基于多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ偷臍鉁仄跈?quán)定價(jià)方法研究

金哲植, 魏連鑫, 崔基哲

(1.延邊大學(xué)理學(xué)院,延吉 133002;2.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093; 3.延邊大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,延吉 133002)

基于多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ偷臍鉁仄跈?quán)定價(jià)方法研究

金哲植1, 魏連鑫2, 崔基哲3

(1.延邊大學(xué)理學(xué)院,延吉 133002;2.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093; 3.延邊大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,延吉 133002)

針對(duì)日常天氣風(fēng)險(xiǎn)管理中的氣溫期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,Cao-Wei模型不能充分反映氣候變暖趨勢(shì)和各地域之間的相關(guān)關(guān)系.為解決這一問(wèn)題,提出了反映氣候變暖趨勢(shì)以及各地域間關(guān)聯(lián)的新的多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ?并基于該模型,利用燃燒分析法及蒙特卡洛模擬法對(duì)制冷日/制熱日(CDD/ HDD)指數(shù)期權(quán)進(jìn)行了精確的定價(jià).結(jié)果表明,采用蒙特卡洛模擬法對(duì)CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價(jià)更為合理,分析得出的結(jié)論對(duì)天氣衍生品市場(chǎng)提供了有效的理論依據(jù),對(duì)期權(quán)定價(jià)有較高實(shí)用價(jià)值,為今后利用CDD/HDD指數(shù)期權(quán)對(duì)氣象保險(xiǎn)進(jìn)行合理的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖,起到很好的風(fēng)險(xiǎn)管理效果.

多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ?燃燒分析法;蒙特卡洛模擬法;CDD/HDD

近年來(lái),涂春麗等[1-3]在天氣風(fēng)險(xiǎn)管理以及衍生品定價(jià)方面開展了研究.Cao等[4-5]為了表示氣溫變化的不確定性,提出了Cao-Wei氣溫概率模型,但該模型不能很好地反映氣候變暖趨勢(shì)和各地域之間的相關(guān)關(guān)系.為此,金哲植[6]在2012年提出了能夠較好地反映氣候變暖趨勢(shì)和各地域間相關(guān)關(guān)系的多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ?但針對(duì)天氣衍生品相關(guān)的諸多問(wèn)題沒(méi)有進(jìn)行進(jìn)一步的探討.

為了多元?dú)夂蚋怕誓Ｐ偷挠行茝V及金融衍生品定價(jià)方面的具體應(yīng)用,本文對(duì)天氣衍生品進(jìn)行了進(jìn)一步的模型分析.在改善原有模型的基礎(chǔ)上,利用燃燒分析法[7]以及蒙特卡洛模擬法[8],對(duì)制冷日/制熱日(CDD/HDD)指數(shù)期權(quán)進(jìn)行精確的定價(jià).

1 多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ?/h2>

Cao-Wei模型一次只能對(duì)一個(gè)地域進(jìn)行模型化分析,需要對(duì)多個(gè)不同地域構(gòu)造氣溫模型,該模型有它的局限性.很多現(xiàn)實(shí)中碰到的氣溫期權(quán)問(wèn)題需要對(duì)多個(gè)地域的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,進(jìn)而建立一個(gè)能準(zhǔn)確地反映地域間關(guān)聯(lián)的概率模型.Cao等[4-5]提出的氣溫概率模型如下:

為此,筆者在2012年提出了一個(gè)多元時(shí)間序列模型[6].此模型在單元模型的基礎(chǔ)上,添加每地域虛擬變量作為分析因素建立的模型,使用了表示不同地域的虛擬變量和交互變量,其中的虛擬變量可以同時(shí)反映地域和日值效果,體現(xiàn)出不同地域的氣溫效果.

單元模型與多元模型公式如下:

單元模型

式中,Y′,X′,T′分別為標(biāo)準(zhǔn)化后的平均氣溫、虛擬變量和總趨勢(shì);R為地域;r∈{0,1,2,3,4,5}分別代表地域北京、武漢、重慶、天津、上海、廣州.

上述多元模型不能明確表示各地域之間的相關(guān)關(guān)系.現(xiàn)利用多元時(shí)間序列模型,VAR1(vector autoregressive 1 models)對(duì)殘差進(jìn)行建模,估計(jì)不同地域間的相關(guān)關(guān)系和自相關(guān)性,建立一個(gè)能夠表現(xiàn)出殘差結(jié)構(gòu)的模型

2 CDD/HDD期權(quán)的定價(jià)

本文研究的期權(quán)主要是企業(yè)為了對(duì)沖氣溫風(fēng)險(xiǎn)所利用的場(chǎng)外期權(quán).這樣的場(chǎng)外期權(quán)大部分是對(duì)夏季(5月—9月)和冬季(11月—3月)的氣溫而言,是到期時(shí)間為6個(gè)月以上的長(zhǎng)期期權(quán).期權(quán)價(jià)值不僅與到期時(shí)的溫度有關(guān),又是受一定時(shí)間內(nèi)溫度變化影響的路徑依賴型(path-dependent)期權(quán).在這里對(duì)未來(lái)由時(shí)刻T1到時(shí)刻T2的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)進(jìn)行定價(jià).

