基于代數(shù)方法的一類不確定系統(tǒng)的滑模觀測器設計

湯承林，練嵐香，劉 俊

基于代數(shù)方法的一類不確定系統(tǒng)的滑模觀測器設計

湯承林1，練嵐香2，劉 俊2

(1. 淮安信息職業(yè)技術學院計算機與通信工程學院 江蘇 淮安 223003; 2. 清華大學自動化系 北京 海淀區(qū) 100084)

在不滿足觀測器匹配條件的情況下，針對伴有未知輸入的一類線性時不變系統(tǒng)，研究了滑模觀測器的設計。首先，將未知輸入劃分為匹配未知輸入和不匹配未知輸入兩部分，通過使用代數(shù)方法，不匹配未知輸入可以表述為一個動態(tài)系統(tǒng)，從而可得一個滿足匹配條件，由原系統(tǒng)和不匹配未知輸入系統(tǒng)構成的增廣系統(tǒng)。針對該增廣系統(tǒng)設計滑模觀測器，可以漸近跟蹤原系統(tǒng)的狀態(tài)。針對一類伴有未知擾動的柔性關節(jié)機器人系統(tǒng)，使用該文方法設計滑模觀測器，仿真結果表明該方法是有效的。

增廣系統(tǒng); 觀測器匹配條件; 滑模觀測器; 未知輸入建模

輸入未知情況下的觀測器設計是控制界學者廣泛關注的問題之一。針對未知輸入系統(tǒng)，文獻[1-2]給出了全維觀測器的設計方法，文獻[3-4]給出了降維觀測器設計方法，文獻[5-6]提出了滑模觀測器，文獻[7-8]提出了自適應觀測器。在許多工業(yè)系統(tǒng)中，未知輸入可以是未知擾動或故障。因此，未知輸入觀測器在動態(tài)系統(tǒng)的故障檢測領域有著廣泛的應用[9-13]。

未知輸入系統(tǒng)設計以上觀測器的充分必要條件之一是系統(tǒng)滿足未知輸入和可測輸出之間的秩條件(也稱為觀測器匹配條件)。但是，許多系統(tǒng)不滿足匹配條件。最近，針對不滿足匹配條件的系統(tǒng)，文獻[14-16]提出了基于輔助輸出的未知輸入觀測器設計方法。該方法通過引入輔助輸出使得匹配條件得以滿足，但是由于輔助輸出不可測，所以需要用高增益近似微分器或者高階滑模精確微分器進行估計，然后，使用這些估計值設計未知輸入觀測器，這使得觀測器設計過程繁瑣復雜。針對不滿足匹配條件的系統(tǒng)，為了能夠得到比較簡單的觀測器設計方法，文獻[17]將未知輸入分解成匹配未知輸入和不匹配未知輸入兩部分，并假設不匹配部分可以表述為虛構的自治動態(tài)系統(tǒng)的響應。這樣，可以得到一個同時包含原系統(tǒng)和不匹配未知輸入建模系統(tǒng)的增廣系統(tǒng)，使得匹配條件得以滿足，然后設計降維觀測器。

針對伴有未知輸入的線性時不變系統(tǒng)，本文基于未知輸入建模的思想，提出了一種在系統(tǒng)不滿足觀測器匹配條件的情況下Wolcott-Zak型滑模觀測器的設計方法。相比于文獻[17]的降維觀測器，本文的方法有以下優(yōu)點：1) 滑模觀測器可以觀測全狀態(tài)，提高了設計的自由度和誤差收斂速度；2) 可以利用滑模觀測器中的輸出注入信號重構未知輸入。

1 系統(tǒng)描述和背景知識

1.1 系統(tǒng)描述

本文考慮以下線性時不變系統(tǒng)：

式中，x∈Rn、u∈Rm和y∈Rp分別為狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量；d∈Rl表示未知輸入；A∈Rn×n、B∈Rn×m、D∈Rn×l和C∈Rp×n均為已知恒矩陣。如文獻[1-17]所示，不失一般性，假設rank(D)=l，rank(C)=p且l≤p≤n。

系統(tǒng)(1)設計傳統(tǒng)的未知輸入觀測器[1-3,5-8]，必須滿足以下條件：

1) {A, C, D}的不變零點位于復平面的左半開平面；2) rank(D)=rank(CD)。

當系統(tǒng)滿足條件2)時，稱系統(tǒng)(1)滿足觀測器匹配條件[18]。當系統(tǒng)滿足觀測器匹配條件時，文獻[1-3,5-9,11,13,19-20]提出了未知輸入觀測器設計方法。下面介紹一個關于設計Wolcott-Zak型滑模觀測器的引理。

