通過課件演示生3的方法，讓學(xué)生明白具體的操作過程，再告訴學(xué)生剛才看到的方法就是古埃及人使用的方法。接著，我向?qū)W生介紹“埃及分?jǐn)?shù)”，以及萊因德紙草書中關(guān)于把9個面包平均分給10個人的方法（方法是先拿5個面包，每個都平均分成2份，共有10個 ，每人先得 個面包；再把余下的4個面包每個都平均分成3份，共有12個 個，每人再得到 個面包；最后把余下的2個 都再平均分成5份，共有10個 ，每人得 個面包，這樣每人得到的面包就有 + + = 個）。這樣教學(xué)，既讓學(xué)生體會到古埃及勞動人民的智慧，又讓他們感悟到這種分?jǐn)?shù)表示方法給后來的計(jì)算帶來的弊端。

正當(dāng)學(xué)生興致盎然的時候，我出示第6題中 + 、 + 、 + 、 + 的四個加法式子后，問：“這些埃及分?jǐn)?shù)之和又表示的是哪個分?jǐn)?shù)呢？”沒等算完，有些學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了速算規(guī)律，他們迫不及待地想要表達(dá)自己的成果。

生4：我發(fā)現(xiàn)它們的分母都是原來兩個分母的積，分子都是原來兩個分母的和。

師：這四道題目有什么特點(diǎn)呢？

生5：分母互質(zhì)，分子都是1。

師：是的，我們數(shù)學(xué)中的很多規(guī)律都可以用字母來表示，這個規(guī)律你們會表示嗎？

于是我給出 + = 這一模型，讓學(xué)生試著去填寫，結(jié)果學(xué)生很快就寫出了 + = 。得出結(jié)論后，我再讓學(xué)生討論式子中a和b的關(guān)系，大部分學(xué)生都說a和b要互質(zhì)才行，像剛才做的這四道題一樣，分母都是互質(zhì)的。于是，我追問：“真的只有互質(zhì)關(guān)系才行嗎？”一些聰明的學(xué)生馬上去找反例驗(yàn)證，很快得出了結(jié)論。一個學(xué)生說：“不互質(zhì)也是可以這樣算的，只是這樣算起來的結(jié)果不是最簡分?jǐn)?shù)，需要再約分才行?！逼渌麑W(xué)生都情不自禁地為這位同學(xué)鼓起掌來。

在學(xué)生研究出分?jǐn)?shù)單位相加的速算方法后，自然就引出了相減的話題。于是我出示第6題的四道減法式子，不過由于第6題的四道減法式子的分母都是相鄰的自然數(shù)，使得差的分子都是1，容易誤導(dǎo)學(xué)生，不利于學(xué)生得出規(guī)律，所以我作了些許改變，如 - 、 - 、 - 、 - 等。有了剛才加法的研究基礎(chǔ)，在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生都能自主地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并且在與同學(xué)的討論中總結(jié)出了它的速算方法，也學(xué)著用字母表示出來。

在領(lǐng)略了古埃及的數(shù)學(xué)文化之后，第三個環(huán)節(jié)，我引導(dǎo)學(xué)生把研究對象轉(zhuǎn)回到了對古代中國數(shù)學(xué)的研究，即第10題的楊輝三角。不知不覺四十分鐘很快過去了，下課的鈴聲響起時，學(xué)生還沉浸在剛才的數(shù)學(xué)文化探尋之旅中。

反思：

我課后反思認(rèn)為，要想上好數(shù)學(xué)練習(xí)課，并讓課堂充滿數(shù)學(xué)文化味，應(yīng)盡力做到以下三點(diǎn)。

1.深入挖掘數(shù)學(xué)價值

要想讓枯燥的數(shù)學(xué)練習(xí)充滿數(shù)學(xué)味，必須要理解教材中每道習(xí)題的編寫意圖，充分挖掘習(xí)題的價值和內(nèi)涵。一般有以下兩種基本途徑：

（1）立足教材。

教材畢竟是教材，它的每道練習(xí)題都是由專家通過再三斟酌后編制和選定的。作為一線教師，要先尊重教材，深入理解教材中每一道習(xí)題的編寫意圖，體會它的價值與內(nèi)涵，不要被它樸素的外表所迷惑。我們不能總想著要通過光鮮的多媒體去呈現(xiàn)所謂“高大上”的練習(xí)題以奪人眼球，這是一種功利的想法，要摒棄。如本節(jié)課中的第12題，看似一道毫不起眼的題目，卻承載了深厚的數(shù)學(xué)文化——“埃及分?jǐn)?shù)”。又如，本節(jié)課中的第10題“有趣的三角”，看似僅僅是同分母分?jǐn)?shù)加法的練習(xí)，但它其實(shí)是楊輝三角的變式運(yùn)用，它的分子就是楊輝三角數(shù)，這里面包含了眾多古今中外數(shù)學(xué)家的研究成果，如賈憲、楊輝、帕斯卡……對于學(xué)生來說，現(xiàn)在雖然理解不了楊輝三角數(shù)這一知識，但它的前幾行卻是11的自乘積，即11的n次冪，這個知識學(xué)生還是能夠理解的。