首先,對(duì)未來(lái)時(shí)刻T1到時(shí)刻T2的計(jì)算HDD和CDD指數(shù)公式為

利用上述定義的HDD指數(shù),計(jì)算期權(quán)價(jià)格的公式為式中,t是時(shí)間;K是期權(quán)的執(zhí)行價(jià);r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.通過(guò)上式可以得到利率r下任一時(shí)刻t的期權(quán)價(jià)格,在風(fēng)險(xiǎn)中性概率的情況下,可以用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率近似.同樣,對(duì)于CDD的看漲期權(quán)和看跌期權(quán),價(jià)格計(jì)算公式

根據(jù)期權(quán)定價(jià)的公式求出解析解是非常困難的.相比對(duì)于解釋影響期權(quán)價(jià)格的參數(shù),鑒于路徑依賴型期權(quán)的特征,決定通過(guò)模擬氣溫期權(quán)的價(jià)格作出評(píng)價(jià).本文采用了兩種模擬方法:一種是用燃燒分析法,用過(guò)去的氣溫預(yù)測(cè)未來(lái)的氣溫,這時(shí)假定氣溫按照過(guò)往歷史作規(guī)律性變化;另一種是采用蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)方法,用已估計(jì)的參數(shù)和生成的隨機(jī)數(shù)計(jì)算和預(yù)測(cè)所需時(shí)期內(nèi)的期權(quán)價(jià)格.

3 CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價(jià)方法

選取北京等6個(gè)城市1980年1月1日到2009年12月31日,共30年日值平均氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,考慮到中國(guó)氣象的復(fù)雜性分為內(nèi)陸和海岸,從中各選取3個(gè)主要城市作了數(shù)據(jù)分析.具體考慮到閏年的情況,每年2月份的數(shù)據(jù)設(shè)為共29天.每年數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為366個(gè),共30×366=10 980個(gè),本文提出的多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ椭锌偟膮?shù)個(gè)數(shù)為373個(gè),利用以上數(shù)據(jù)進(jìn)行具體的實(shí)證分析.

3.1 常用天氣衍生品期權(quán)定價(jià)方法

a.基于燃燒分析法的期權(quán)定價(jià)

Black-Scholes定價(jià)模型廣泛應(yīng)用于金融衍生品的定價(jià),但該模型需要一系列假設(shè)條件基礎(chǔ),加上天氣衍生品并不符合該模型的前提假設(shè)條件,天氣衍生品中無(wú)法使用.很多文獻(xiàn)使用燃燒分析法來(lái)定價(jià)天氣衍生品[2,6-8],它是基于歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬來(lái)解決天氣衍生品定價(jià)的一種近似方法.以基于溫度的天氣衍生品(CDD/HDD指數(shù)期權(quán))為例,使用燃燒分析法進(jìn)行定價(jià)時(shí),基本可按以下三個(gè)步驟進(jìn)行:首先,收集和整理某一特定時(shí)間段的溫度數(shù)據(jù),將剔除時(shí)間趨勢(shì)等因素影響后的溫度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的溫度指數(shù);其次,通過(guò)對(duì)溫度指數(shù)進(jìn)行歷史模擬,計(jì)算此特定時(shí)期內(nèi)的每期收益,進(jìn)而得出平均收益;最后,對(duì)平均收益進(jìn)行貼現(xiàn),所得基于溫度的天氣衍生品的公平價(jià)格即為所得歷史收益的平均值.圖1是基于燃燒分析法計(jì)算的CDD指數(shù),圖2是基于該方法計(jì)算的HDD指數(shù),分別以北京地區(qū)為例,30年(1980年—2009年)的CDD/HDD指數(shù)歷史年份數(shù)據(jù)(來(lái)源于中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng))畫出時(shí)序圖及其擬合曲線.