引理 1[19]當系統(tǒng)同時滿足條件1)和條件2)時，對于某些正定陣Q∈Rn×n，存在矩陣L∈Rn×p、F∈Rq×p以及正定陣P∈Rn×n，使得：

成立。

當系統(tǒng)(1)在滿足條件1)，但是不滿足條件2)時，基于輔助輸出的估計值，文獻[14-15]提出了滑模觀測器設計方法，文獻[3,16]提出了降維觀測器設計方法。但是，獲得輔助輸出估計值的過程比較復雜，文獻[17]提出了一種簡單易行的基于未知輸入建模的降維觀測器設計方法。本文希望當系統(tǒng)(1)在滿足上述條件1)，但是不滿足條件2)的情況下設計Wolcott-Zak型滑模觀測器，所以作出如下假設：

假設1 系統(tǒng)(1)滿足條件1)，但是不滿足條件2)，即rank(D)≠rank(CD)。

當系統(tǒng)(1)同時滿足條件1)和條件2)時，可以使用文獻[6]中介紹的方法設計Wolcott-Zak型滑模觀測器。本文希望基于對未知輸入代數(shù)建模的方法，解決系統(tǒng)(1)不滿足匹配條件的情況下設計Wolcott-Zak型滑模觀測器的問題。

1.2 不匹配未知輸入d2建模

當系統(tǒng)(1)在不滿足觀測器匹配條件時，文獻[17]將未知輸入矩陣D分解成1D和2D，未知輸入d分解成1d和2d，有：

式中，d∈Rl1為匹配未知輸入，是范數(shù)有界的，即

1存在ρ＞0，使得d1≤ρ；d2為不匹配未知輸入。未知輸入矩陣D的劃分滿足rank(D1)= rank(CD1)=l1。

系統(tǒng)(1)可以描述為：

為了處理不匹配未知輸入d2，作如下假設：

假設2 不匹配未知輸入d2可以表述為自治動態(tài)系統(tǒng)的響應。

基于假設2，使用文獻[21]中的代數(shù)建模方法，通過選擇合適的矩陣，得：

式中，2id為2d的第i個分量。由式(3)，不匹配未知輸入為：

式中，

由系統(tǒng)方程(2)和未知輸入模型(4)可得：

不難驗證，有rank(Da)=rank(CDa)=l1成立，所以，增廣系統(tǒng)(5)滿足觀測器匹配條件。

2 滑模觀測器的設計

本文希望系統(tǒng)(1)在不滿足觀測器匹配條件的情況下，可以設計Wolcott-Zak型滑模觀測器。近來，文獻[3,14-16,22]提出了觀測器的設計方法，可以規(guī)避匹配條件的限制，但是，大都是基于輔助輸出的估計值。在系統(tǒng)(1)不滿足匹配條件的情況下，文獻[17]設計了基于代數(shù)方法的降維觀測器。本文的主要目的是當系統(tǒng)(1)不滿足匹配條件時，基于代數(shù)建模方法設計Wolcott-Zak型滑模觀測器，相比于文獻[17]提出的降維觀測器，具有設計自由度高、魯棒性強等優(yōu)點。

引理 2[17]系統(tǒng){A, C, D}的不變零點和{Aa, Ca,Da}的不變零點相同。

引理2表明，當假設1成立時，{Aa, Ca,Da}的不變零點依然位于復平面的左半開平面，再根據(jù)引理1，可得以下定理。

定理 1 對于某些正定陣Q∈R(n+δ)×(n+δ)，存在

成立。

定理1中的Lyapunov方程(6)成立是設計Wolcott-Zak型滑模觀測器的充分必要條件，所以對系統(tǒng)(5)，設計Wolcott-Zak型滑模觀測器為：