（2）改編教材。

教材無非是個例子。教材是由專家編寫而成的，由于每個人的立場不同以及編寫教材的時空限制，難免會出現(xiàn)一些疏漏，因此我們不能死抱著教材不放。我們可以對教材中一些不盡如人意的地方進(jìn)行調(diào)整，使得它更符合我們的教學(xué)意圖。如教材中的第6題與第12題，它們雖然不存在錯誤，但我們可以對它們進(jìn)行一些微調(diào)，以更加適合我們的教學(xué)需要。又如第9題，教材中的原題只是根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義對鐘面平均分后再取一份進(jìn)行涂色，我們可以把這道題進(jìn)行一些微調(diào)，讓第二幅圖的指針位置從第一幅圖的結(jié)束位置（即6點(diǎn)鐘的位置）開始，讓第三幅圖的指針位置從第二幅圖的結(jié)束位置（即10點(diǎn)鐘的位置）開始，然后依次動態(tài)呈現(xiàn)，這樣就變?yōu)榧瓤梢钥疾榉謹(jǐn)?shù)意義，又可以考查分?jǐn)?shù)加減法的題目，一舉兩得，何樂而不為？

2.深度構(gòu)建數(shù)學(xué)聯(lián)系

在充分挖掘習(xí)題的價值和內(nèi)涵后，還要對這些習(xí)題進(jìn)行串聯(lián)，構(gòu)建題組。在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系時，也有兩種基本的策略。如下：

（1）以數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系構(gòu)建聯(lián)系。

教材中的一個練習(xí)往往編制了十幾道題目，每一道題目都是有意圖的，也都是有價值的，雖看似各自為政，但內(nèi)部其實(shí)是蘊(yùn)含著某種聯(lián)系的，在編寫時也是按照一定的邏輯序列來編排的。因此，我們在充分挖掘每道題的價值后，要讓這些看起來孤立的題目以一定的邏輯序列呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，使得學(xué)生的思維能夠逐步深入，達(dá)到提高數(shù)學(xué)思維能力的目標(biāo)。例如，本課以“埃及分?jǐn)?shù)”把第12題和第6題自然串聯(lián)起來，使得枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算變成追尋數(shù)學(xué)文化的足跡，讓學(xué)生體會到人類文明進(jìn)步的熠熠光輝。

（2）以數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建聯(lián)系。

數(shù)學(xué)習(xí)題間除了顯性的邏輯關(guān)系外，還藏著隱性的數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法在解題時是可以遷移的。如本練習(xí)課的第13題，對學(xué)生來說有兩道坎：一是解題的次序；二是復(fù)雜的計(jì)算。兩者相比，后者顯得更費(fèi)時、更易錯，因此我們可以把它與第10題聯(lián)系起來。這兩題都具有濃厚的中國味，楊輝除了楊輝三角，他還研究幻方，第13題的圖可以看成是翻轉(zhuǎn)的九宮格，即把里面的四條斜線旋轉(zhuǎn)90度就成了標(biāo)準(zhǔn)的九宮格，而九宮格在中國古代就被稱為幻方。如何建立起這兩題的聯(lián)系呢？剛才說了第10題其實(shí)就是楊輝三角加了個分母，去掉分母就是標(biāo)準(zhǔn)的楊輝三角了，這個分母就像是一件“馬夾”，把它遷移到第13題，也可以把它的“馬夾”（即分母）去掉，使計(jì)算變得簡單。但這里需要學(xué)生思考的是：“第10題里是同分母分?jǐn)?shù)，去掉分母相當(dāng)于擴(kuò)大相同的倍數(shù)，而這一題是異分母分?jǐn)?shù)，如果直接去掉分母會擴(kuò)大相同的倍數(shù)嗎？”這樣教學(xué)，使學(xué)生明白在去分母前需要先通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，就可以有效突破計(jì)算這道坎。這兩道題從表面上看，都是把分母去掉可以使計(jì)算變得簡便，其實(shí)隱藏著的是同一種數(shù)學(xué)思想方法，即都要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法解決問題。

3.深刻融入數(shù)學(xué)文化

人們常說：“要給學(xué)生一杯水，教師要有長流水?！钡鳛閿?shù)學(xué)知識，如果離開了數(shù)學(xué)文化這條河，就將成為死水。數(shù)學(xué)課堂對于數(shù)學(xué)文化的傳承可能更多地需要數(shù)學(xué)練習(xí)課來承擔(dān)，因?yàn)樾率谡n往往以傳授新知和傳承知識為主要任務(wù)，而對于數(shù)學(xué)文化的傳承應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)知識為載體。正如前面對于“埃及分?jǐn)?shù)”的理解一樣，只有在學(xué)生學(xué)會分?jǐn)?shù)加減法后，才能體會到“埃及分?jǐn)?shù)”這一數(shù)學(xué)文化。在數(shù)學(xué)練習(xí)課中融入數(shù)學(xué)文化，有兩種基本思路。如下：