圖1 基于燃燒分析法計(jì)算的CDD指數(shù)Fig.1 CDD index based on burn-analysis method

圖2 基于燃燒分析法計(jì)算的HDD指數(shù)Fig.2 HDD index based on burn-analysis method

利用燃燒分析法對(duì)CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價(jià)計(jì)算結(jié)果如表1所示,其中CDD指數(shù)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格設(shè)計(jì)為930,HDD指數(shù)期權(quán)執(zhí)行價(jià)格設(shè)計(jì)為2 500,執(zhí)行價(jià)≈平均+0.5×標(biāo)準(zhǔn)差[9].可以看出,由于選擇數(shù)據(jù)資料期間的不同,所計(jì)算出的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)價(jià)格沒(méi)有統(tǒng)一性.Lee[9]和Dischel[10]在天氣衍生品定價(jià)研究中采用燃燒分析法,也得出數(shù)據(jù)選擇周期對(duì)天氣衍生品的價(jià)值影響很大.權(quán)元太[7]也用燃燒分析法得出同樣的結(jié)論.國(guó)內(nèi)的袁國(guó)軍等[11]和郝靜文等[12]也提出了不同的期權(quán)定價(jià)方法及統(tǒng)計(jì)分析方法.本文是按1980年到2009年共30年氣溫?cái)?shù)據(jù),用燃燒法進(jìn)行模擬,也得出同樣的結(jié)論,無(wú)法判斷其衍生品價(jià)值.

采用燃燒分析法定價(jià)主要面臨兩個(gè)問(wèn)題:一是采用多少年歷史數(shù)據(jù),這主要與時(shí)間窗選擇有關(guān),對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生不可忽略的誤差;二是燃燒法是對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,所以不需要溫度的預(yù)測(cè),不能針對(duì)歷史溫度資料賦予權(quán)重,模型顯得較為粗糙.

表1 利用燃燒分析法對(duì)CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價(jià)Tab.1 CDD/HDD index option pricing by burn-analysis method

b.蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)期權(quán)定價(jià)

蒙特卡洛法是隨機(jī)運(yùn)動(dòng)路徑得到價(jià)值期望的數(shù)值方法.針對(duì)金融分析時(shí),它通過(guò)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格來(lái)實(shí)現(xiàn).針對(duì)傳統(tǒng)金融衍生品定價(jià)時(shí),它是通過(guò)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格來(lái)實(shí)現(xiàn).如果要用在天氣衍生品定價(jià)上,需模擬出天氣衍生品標(biāo)的指數(shù)隨機(jī)路徑來(lái)實(shí)現(xiàn).本文模擬氣溫變化時(shí),考慮氣溫的季節(jié)性變化、氣溫均值回復(fù)過(guò)程、地理位置氣溫變化等因素.本方法要用氣溫的統(tǒng)計(jì)特征模擬出大量隨機(jī)數(shù)和各種天氣情況,靈活對(duì)不同地區(qū)的各種天氣衍生品進(jìn)行定價(jià).

3.2 本文天氣衍生品期權(quán)定價(jià)方法

在多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ秃虲ao-Wei模型的基礎(chǔ)上,使用蒙特卡洛模擬法計(jì)算了占據(jù)氣溫期權(quán)商品交易95%以上的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)價(jià)格作比較.

基于多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ偷拿商乜迥M法實(shí)施步驟如下:

步驟1 利用多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ秃虲ao-Wei模型生成2010年平均氣溫的預(yù)測(cè)值.

基于上面提到的Cao-Wei模型中的式(1)—(3)及多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ椭械氖?6)—(10),利用30年(1980年—2009年)平均氣溫?cái)?shù)據(jù)計(jì)算生成2010年的平均氣溫預(yù)測(cè)值.在具體分析中為了減少誤差,應(yīng)盡可能多地生成平均氣溫預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù).

步驟2 計(jì)算對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)值的CDD/HDD指數(shù).

基于式(3)以及步驟1所計(jì)算出的平均氣溫預(yù)測(cè)值的CDD/HDD指數(shù)[9],其中CDD指數(shù)的計(jì)算是從2010年5月到2010年9月的平均氣溫?cái)?shù)據(jù), HDD指數(shù)的計(jì)算是從2010年11月到2011年3月,各使用了共5個(gè)月的氣溫?cái)?shù)據(jù).

步驟3 計(jì)算CDD/HDD指數(shù)的期望值,再利用貼現(xiàn)的方法,計(jì)算相應(yīng)期權(quán)價(jià)格.

基于式(3)—(6),以CDD/HDD指數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的價(jià)格為期望值,再進(jìn)行貼現(xiàn)的方法計(jì)算出相應(yīng)期權(quán)價(jià)格,計(jì)算上述特定時(shí)期(5個(gè)月)內(nèi)CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的每期收益,得出平均收益;最后,對(duì)平均收益利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn),計(jì)算出最終的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的價(jià)格.

該多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ团cCao-Wei模型相比,描述氣候變暖趨勢(shì)更明顯,充分反映了各地域間的相關(guān)性,并克服了燃燒分析法期權(quán)定價(jià)中存在的問(wèn)題.本文模擬氣溫的變化時(shí),考慮氣溫的季節(jié)性變化、氣溫的均值回復(fù)過(guò)程、不同地理位置的氣溫變化等基本因素,并將這些基本因素反映到多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ椭?提高了計(jì)算精度,從而提升了蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)法在期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中的實(shí)用性.