式中，

式中，參數(shù)矩陣aL和aF已于定理1中定義。由式(5)和式(7)可得：

式中，ea=xa?x?a。

受文獻[6]的啟發(fā)，給出以下定理。

定理 2 基于假設1和假設2，當ηa＞ρ時，狀態(tài)估計誤差ea可以漸近跟蹤系統(tǒng)(5)的狀態(tài)。

由式(6)的第1個方程，可得：

由式(6)的第2個方程，有：

由式(6)的第2個方程和式(8)，有：

將式(11)和式(12)代入式(10)，可得：

當ηa＞ρ時，V˙＜0，從而有

為了減輕滑模過程中的抖振現(xiàn)象，通常在實際操作過程中，使用以下滑?？刂坡剩?/p>

式中，10ε＞。

由文獻[6]可知，可以在有限時間里到達滑模面{ea:σ=FaCaea=0}，且在狀態(tài)誤差空間里保持不變，從而有：

由式(6)的第2個方程，可得：

當系統(tǒng)(1)不滿足匹配條件時，基于未知輸入建模的方法，文獻[17]給出了一種降維觀測器的設計，本文則給出了Wolcott-Zak型滑模觀測器的設計?？梢钥闯觯Ｓ^測器式(7)和式(8)不僅可以漸近跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)，還可以重構部分未知輸入信號，彌補了文獻[17]方法的不足。

3 仿 真

將本文提出的Wolcott-Zak型滑模觀測器設計方法用于如下由直流電機驅(qū)動的一個機械手鏈接環(huán)節(jié)的標稱模型[17]，有：

式中，mθ為角位移；mω為電機角速度；lθ為角位置；lω為鏈接角速度；mJ為電機慣性；lJ為鏈接慣性；tk為扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)；rB為粘滯摩擦系數(shù)；Kτ為放大器增益；pm為指針質(zhì)量；g為重力常數(shù)；h為連體長度，且mθ、mω和lθ是可測的。則相應的狀態(tài)空間方程為：

非線性項Φ(x)可以表示為Φ(x)=Rv，其中，R=[000?0.333]T,v=。則原系統(tǒng)可以重寫為：

容易驗證rank(CD)≠rank(D)，則傳統(tǒng)的滑模觀測器設計方法將不再適用。因為rank(CΔ)= rank(Δ)=1，CE=0，所以可取d1=ξ,D1=Δ, d2=v，D2=R，從而有rank(CD1)=rank(D1)=1。假設d2為正弦信號，由文獻[21]可得:

使用LMI工具箱，可得：

增廣系統(tǒng)的狀態(tài)和滑模觀測器的狀態(tài)初始值分別設為x (0)=[?10?1?1?3]T，x?a(0)= [000000]T。系統(tǒng)不確定性為ξ= 0.25sin(6πt)。

3.1 仿真結果

圖1～圖4給出了系統(tǒng)狀態(tài)及其觀測值，圖5給出了系統(tǒng)的匹配未知輸入d1及其重構值。從仿真結果可以看出，本文的Wolcott-Zak型滑模觀測器可以很好地跟蹤原系統(tǒng)的狀態(tài)和重構未知擾動信號。

圖1 1x及其估計

圖2 2x及其估計

圖3 3x及其估計

圖4 4x及其估計

圖5 1d及其估計

4 結 論

本文針對一類線性時不變系統(tǒng)，在觀測器匹配條件不滿足的情況下，探討了Wolcott-Zak型滑模觀測器的設計?；趯ξ粗斎氲拇鷶?shù)建模方法，得到一類滿足匹配條件的增廣系統(tǒng)，并證明可以對該增廣系統(tǒng)設計Wolcott-Zak型滑模觀測器。將本文方法應用于一類柔性機器人系統(tǒng)，從仿真結果可以看出該方法是有效的。

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編 輯 漆 蓉

Sliding-Mode Observers Design of Uncertain Systems Algebraic Based on an Approach

TANG Cheng-lin1, LIAN Lan-xiang2, and LIU Jun2

(1. School of Computer and Communication Engineering, Huaian Information Technology College Huaian Jiangsu 223003; 2. Department of Automation, Tsinghua University Haidian Beijing 100084)

This paper considers the problem of designing sliding-mode observers for linear invariant systems with unknown inputs when the observer matching condition is not satisfied. The unknown inputs can be divided into two parts, one is matched unknown inputs and the other is unmatched unknown inputs. Using an algebraic unknown inputs modelling technique, the mismatched part can be expressed as a dynamical system. Therefore, an augmented system consisting of the original system model and the unmatched unknown inputs model is constructed such that the observer matching condition can be satisfied. For the augmented system, a sliding-mode observer is designed which is able to asymptotically track the original states. The simulation results to a single flexible joint robot link model demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

augmented system; observer matching condition; sliding-mode observer; unknown inputs modelling

TP13

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.06.014

2014 ? 02 ? 24；

2014 ? 06 ? 19

國家自然科學基金(61203230)1；中國博士后科學基金(2013M530629)作者簡介：湯承林(1963 ? )，男，副教授，主要從事計算機控制方面的研究.