（1）融入數(shù)學(xué)史。

數(shù)學(xué)伴隨著人類文明一路走來，從人類的誕生開始可能就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)，如同英國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家伯特蘭·羅素所說的“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時，數(shù)學(xué)就誕生了”，并且一直伴隨著人類文明一起進(jìn)步。小學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識在整個數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，屬于起步的基礎(chǔ)階段，距今至少在千年以上，甚至是幾千年了。今天我們在課堂上40分鐘就能教學(xué)的知識，在歷史的長河中得經(jīng)歷幾百年甚至幾千年的探索，當(dāng)中不知發(fā)生了多少有趣的故事或是凄慘的悲劇。因此，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生更好地了解這些數(shù)學(xué)史，這樣不僅可以增加他們對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，而且有利于學(xué)生在課堂中重現(xiàn)探究學(xué)習(xí)的過程。例如，教學(xué)“圓的認(rèn)識”這一單元時，教師十分有必要讓學(xué)生了解我國古代的割圓術(shù)以及對圓周率的研究歷史，使得學(xué)生知道圓周率是通過不斷地割圓而計(jì)算出來的。如果不去了解這段數(shù)學(xué)史，學(xué)生會認(rèn)為圓周率是通過直接測量圓周長與直徑再相除算出來的，這顯然是一種錯誤的認(rèn)識。

但我們又不能把數(shù)學(xué)文化僅僅局限為中國的數(shù)學(xué)文化，好像一說到數(shù)學(xué)文化，就是古代中國比世界領(lǐng)先了多少年。我個人看來，文化沒有好壞之分，可能有快慢之別，我們的課堂教學(xué)如果還停留在以中國過去領(lǐng)先世界多少年為榮的話，那么當(dāng)學(xué)生知道我們中國現(xiàn)在還落后于世界，哪怕只是暫時的落后，他們可能會產(chǎn)生自卑的心理并以此為恥。就像前面“你知道嗎”中介紹的，我們不能簡單地以《九章算術(shù)》中記錄的分?jǐn)?shù)加減法比古埃及的先進(jìn)就沾沾自喜并恥笑埃及人笨，而是應(yīng)該讓學(xué)生感受到古埃及勞動人民創(chuàng)造的這種分?jǐn)?shù)的表示方法也是一種偉大的創(chuàng)舉?！鞍＜胺?jǐn)?shù)”如今屬于數(shù)學(xué)的一個分支——不定議程，并引出了大量的問題，其中有許多至今尚未解決，吸引著許多頂尖的數(shù)學(xué)家不斷深入研究呢！在世界發(fā)展到地球村的時代，文化的界限也變得越來越模糊，文化的融合度也越來越高，我們更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生以世界的眼光來看待數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

（2）融入數(shù)學(xué)家。

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開古今中外的數(shù)學(xué)家，他們有的涉獵廣泛，同時研究天文、哲學(xué)、物理等學(xué)科，也有的終其一生研究一個數(shù)學(xué)問題。正是由于成千上萬的數(shù)學(xué)家共同的付出，才推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時也促進(jìn)了人類文明的進(jìn)步。但如果問一個六年級的小學(xué)生“你知道哪些數(shù)學(xué)家時”，恐怕他們多數(shù)只能說出祖沖之與高斯這兩個代表人物，因?yàn)檫@兩位數(shù)學(xué)家是數(shù)學(xué)教材中提得比較多的，甚至連牛頓都成了蘋果的創(chuàng)始人。這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的一個薄弱點(diǎn)，因此教師要在數(shù)學(xué)課堂上加強(qiáng)這方面的教育。我們可以通過一道題，挖出一位數(shù)學(xué)家或者一本數(shù)學(xué)著作。如教學(xué)本課的第10題時可以介紹楊輝等數(shù)學(xué)家，通過楊輝又可以介紹中國古代的幻方；通過圓周率可以介紹劉徽、祖沖之等數(shù)學(xué)家；在學(xué)習(xí)因數(shù)與倍數(shù)這一內(nèi)容后，通過“物不知數(shù)”的問題介紹《孫子算經(jīng)》，從而引出“中國剩余定理”以及鮮為人知的大數(shù)學(xué)家秦九韶；通過“百雞問題”介紹《張丘建算經(jīng)》……讓數(shù)學(xué)家堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的研究精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他們樹立起研究數(shù)學(xué)的志向。

總之，數(shù)學(xué)練習(xí)課是整個數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的組成部分，我們不僅要把練習(xí)課上得扎實(shí)，更要上出數(shù)學(xué)味、文化味，從而讓學(xué)生遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)的枯燥與乏味，體會數(shù)學(xué)的靈動與趣味。

（責(zé)編 杜 華）