范希爾幾何思維水平在教育教學中的應用

文/羅紅梅

幾何能培養(yǎng)空邏輯思維能力、間想象能力，它在思維的培養(yǎng)中起著重要作用。幾何的學習包括幾何概念、幾何判斷、幾何推理的學習，由于幾何的特點較多，使得幾何學習起來非常困難，如:幾何推理有幾何推理往往借助于直觀、幾何推理具有明顯的層次性、幾何推理方式的多樣性三方面特點。教學影響學生的幾何思維水平，如何有效提高學生的幾何能力是教師一直努力解決的問題。范希爾夫婦在教學中發(fā)現(xiàn)教材中呈現(xiàn)的問題或作業(yè)需要的語言通常超出了學生的思維水平，他們于1957年提出了幾何思維五水平，之后相繼提出了與之的五個教學階段，稱為范希爾理論。

一、范希爾幾何思維水平

范希爾幾何思維水平由低到高分為視覺、分析、非形式化演繹、形式化演繹、嚴密性5個水平，后來弗斯、克萊門慈等人研究發(fā)現(xiàn)還有比視覺層次更低的層次存在，克萊門慈將其稱為前認知水平。范希爾夫婦總結歸納出幾何思維水平的特點具有次序性、進階性、語言性、內隱性及外顯性、語言性、不適配性，在運用時要考慮這些特性對學生幾何思維的影響。20世紀80年代，范希爾將幾何思維五水平合并為直觀水平、描述水平、理論水平。

二、范希爾幾何思維水平在教育教學中的應用

(一)評估學生的幾何思維水平

評定學生的幾何思維水平可根據(jù)范希爾幾何思維水平編制測試題，按照學生對問題回答的情況評判他的幾何思維水平等級，還可考察到學生的思維過程，從而調整教學計劃。美國Usiskin于1982年編制的《Van Hiele幾何思維測試題》，每個思維層次包括5個試題，如果學生答對該水平試題數(shù)的3/5或4/5，則學生達到該幾何思維水平，如果達到某一水平但未達到前一水平，這這一水平不予認可。他編制的測試題、評定是否達到某一思維水平的方法被研究者廣泛參考。Usiskin通過調查得出，3%的初中生可以達到非形式化演繹之上;范希爾幾何思維水平與幾何測驗的分數(shù)相關性顯著;一些學生的解答在兩水平之間，難以認定為某一水平;學完初中幾何課程以后，40%的學生未達到非形式化演繹水平;范希爾幾何思維層次存在性別差異現(xiàn)象。

為掌握學生的幾何思維水平及過程，考察我國學生有沒有類似于Usiskin的研究結論，我國學者進行了范希爾幾何思維水平的應用研究。他們編制試題測量學生的幾何思維水平現(xiàn)狀，并分析解答過程來改進幾何教學，還比較了不同的地區(qū)、民族、性別間學生的幾何思維水平差異，這些研究促進了我國幾何思維的發(fā)展。

葛詢自編了每水平包含三個小問題的Kasner正方形的測試題，測試中小學各年級學生的幾何思維層次，驗證了范希爾思維水平運用于某些具體數(shù)學問題的可行性，但此研究的試題面太窄，僅測出了學生對Kasner正方形的幾何思維層次，測試結果能否反應學生的幾何思維層次需要進一步研究。教學前了解學生的能力現(xiàn)狀是十分必要的，王娟為了解七年級學生學習《相交線與平行線》前，學生的平行線的認知結構及推理認知情況，便于進行平行線的單元教學設計。她分析了教材內容的幾何思維水平，小學階段學生了解了平行線的定義和簡單性質，認知水平集中在視覺、分析層次;初中在小學的基礎上探索平行線的性質和判別，認知水平將提高到非形式演繹。她自編測試題考察學生平行線概念的認知、平行線的推理水平，對學生的回答情況進行了歸類，統(tǒng)計了學生的推理水平并提出教學策略。王遠帆根據(jù)Usiskin的《Van Hiele幾何思維水平測試題》編制了《圓》的幾何思維水平測試題并分析兩套題目的相關性。他運用《圓》的測試題測試學生的范希爾幾何思維水平，得出中考成績、一?？荚嚭蚔an Hiele水平之間顯著相關的結論，說明Van Hiele幾何思維水平愈高學業(yè)成績越好。袁林研究了3-6歲幼兒平面幾何圖形辨認能力和組合能力，發(fā)現(xiàn)幼兒的平面幾何圖形辨認能力主要處在視覺水平，一些幼兒處在前視覺水平和融合水平，思維從視覺到分析;幾何圖形組合能力處在零散組合階段和圖像階段，部分幼兒處在前組合階段和形狀組合階段，思維從具體到抽象;兩種能力存在明顯的年齡差異、民族差異，但城鄉(xiāng)差異和性別差異不明顯，兩種能力存在一定的正相關。

金美月、馮雪嬌比較了漢、蒙古、朝鮮族初中生幾何認知水平，發(fā)現(xiàn)漢蒙和漢朝學生的直觀水平都存在顯著的民族差異，朝蒙學生直觀水平不存在顯著的民族差異;蒙漢和蒙朝學生的描述水平、理論水平民族差異都顯著，漢朝學生間這兩水平民族差異不顯著。三個民族男女生都只達到直觀水平，隨著認知水平的升高，女生優(yōu)于男生，并分別比較分析了三個民族的男女生在每一幾何認知水平的表現(xiàn);三個民族學生的幾何認知水平均影響數(shù)學成就。戴天羽根據(jù)范希爾三水平編制了高中生立體幾何認知水平測試題，比較在遼寧地區(qū)生活環(huán)境相同的蒙、漢族學生的差異。在沒有系統(tǒng)學習立體幾何前，兩民族學生的幾何認知水平只達直觀水平;學習立體知識后，漢族學生的描述水平比蒙古族學生好，蒙古族學生的理論水平比漢族學生好;能力不同的學生的幾何認知水平有差異現(xiàn)象，處于同一生活環(huán)境的兩民族學生的立體幾何認知水平的差異不明顯。

