非交換子群共軛類的一個注記

孟 偉, 馬 麗

(1.云南民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，云南 昆明 650031;2.曲靖師范學院 數(shù)學與信息科學學院，云南 曲靖 655011)

非交換子群共軛類的一個注記

孟 偉1, 馬 麗2

(1.云南民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，云南 昆明 650031;2.曲靖師范學院 數(shù)學與信息科學學院，云南 曲靖 655011)

設(shè)G是有限群. 用τ(G)表示G中非交換子群的共軛類數(shù),π(G)表示G的素因子的集合.對于每個非交換群有τ(G)≥2|π(G)|-2或|π(G)|+1.分析上述不等式中等號成立的有限群的分類.

交換子群;共軛類;同構(gòu)分類

0 引言

對于有限群. 通過一些特殊子群的共軛類刻畫有限群的屬性， 一直是群論研究的熱點，同時也是一個難點.文獻[1]研究了非正規(guī)子群共軛類對有限群結(jié)構(gòu)的影響. 主要考慮非交換子群的共軛類. 用τ(G)表示群G中非交換子群的共軛類數(shù),π(G)表示G的素因子的集合.τ(G)=1等價于G是每個子群皆交換的非交換群, 這類群已被Miler和Moreno[2]完全分類. 2011年，史江濤和張翠[4]證明滿足τ(G)≤3的群可解，并且定出τ(G)=4的非可解群只有60階非交換單群A5.2012年周志浩和郭秀云[5]給出了τ(G)=2有限群的同構(gòu)分類.筆者在文獻[6]中,考慮滿足不等式τ(G)≤|π(G)|的有限群，得到這類群是可解的并給出完全分類. 同時得到τ(G)的一個下界, 即證明了如下定理:

定理 設(shè)G是一個有限非交換群, 則下列之一成立：

1) 如果G是一個非交換的可解群, 且G的每個Sylow子群交換， 那么τ(G)≥2|π(G)|-2；

2) 如果G是一個非交換的可解群, 且G至少有一個非交換的Sylow子群， 那么τ(G)≥2|π(G)|-1;

3) 如果G是一個非可解群，那么τ(G)≥|π(G)|+1.

1 預備引理

引理1[2]設(shè)G是一個群，則τ(G)=1當且僅當G同構(gòu)與下列群之一,

1) 四元數(shù)群Q8;

2)Mn,m,p=[a,b|apn=bpm=1,ab=a1+pn-1];

3)Nn,m,p=[a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1];

4)p-基本群.

引理2[5]設(shè)G是一個群且|π(G)|=2. 假若G有一個非交換的Sylow子群，則τ(G)=2當且僅當同構(gòu)與下列群之一,

1)Q8×Zq;

2)Mn,m,p×Zq;

3)Nn,m,p×Zq;

4)Q8∶Z3;

5)N1,1,p∶Zq, 其中對每個Zq-不變子群H滿足[H,Zq]=1.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是有限可解. 則τ(G)=2|π(G)|-2當且僅當G同構(gòu)于H×Zm，其中H是p-基本群，(|H|,m)=1且m無平方因子.

證明 充分性是顯然的，只證必要性.

設(shè)|π(G)|=n≥2. 令π(G)={p1,p2,p3,…,pn}， 由于G是可解群，所以G擁有Sylow系. 設(shè)集合 S={P1,P2,P3,…,Pn}是G的Sylow系，其中Pi∈Slypi(G)，i=1,2,…,n，則對集合{1,2,…,n}的任意一個子集{i1,i2,…,ik}，Pi1Pi2…Pik是G的子群[3].

先證G的每個Sylow子群Pi是交換群. 若否，則G至少有一個Sylow子群是非交換群，不失一般性，可假設(shè)Sylow子群P1是一個非交換群. 考慮集合Ω={P1Pi1Pi2…Pik|{i1,i2,…,ik}?{2,…,n}}， 則|Ω|=2n-1. 由于P1是Ω中的每個群的子群，所以Ω中的每個子群皆為非交換子群并且這些子群的階是互不相同，因而它們兩兩互不同構(gòu). 從而有τ(G)≥|Ω|=2n-1，這與τ(G)=2|π(G)|-2矛盾. 所以G的每個Sylow子群Pi是交換的.

如果n=2， 那么τ(G)=22-2=1，根據(jù)引理1知G是一個p-基本群，結(jié)論成立. 接下來假設(shè)n≥3. 考慮所有形如PiPj(i≠j)的子群，如果這些群皆為交換群，則G也是交換群. 因此必存在某個子群PiPj(i≠j)是非交換群，不失一般性，可假設(shè)H=P1P2是一個非交換子群. 令Ω={HPi1Pi2…Pik|{i1,i2,…,ik}?{3,…,n-1}}，則有|Ω|=2n-2. 顯然Ω中的每個子群皆包含H，所以Ω中的每個子群皆為非交換子群并且這些子群的階是互不相同，因而它們兩兩互不同構(gòu). 由于τ(G)=2n-2=|Ω|，所以G的每個非交換子群的共軛類必在Ω中有一個代表. 因此我們得到H是一個極小非交換群，即τ(H)=1.根據(jù)引理1知，H是一個p-基本群. 進一步知所有形如PiPj(i≠j,{i,j}≠{1,2})的子群皆為交換群. 所以我們得到G=H×K，其中K=P3P4…Pn是一個交換群. 如果某個Pi的階大于pi, 取Pi的一個非平凡的真子群L，則HL也是G的一個非交換子群且|HL|不等于Ω中任一子群的階，這矛盾于τ(G)=2n-2. 所以K是無平方因子階的交換群，從而K是一個循環(huán)群. 定理結(jié)論成立.

