多重時滯離散非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制

周衛(wèi)東，鄭 蘭，廖成毅，蔡佳楠

（哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，150001哈爾濱）

多重時滯離散非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制

周衛(wèi)東，鄭 蘭，廖成毅，蔡佳楠

（哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，150001哈爾濱）

為解決一類同時存在多重狀態(tài)時滯、輸入時滯和非線性擾動的不確定離散非線性系統(tǒng)的控制問題，提出一種具有狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)的魯棒模型預(yù)測控制器設(shè)計方法.首先，充分利用時滯的上下界信息構(gòu)造一個改進(jìn)的二次Lyapunov-Krasovskii泛函；其次，利用線性矩陣不等式（LMI）方法將min-max最優(yōu)化求解困難的問題轉(zhuǎn)化成具有LMI約束的凸優(yōu)化問題，并給出魯棒預(yù)測控制器存在的充分條件及其表達(dá)式.理論證明該方法設(shè)計的控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定.仿真算例驗證了所提出方法的有效性.

非線性擾動；時滯；不確定性；狀態(tài)反饋；模型預(yù)測控制；線性矩陣不等式

模型預(yù)測控制作為一類新型的計算機(jī)控制算法已被工業(yè)界廣泛應(yīng)用［1］.魯棒預(yù)測控制不僅具有魯棒控制對不確定性的處理方法而且還具有預(yù)測控制的滾動優(yōu)化思想，可以有效處理模型的不確定性與時滯問題.因此，得到學(xué)者們的極大重視［2］.當(dāng)時滯系統(tǒng)中存在非線性擾動時，如何保證控制器的指定性能更是一個復(fù)雜的問題.因此，有關(guān)時滯系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制的研究具有一定的挑戰(zhàn)性.為了解決時滯系統(tǒng)的魯棒模型預(yù)測控制問題，基于LMI方法提出的 min-max魯棒預(yù)測控制得到了極大的關(guān)注［3-7］.文獻(xiàn)［3］研究了時滯為常數(shù)時的具有輸入約束的離散時滯系統(tǒng)的魯棒模型預(yù)測控制問題；文獻(xiàn)［4］應(yīng)用預(yù)測控制解決時滯系統(tǒng)的控制問題，但是沒有考慮不確定性；文獻(xiàn)［5］研究了帶有區(qū)間時滯的離散非線性系統(tǒng)魯棒預(yù)測控制問題；文獻(xiàn)［6］針對一類多重狀態(tài)時滯不確定離散線性系統(tǒng)研究了其魯棒模型預(yù)測控制問題；文獻(xiàn)［7］針對一類不確定廣義系統(tǒng)研究了同時帶有狀態(tài)和輸入時滯的魯棒預(yù)測控制問題；文獻(xiàn)［8］在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上，研究了具有非線性擾動的時滯不確定連續(xù)系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制問題；文獻(xiàn)［9］研究了一類同時具有狀態(tài)和輸入時滯的不確定離散線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制問題.然而，關(guān)于既具有非線性擾動又同時存在多重狀態(tài)和輸入時滯的不確定離散非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制的研究還未見報道.本文在文獻(xiàn)［5，9］的基礎(chǔ)上，研究了此類系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制器設(shè)計問題.

1 問題描述

記Rn為n維歐幾里德空間，Rn×m為n×m維實矩陣的集合，In為n×n維單位矩陣，diag｛｝為對角塊矩陣.符號?表示相應(yīng)的對稱塊矩陣.

考慮如下帶有非線性擾動且同時存在多重狀態(tài)和輸入時滯的不確定離散非線性系統(tǒng)為

其中：x（k）∈Rnx為系統(tǒng)狀態(tài)，u（k）∈Rnu為系統(tǒng)輸入，f（x（k），x（k-τ），x（k-τ1），…，x（k-τm））為非線性擾動.

為表述方便，令fk：=f（x（k），x（k-τ），x（kτ1），…，x（k-τm）），并且滿足

式中：0＜τ＜τ1＜… ＜τm為系統(tǒng)的時滯，x（k）= φ（k），-τm≤k≤0為系統(tǒng)的初始條件.系統(tǒng)（1）的系統(tǒng)矩陣是未知的，并且可以表示成凸組合形式，即

其中：Co為由L個頂點［A01A11…Am1B01B11］，…，［A0LA1L… AmLB0LB1L］構(gòu)成的凸多面體集，即存在L個非負(fù)系數(shù)0≤λi（k）≤1（i=1，2，…，使得

針對不確定離散時滯系統(tǒng)（1），模型預(yù)測控制問題描述為如下的min-max優(yōu)化問題：設(shè)計魯棒預(yù)測控制器使不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且獲取如下的魯棒性能指標(biāo)，即需要考慮如下min-max優(yōu)化問題，即

其中：Q1＞0，R＞0分別為性能指標(biāo)中狀態(tài)和控制量的對稱加權(quán)矩陣.）為k時刻對k+j時刻輸入的預(yù)測，為k時刻對k+j時刻狀態(tài)的預(yù)測，并且有=x（k），-j），j≥1.在min-max優(yōu)化問題（5）～（7）中，式（6）為未來控制輸入的無限時域和系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)的二次魯棒性能指標(biāo)，式（7）為系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測模型.