這些研究驗證了運用具體幾何問題考察學生的幾何思維水平的可行性，也說明了部分學生的幾何思維水平處于過渡期，學生的數(shù)學學習成績與幾何思維水平正相關，同一生活環(huán)境的不同民族學生的幾何思維水平差異不明顯，幾何思維水平存在性別差異的現(xiàn)象。

(二)評估教材內容的幾何思維水平

范希爾幾何思維水平用于評估教材幾何內容的幾何思維水平，可以幫助教師了解教材中幾何內容的幾何思維水平整體分布情況，從整體把握幾何內容的系統(tǒng)安排。教材編制者及教師可根據(jù)幾何思維水平的分布情況對教學內容進行調整、改進。在幾何內容的教學中，教師尤其要處理好學生的幾何思維水平層次間的過渡。

龐雪蘭等從“長方體的認識”看小學數(shù)學幾何教材的編排，發(fā)現(xiàn)以長方體為代表的立體幾何知識少且分散，相關知識間的系統(tǒng)性不強，沒有充分體現(xiàn)長方體在發(fā)展學生的空間觀念等幾何思維能力的作用。王遠帆分析了《圓》的教材和配套練習的思維水平，課本的內容都以分析、非形式化演繹為主，而配套的練習也是集中在這兩個水平，偶爾出現(xiàn)形式化演繹水平。任芬芳］比較2011、2001版初中數(shù)學課程標準和人教版中“圖形與幾何”內容的認知水平，兩版本課程標準及教材相比，知識點水平基本一致;2011版比2001版課程標準的形式化演繹的內容略有所增加;兩版本版課程標準及人教版教材中每個水平的知識點分布基本一致;人教版教材中非形式化演繹和形式化演繹的知識點大部分集中在八年級。崔冉分析了上教版和人教版的知識的幾何思維水平分布情況，兩教材幾何設計均符合范希爾幾何思維水平，兩版本教材內容的設置基本相同，但上教版更具范希爾幾何思維水平系統(tǒng)性。

“相似形”是初中幾何的代表性內容，幾位研究者選擇了此內容分析它呈現(xiàn)的幾何思維水平情況，并比較了不同版本內容安排優(yōu)勢與不足。王娟玲選取初中《相似形》比較華教版和蘇教版教材呈現(xiàn)知識活動的幾何思維水平，蘇教版更注重邏輯推理，它呈現(xiàn)的數(shù)學活動集中在較高的幾何思維水平，而華師版更注重用觀察、實驗、動手操作等方式啟發(fā)誘導學生學習幾何知識，數(shù)學活動呈現(xiàn)的思維水平分配不均。陳迪春比較了人教版和北師大版“相似形”，他將兩版本教材中每個學習活動作為一個條目歸入每一水平統(tǒng)計分析。兩教材都很注重從直觀引入新概念，這有利于培養(yǎng)學生的幾何直觀與直覺，且符合思維的發(fā)展過程，但兩教材對具體問題的處理差距較為明顯。北師大教材動手能力要求更高，而人教版邏輯思維能力更嚴;人教版的問題比較零散，不具有情境性;兩個教材的課程改革整體上符合心理學的研究成果，與國際幾何課程改革與發(fā)展方向相同，但大大降低了對幾何思維水平的要求，原因是促進學生由低向高的幾何思維水平發(fā)展的策略效用不夠。唐恒鈞、張維忠比較我國新教材《數(shù)學·中二年級 (八年級)(下)》與美國《發(fā)現(xiàn)幾何》的“相似形”一章內容，兩國都注重從直觀幾何入手，但美國的內容更廣、更深，系統(tǒng)的問題情境使得學生的幾何學習總處于由問題組成的情境脈絡之中。我國教材注重運用正、反例的辨析來在鞏固中求發(fā)展，也有努力通過問題來提高學生思維水平，但缺乏相應的情境。

李勇比較了人教版與北師大版初中“空間與圖形”各個階段的范希爾思維水平，發(fā)現(xiàn)人教版對邏輯推理能力的要求高于北師大版且花課時更多，人教版以知識點為單位來設計幾何思維水平的發(fā)展，內容比較連貫，很自然地引出形式化演繹推理。而北師大版對前面幾個思維水平的設計與人教版類似，但從非形式化演繹到形式化演繹的過渡上，北師大版從整體上設計幾何思維水平的發(fā)展更多。兩個版本教材對前幾節(jié)的內容安排基本一致，但在之后的內容中，人教版通過嚴格的形式證明作為分析與非形式化演繹的過渡，而北師大版教材引入了非形式的演繹推理作為視覺與分析水平的過渡，過渡的方式不一樣。

(三)評價與反思

測量學生幾何思維水平方面，研究者都是運用自編試題對學生進行測試且相關研究范圍不廣。使用者可能會存在理論理解不透、測試題遷移不當?shù)痊F(xiàn)象，影響測量結果的有效性。評估教材方面，研究者評價了教材內容的幾何思維水平，比較了不同版本教材幾何思維處理的優(yōu)勢，給予教材編制者、一線教師吸收其它版本教材的編排優(yōu)勢之處，具有很強的參考價值，但研究不夠系統(tǒng)。應大力在中小學教師中推廣教師對范希爾理論、solo分類理論等評價方法的學習與運用，更深入細致地剖析各水平的劃分標準，使一線教師使用其評估學生、教材起來都得心應手，使得教師教學中結合幾何思維水平特性，提高教學效率。

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