多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ团cCao-Wei模型的計(jì)算結(jié)果比較如表2所示,主要以平均、標(biāo)準(zhǔn)差為基礎(chǔ)計(jì)算CDD/HDD指數(shù).表3和表4分別是根據(jù)多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ陀?jì)算出的CDD和HDD指數(shù)期權(quán)價(jià)格.

表2 基于蒙特卡洛模擬法的CDD/HDD指數(shù)基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)量Tab.2 Basic statistics of CDD/HDD index based on Monte-Carlo simulation

表3 CDD指數(shù)期權(quán)定價(jià)Tab.3 CDD index option pricing

表4 HDD指數(shù)期權(quán)定價(jià)Tab.4 HDD index option pricing

式中,n=年度數(shù)×t,其中年度數(shù)為30年,t為366;k為自由度,由式(6)的373個(gè)參數(shù)組成.均方

均方根誤差統(tǒng)計(jì)量RMSE的計(jì)算方法為根誤差越小,對(duì)數(shù)據(jù)模型的擬合度越高.表5是RMSE為基準(zhǔn)的模型擬合度比較,圖3是根據(jù)RMSE為基礎(chǔ)的模型擬合度輸出的比較結(jié)果.

表5 模型擬合度比較Tab.5 Comparison of the models’fitting

可以看出,本文提出的模型與Cao-Wei模型、單元模型相比較,現(xiàn)有模型更接近實(shí)際,得出的結(jié)果在精確定價(jià)氣溫期權(quán)以及開發(fā)相應(yīng)天氣衍生品方面將起到良好的效果.

圖3 多元模型與其它模型的RMSE比較Fig.3 RMSE comparison between the multivariate model and other models

4 結(jié) 論

提出了適用于日值氣溫變化、反應(yīng)氣候變暖趨勢(shì)、不同地域相關(guān)關(guān)系的多元?dú)鉁馗怕誓Ｐ?并基于該模型利用燃燒分析法及蒙特卡洛模擬法對(duì)CDD/ HDD指數(shù)期權(quán)進(jìn)行精確的定價(jià).計(jì)算結(jié)果表明,該模型與Cao-Wei模型相比,平均值基本相同但偏差小,CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的定價(jià)有效且合理.在氣溫期權(quán)定價(jià)方面,本文提出的天氣風(fēng)險(xiǎn)管理中的多元化新模型,氣候變化趨勢(shì)比Cao-Wei模型更明顯,解決了Cao-Wei模型不能充分反映氣候變化趨勢(shì)的問(wèn)題.此外,在分析方法上也有理論性突破:其一是解決了傳統(tǒng)的燃燒分析法定價(jià)中的歷史數(shù)據(jù)長(zhǎng)度度量問(wèn)題,減少了燃燒分析法產(chǎn)生的誤差;其二是攻克了燃燒分析法不能對(duì)數(shù)據(jù)賦予權(quán)重的問(wèn)題,這對(duì)地區(qū)間溫度關(guān)聯(lián)度分析具有更好的使用效果;其三是充分反映了各地域間的相關(guān)關(guān)系.該新模型反映了季節(jié)性變化、氣溫均值回復(fù)、不同地區(qū)氣溫變化等因素,提高了計(jì)算精度,提升了蒙特卡洛模擬法在期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中的實(shí)用性.

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(編輯:董 偉)

Pricing Method for Weather Options Based on Multivariate Temperature Model

JINZhezhi1, WEILianxin2, CUIJizhe3
(1.College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China;2.College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;3.College of Economic and Management,Yanbian University,Yanji 133002,China)

Regarding the pricing problem of temperature option in everyday weather risks management,the Cao-Wei model is insufficient to reflect the global warming trend and correlation among geographical regions.In order to resolve this problem,a new multivariate temperature model was proposed.Based on the model,the cooling design day/heating design day(CDD/HDD) index options were priced accurately by using the burn-analysis method and Monte-Carlo simulations.The simulation results indicate that using Monte-Carlo simulations to price CDD/HDD index options is not only effective but also reasonable.In addition,the result provides for the weather derivatives market an effective theoretical evidence and also has practical value for option pricing.The necessary theoretical basis for the future development of domestic insurance and weather derivatives was supplied,and the future use of the CDD index option can be more reasonable to hedge weather insurance and will play an effective role in risk management.

multivariate temperature model;burn-analysis method;Monte-Karlo simulation; CDD/HDD

F 830

A

2014-03-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361064);延邊大學(xué)科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2012700-602014066)

金哲植(1977-),男,講師,博士.研究方向:信息統(tǒng)計(jì)與保險(xiǎn)精算.E-mail:jinzhezhi@sina.com

崔基哲(1972-),男,副教授.研究方向:信息管理、技術(shù)經(jīng)濟(jì)及管理.E-mail:cuijizhe@foxmail.com