針對系統(tǒng)（1），設(shè)計如下的狀態(tài)反饋控制律：

控制目標(biāo)是求得魯棒模型的預(yù)測控制器中的增益矩陣K，并要求控制輸入u（k+j｜k），j≥0，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.針對系統(tǒng)（1），構(gòu)造如下的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

其中：P=diag｛P0，Pτ，Pτ1，…，Pτm，In｝，Pj＞ 0，

假設(shè)在每一個k≥τ時刻是可測量的.在k時刻，假設(shè)對所有的

為了使 J∞(k)有界，令因此.將不等式（10）兩邊同時從j=0到j(luò)=∞求和得

因此

為了得到本文的主要定理，先給出下面的引理.

引理1［10］（Schur補(bǔ)）矩陣不等式其中：Q x()=QTx()，R x()=RTx()，S x()為關(guān)于x的仿射函數(shù)，則式（13）等價于

引理2［11］設(shè)W0（x）和W1（x）都是關(guān)于x∈Rn的二次函數(shù)，如果對任意的x∈ Rn-｛0｝，有W1（x）＜0，并且存在常數(shù)ρ＞0使得下式成立，則有W0（x） ＜0，且

2 主要結(jié)論

2.1 基于LMI的模型預(yù)測控制器設(shè)計

其中：

證明 由于式（9）是性能指標(biāo)的上界，可以通過求解下面的問題把這個界減至最低

應(yīng)用Schur補(bǔ)，式（18）可寫為

將式（19）分別左乘和右乘矩陣diag｛I，P｝，則有

則不等式（16）成立.下面將證明不等式（17）成立.

取Lyapunov-Krasovskii函數(shù)（9），求差分有

把式（22）～（24）代入到式（21），有

考慮式（10）和u（k）=Kx（k），設(shè)

其中：Θ2=diag｛Pτ-P0+Q1+KTRK，Pτ1-Pτ，Pτ2-Pτ1，…，-Pτm，0｝.

又因為式（2）可以寫成

根據(jù)引理 2，存在數(shù) λ ＞ 0使得 W0（x） -λW1（x） ＜0成立，則W0（x） ＜0，即

將式（29）分別左乘和右乘矩陣 diag｛Q，Qτ，Qτ1，…，Qτm，In，In｝，并令Y=KQ，可得其中：

再利用Schur補(bǔ)有

其中：Γ11=U11，Γ22=U22，Γ33=M11，Γmm=Mmm.

又因為式關(guān)于系統(tǒng)矩陣滿足［A0（k） A1（k）…Am（k） B0（k）B1（k）］∈Ω，根據(jù)凸集的基本性質(zhì)，式（31）成立當(dāng)且僅當(dāng)對凸包Ω的每個頂點都成立，換句話說，式（31）成立當(dāng)且僅當(dāng)式（17）成立.

2.2 控制算法

綜合上面的控制器設(shè)計過程，對應(yīng)于定理1給出不確定離散時滯系統(tǒng)（1）的狀態(tài)反饋魯棒模型預(yù)測控制算法.

第1步 測量當(dāng)前時刻系統(tǒng)的狀態(tài)x（k），并獲得過去時刻的狀態(tài)x（k-1），…，x（k-τ），x（kτ1），…，x（k-τm）.

第2步 令x（k｜k）=x（k），x（k-τ1｜k）=x（k -τ1），…x（k-τm｜k）=x（k-τm）.

第3步 選擇適當(dāng)?shù)膶ΨQ正定矩陣Q1和R.

第4步 定義優(yōu)化問題（5）～（7）中的各個變量，標(biāo)量γ（k） ＞ 0，ρ＞ 0，正定對稱矩陣 Q，Qτ，Qτi，P0，Pτ，Pτ1，…，Pτm和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y.

第5步 用MATLAB中的LMI工具箱求解優(yōu)化問題（5）～（7），得到最優(yōu)解 γ（k），ρ，Y，Q，Qτ，Qτi，P0，Pτ，Pτ1，…，Pτm.

第6步 計算出狀態(tài)反饋預(yù)測控制控制器增益矩陣K=YQ-1.

第7步 將k時刻的控制器u（k）=Kx（k｜k）作用于被控系統(tǒng)（1）.

第8步 令k=k+1，重復(fù)第1步至第7步.

2.3 可行性與穩(wěn)定性分析

引理3 定理1中k時刻任意的最優(yōu)化的可行解對于t＞k時刻也是可行的.

證明 不難發(fā)現(xiàn)定理1中采樣時刻k的最優(yōu)解是采樣時刻k+1可行的次最優(yōu)解.這是由于δ=｛x∈Rnx｜xTPjx≤γ｝是預(yù)測狀態(tài)x的一個不變橢球.因此，在k+1時刻，最優(yōu)化至少有一個可行解，同時由于集合是凸面的，此問題只有一個最優(yōu)解.