定理2 設(shè)G是有限可解.τ(G)=2|π(G)|-1當且僅當G是下列情形之一：

1)G?P×Zm, 其中P∈Slyp(G)，τ(P)=1， (p,m)=1，且m無平方因子；

2)G?(Q8∶Z3)×Zm其中(6,m)=1且m無平方因子；

3)G?N1,1,p∶Zm，其中對每個Zm-不變子群H滿足[H,Zm]=1 且m無平方因子.

證明 充分性是顯然的，我們只證必要性.

設(shè)|π(G)|=n≥2. 令π(G)={p1,p2,p3,…,pn}， 由于G是可解群，所以G擁有Sylow系. 設(shè)集合 S={P1,P2,P3,…,Pn}是G的Sylow系，其中Pi∈Slypi(G)，i=1,2,…,n，則對集合{1,2,…,n}的任意一個子集{i1,i2,…,ik}，Pi1Pi2…Pik是G的子群.

根據(jù)定理1的證明可知，G必有一個非交換的Sylow子群. 不失一般性，假設(shè)Sylow子群P1是一個非交換群. 重記P=P1，考慮集合Ω={PPi1Pi2…Pik|{i1,i2,…,ik}?{2,…,n}}， 則|Ω|=2n-1. 由于P是Ω中的每個群的子群，所以Ω中的每個子群皆為非交換子群并且這些子群的階是互不相同，因而它們兩兩互不同構(gòu). 從而我們有τ(G)=|Ω|，所以G的每個非交換子群的共軛類必在Ω中有一個代表. 因此有τ(P)=1， 且每個形如Pi1Pi2…Pik({i1,i2,…,ik}?{2,…,n})的子群是交換群. 特別地，子群K=P2P3…Pn也是一個交換群. 接下來分2種情況考慮:

1)情形1，G冪零.

此時有G=P×K. 類似定理1的證明可知K是無平方因子的循環(huán)群，因此定理結(jié)論1)成立.

2)情形2，G非冪零.

此時PPi(i=2,…,n)至少有一個是非冪零群，不失一般性，假設(shè)H=PP2是一個非冪零群. 由集合Ω的屬性可知τ(H)=2. 根據(jù)引理2知：H?Q8:Z3或N1,1,p:Zq.

假設(shè)H?Q8:Z3，則有G=P×L, 其中L=P3…Pn. 類似類似定理1的證明可知L也是無平方因子的循環(huán)群，因此定理結(jié)論2)成立.

假設(shè)H?N1,1,p:Zq，類似上面討論可得定理結(jié)論3)成立.

定理3 設(shè)G是有限非可解. 則τ(G)=|π(G)|+1當且僅當G?A5.

證明 見文獻[1]的定理1.2.

[1] 孟偉，史江濤.有限群中非正規(guī)子群數(shù)量的一個標注[J].云南民族大學學報：自然科學版,2010,19(5):360-362.

[2] MILLER G A, MORENO H C. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1903, 4(4): 398-404.

[3] ROBINSON D J. A Course in the Theory of Groups [M].Berlin： Springer, 1980：232-234.

[4] SHI J T, ZHANG C. Some sufficient conditions on the number of non-abelian subgroups of a finite group to be solvable[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series, 2011, 27(5): 891-896.

[5] 周志浩，郭秀云.非交換子群的共軛類為2的有限群[J] .上海大學學報: 自然科學版，2012，18(1): 35-39.

[6] MENG W.Finite groups with few non-abelian subgroups[J].Comm Algebra,2015,43(3):909-915.

[7] 陳重穆.內(nèi)外Σ群與極小非Σ群[M]. 重慶：西南師范大學出版社，1988：11-12.

(責任編輯 梁志茂)

A note on conjugacy classes of non-abelian subgroup

MENG Wei1,MA Li2

(1.School of Mathematics and Computer Science，Yunnan Minzu University,Kunming 650031,China;2.College of Mathematics and Information Science, Qujing Normal University,Qujing 655011,China)

LetGbe a finite group andτ(G)denote the number of conjugacy classes of all non-abelian subgroups ofG.The symbolπ(G)denotes the set of the prime divisors ofG.In which paper,Finitegroupswithfewnon-abeliansubgroups, showsτ(G)≥2|π(G)|-2or|π(G)|+1 for every non-abelian groupG,and determines the classification of the finite groups when an equality holds in the above-mentioned inequalities.

abelian subgroup;conjugacy class;automorphism classification

2014-05-26.

國家自然科學基金(11361075).

孟偉(1981-)，男，碩士，副教授.主要研究方向：群及其表示.

O152.1

A

1672-8513(2015)01-0034-03