NA序列部分和之和一階矩收斂的精確漸近性

鄒廣玉

NA序列部分和之和一階矩收斂的精確漸近性

鄒廣玉

(長春工程學院理學院，吉林長春130012)

隨機變量的部分和之和在諸多領域有著廣泛應用，關于NA序列的部分和之和取得了許多極限性質(zhì).在較弱的矩條件下，利用NA序列部分和之和的漸近分布和二階矩的穩(wěn)定性質(zhì)，得到了平穩(wěn)NA序列部分和之和的一階矩收斂的精確漸近性，豐富了NA序列部分和之和極限理論的結(jié)果.

NA序列;部分和之和;矩完全收斂性;精確漸近性

定義稱隨機變量X1，…，Xn是負相伴(NA)的，如果對于{1，…，n}的任意不交子集A、B有，Cov (f1(Xi，i∈A)，f2(Xj，j∈B))≤0，其中f1與f2是任何兩個使得協(xié)方差存在且對每個變元均非降的函數(shù).

NA序列是包含獨立隨機變量序列在內(nèi)的更為廣泛的相依隨機變量類型，其概念最早由Alam和Saxena［1］提出.NA序列在可靠性理論、滲透性理論及多元統(tǒng)計分析中有重要應用［2］，因此研究其極限性質(zhì)具有重要意義.

隨機變量“部分和之和”的極限理論起源于Resnick［3］和Arnold等［4］對記錄值分布的研究，在時間序列分析、隨機游動和破產(chǎn)理論等領域中“部分和之和”有著廣泛應用.例如:設{Xt，t=0，1，2，…}為隨機游動，記，則St可表示第t日的某股票的收盤價，進而便是n日的移動平均線.鑒于部分和之和理論在理論研究和實際應用中的重要性，眾多學者對其極限性質(zhì)進行了研究.文獻［5］研究了獨立同分布隨機變量序列部分和之和的大數(shù)定律和中心極限定理，文獻［6-7］分別給出了NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律和中心極限定理，文獻［8-9］將其推廣至部分和之隨機和的弱大數(shù)定律，文獻［10-11］討論了獨立同分布和NA序列部分和之和的完全收斂性，文獻［12］研究了同分布隨機變量序列部分和之和的完全收斂性等等.文獻［13］給出了NA序列部分和之和的大數(shù)定律和重對數(shù)律的精確漸近性，本文研究NA序列部分和之和的一階矩完全收斂性的精確漸近性.

1 主要結(jié)論

定理設{Xn，n≥1}為均值為0的嚴平穩(wěn)NA隨機變量列，且，記

則當0＜p＜r＜2/3時，有

其中:N表示標準正態(tài)分布隨機變量.

若{Yn，n≥1}為均值為0，方差有限的獨立同分布隨機變量列，顯然滿足定理條件，故可得下面的推論.

推論設{Yn，n≥1}為獨立同分布隨機變量列，滿足當0＜p＜r＜2/3時，有

2 2個引理

為證明定理，需要下面2個引理.

引理1［7］設{Xn，n≥1}為均值為0的嚴平穩(wěn)NA隨機變量序列則

由以上內(nèi)容可知，高中語文教師在閱讀教學中需要堅持核心素養(yǎng)理念。同時，應積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學理念，及時將各種更加高效的教學方式融入閱讀教學中。借此措施，增強學生的想象力以及創(chuàng)造力等。

引理2設{Xn，n≥1}為均值為0的嚴平穩(wěn)NA隨機變量列，且＜∞，記Sn=

3 定理的證明

命題2當0＜p＜r＜2/3時，有

證明

其中:

記Δn=suxp |P{|Tn|≥n3/2x}-P{|N|≥x}|，則由引理2知Δn→0，n→∞，進而由Toeplitz引理［15］，有

再由引理1可得

于是命題2得證.

命題3當0＜p＜r＜2/3時，有

證明當0＜p＜r＜2/3時，注意到2r+p＜2，則有r/p-1/p+1/2＜0.結(jié)合引理1，有

又

于是命題3成立.

結(jié)合命題1～3和三角不等式可知式(1)成立.

［1］Alam K，Saxena K M L.Positive dependence in multivariate distributions［J］.Comm Statist Theory Math，1981，A10(12): 1183-1196.

［2］Roussas G G.Positive and negative dependence with some statistical application［M］//Ghosh S.Asymptotics，Nonparametrices and Time Series.New York:Marcel Dekker，1999:757-788.

［3］Resnick S L.Limit laws for record values［J］.Stochastic Processes and Their Applications，1973，1(1):67-82.

［4］Arnold B C，Villasenor J A.The asymptotic distributions of sums of records［J］.Extremes，1998，1(3):351-363.

［5］江濤，林日其.I.I.D.隨機變量部分和之和的極限定理［J］.淮南工業(yè)學院學報，2002，22(2):73-75.

［6］宇世航.同分布NA序列部分和之和的弱大數(shù)定律［J］.哈爾濱師范大學學報:自然科學版，2004，20(4):21-23.

［7］宇世航，張銳梅.NA序列部分和之和的中心極限定理［J］.高師理科學刊，2007，27(3):1-4.

［8］江濤，林日其.I.I.D.隨機變量部分和之隨機和的極限定理［J］.中國科學技術大學學報，2001，31(4):394-399.

［9］鄒廣玉.NA序列部分和之隨機和的弱大數(shù)定律［J］.長春工程學院學報:自然科學版，2014，15(3):120-122.

［10］蘭沖鋒，吳群英.I.I.D.序列部分和之和的完全收斂性［J］.吉林大學學報:理學版，2012，50(3):507-510.

［11］蘭沖鋒，吳群英.NA序列部分和之和的完全收斂性探討［J］.統(tǒng)計與決策，2013，14:9-11.

［12］蘭沖鋒，吳群英.隨機變量部分和之和的完全收斂性［J］.統(tǒng)計與決策，2014，1:72-75.

［13］鄒廣玉.NA序列部分和之和的大數(shù)定律和重對數(shù)律的精確漸近性［J］.吉林大學學報:理學版，2015，53(1):54-58.

［14］張勇，董志山，趙世舜.相依序列加權和的幾乎處處中心極限定理［J］.數(shù)學物理學報，2009，29(6):1487-1491.

［15］Stout W F.Almost Sure Convengence［M］.New York:Academic Press，1995:120.

Precise Asymptotics in the First Moment Convergence for Sum of Partial Sums of NA Sequences

ZOU Guang-yu
(School of Science，Changchun Institute of Technology，Changchun 130012，China)

The sum of partial sums of random variables is extensively applied in many fields and lots of limit properties are obtained for sum of partial sums of NA sequences.Under weaker moment condition，applying the asymptotic distribution and stable property of second moment for sum of partial sums of NA sequences，we obtain the precise asymptotics in first moment convergence for sum of partial sums of stationary NA sequences，which enriches the results of limit theorem for sum of partial sums of NA sequences.

NA sequence;sum of partial sums;complete moment convergence;precise asymptotics

O211.4

A

(責任編輯 李春梅)

1004-8820(2015)03-0165-04

10.13951/j.cnki.37-1213/n.2015.03.003

2014-09-23

國家自然科學基金資助項目(11401090);吉林省教育廳重點項目(120120113);長春工程學院青年基金項目(320130019).

鄒廣玉(1982-)，男，吉林通化人，講師，博士，從事概率極限理論研究.