定理2 由定理1得到的可行魯棒模型預(yù)測控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明 為了證明漸進(jìn)穩(wěn)定性，建立Lyapunov函數(shù)V（x（k））=wT（k）Pw（k），其中P＞0是k時刻的最優(yōu)解，由定理1的證明可知在閉環(huán)內(nèi)這個函數(shù)是一個嚴(yán)格遞減的Lyapunov函數(shù).根據(jù)離散Lyapunov穩(wěn)定性理論可以說明閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定.證畢.

定理1中依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的線性矩陣不等式（16）必然可以使得所有狀態(tài)都在橢球δ內(nèi).因此，本文將狀態(tài)反饋u=YQ-1x應(yīng)用于任意的不為零的狀態(tài)x（k）∈δ，從而確保實時

因此，x（k+i）∈δ，i≥0且x（k）→0時.

3 拓展情況

當(dāng)不確定離散時間系統(tǒng)（1）不涉及輸入時滯，即B1（k）=0時結(jié)論如下.

推論1 考慮沒有輸入時滯的不確定離散時間系統(tǒng)（1）為

且Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為

那么，如果存在對稱正定矩陣 Q，Qτi，P0，Pτ1，…，Pτm和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y滿足式（34）～（36）形式的線性矩陣不等式，則存在一個狀態(tài)反饋控制律

滿足式 （10）性能.

其中：

證 明 證明類似定理1的證明，故略.

當(dāng)系統(tǒng)（1）只有輸入延遲時，即B0（k）=0，有以下結(jié)果.

推論2 考慮具有輸入延遲的不確定離散時間系統(tǒng)（1），則

且Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為

那么，如果存在對稱正定矩陣 Q，Qτi，P0，Pτ1，…，Pτm和適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y滿足式（39）～（41）形

式的線性矩陣不等式，則存在一個狀態(tài)反饋控制律

滿足式（10）性能.

其中：

證明 過程類似推論1的證明，故省略.

4 仿真結(jié)果

考慮如下具有非線性擾動且同時帶有狀態(tài)和輸入時滯的不確定離散非線性系統(tǒng)

假設(shè)初始狀態(tài)為x（-2）=［0.5 0 0］T，

根據(jù)式（2），取α1=0.3，α2=0.2，β1=0.4，非線性擾動滿足式（2），要求設(shè)計控制器滿足性能指標(biāo)（5）.時滯τ1=4，τ=1，權(quán)重矩陣分別為 Q1= diag｛1，1，1｝，R=0.3，凸多面體中 λ1=0.4，λ2= 0.6，則可以得到γ（k）=41.706 4.圖1～3分別給出了狀態(tài) x1（k），x2（k），x3（k）的變化曲線，圖 4為控制器曲線圖，可以看出在該控制器的作用下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的而且性能也很好.

圖1 狀態(tài)x1（k）的時間響應(yīng)曲線

圖2 狀態(tài)x2（k）的時間響應(yīng)曲線

圖3 狀態(tài)x3（k）的時間響應(yīng)曲線

圖4 控制輸入曲線

5 結(jié) 論

1）提出一種基于LMI的時滯離散非線性系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制算法，解決了帶有非線性擾動和時滯的不確定離散非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題.

2）算法采用狀態(tài)反饋控制結(jié)構(gòu)，應(yīng)用LMI技術(shù)，將無限時域min-max優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為具有LMI約束的凸優(yōu)化問題，得到了反饋控制律存在的新判據(jù)，并且分析了控制算法的可行性，證明了系統(tǒng)的魯棒性.

3）通過仿真，結(jié)果表明了此方法的有效性.

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（編輯 魏希柱）

Robust prediction control for multiple time delay discrete nonlinear system

ZHOU Weidong，ZHENG Lan，LIAO Chengyi，CAI Jianan

（College of Automation，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China）

In this paper，a robust model prediction controller with state-feedback structure is constructed for a class of uncertain discrete nonlinear systems with multiple states time-delay， inputs time-delay and nonlinear perturbation.Firstly，an improved quadratic Lyapunov-Krasovskii functional is constructed by making full use of the upper and lower bounds of the time-delay information，and then the difficulty of solving min-max optimization problem is transformed into convex optimization problem with linear matrix inequality（LMI）constraints by utilizing LMI technique.Simultaneously，the sufficient conditions for the existence of robust predictive controller and the expression of the controller are given.Theoretically，it is proved that the designed controller can guarantee the closed-loop system is asymptotically stable.Finally，simulation results demonstrate the feasibility of the proposed scheme.

time-delay；nonlinear perturbation；uncertain；state-feedback；model prediction control；liner matrix inequalities（LMIs）

TP273

A

0367-6234（2015）09-0024-07

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.09.005

2014-02-28.

國家自然科學(xué)基金（61102107，61374208）.

周衛(wèi)東（1966—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

鄭 蘭，zhenglan000＠163.com.