Heisenberg型的群上的Radon變換

何建勛，李宗濤

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510006；2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社科學(xué)院，廣東廣州 510403）

Heisenberg型的群上的Radon變換

何建勛1，李宗濤2

（1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510006；2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社科學(xué)院，廣東廣州 510403）

令H＝｛（z，t）：z∈Cn，t∈Rm｝表示Heisenberg型群，對于（z，t），（z′，t′）∈H，群乘法法則為（z，t）°（z′，t′）＝（z＋z′，t＋t′＋zJz′t），其中zJz′t＝（z U（1）z′t，z U（2）z′t，…，z U（m）z′t），z′t表示z′的轉(zhuǎn)置，U（j）（j＝1，2，…，m）是2n×2n反對稱實(shí)正交矩陣，文章給出了H上的Radon變換，并通過Fourier變換得到了與映射J相關(guān)的逆公式.

Heisenberg型的群；Radon變換；逆公式

眾所周知，Heisenberg群是二步的冪零Lie群的典型代表，它是非緊非交換的群，Heisenberg群上的調(diào)和分析以及Radon變換理論可參見文獻(xiàn)［1－5］.Heisenberg型的群簡稱H型的群，是Heisenberg群的推廣，它的中心的維數(shù)m≥1，在幾何上有其重要的意義，關(guān)于H型的群上的調(diào)和分析見文獻(xiàn)［6－10］.本文考慮的是H型的群上的Radon變換問題，由Fourier分析的理論得到相應(yīng)的逆算子的表達(dá)式.

1 一些基礎(chǔ)知識

2 H型的群上的Radon變換

先介紹H群的表示論方面的知識：設(shè)N表示非負(fù)整數(shù)集合，k∈N，x∈R，Hermite多項(xiàng)式Hk（x）定義：

一般地說，一個可積函數(shù)的Radon變換不一定仍是可積函數(shù)［5］，換種說法是平方可積函數(shù)的Radon變換不一定還是平方可積的，因此將尋找L2（H）的子空間，使Radon變換在這個子空間上是單射滿射.其中變量t是群的中心變量.而當(dāng)考慮四元數(shù)Heisenberg群的類似問題時，（）n被四元數(shù)Heisenberg群關(guān)于中心變量的Laplacian算子所代替［11］，但是需要計(jì)算R（f）的群Fourier變換.然而，在H型的群上，當(dāng)時，R（f）的群Fourier變換在相應(yīng)的正交基下的表達(dá)式已在文獻(xiàn)［3］中給出，但對于一般的H型群，由于群運(yùn)算涉及的映射J是m個一般形式的反對稱矩陣之和，使得函數(shù)的Radon變換后的群Fourier變換的計(jì)算十分困難，這個問題留到后面研究.

［1］ FOLLAND G.Harmonic analysis in phase spaces［M］.Princeton，NJ：Princeton University Press，1988.

［2］ GELLER D.Fourier analysis on the Heisenberg group［J］.JFunct Anal，1980，36：205-254.

［3］ HE JX.An inversion formula of the Radon transform on the Heisenberg group［J］.Canad Math Bull，2004，47：389-397.

［4］ RICCIF，SJ?GREN P.Two parametermaximal functions in the Heisenberg group［J］.Math Z，1988，199：565-575.

［5］ STRICHARTZR S.Lpharmonic analysis and Radon transforms on the Heisenberg group［J］.JFunct Anal，1991，96：350-406.

［6］ COWLINGM，DOOLEY A H，KORANYIA，etal.H-type groups and Iwasawa decompositions［J］.Adv Math，1991，87：1-41.

［7］ BONFIGLIOLIF，UGUZZONIF.Nonlinear Liouville theorems for some critical problems on H-type groups［J］.JFunct A-nal，2004，207：161-215.

［8］ LIU H P，WANG Y Z.A restriction theorem for the H-type groups［J］.Proc Amer Math Soc，2011，139：2713-2720.

［9］ MüLLER D，STEIN E M.On the spectralmultiplier for the Heisenberg and related groups［J］.JMath Pures Appl，1994，73：413-440.

［10］YANG Q H，ZHU F L.The heat kernel on the H-type groups［J］.Proc Amer Math Soc，2008，136：1457-1464.

［11］HE JX，LIU H P.Wavelet transform and Radon transform on the Quaternion Heisenberg group［J］.Acta Math Sin（Engl Ser），2014，30：619-636.

The Radon transform on the Heisenberg-type groups

HE Jian-xun1，LIZong-tao2

（1.School of Mathematics and Information Sciences，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China；2.School of Humanities and Social Sciences，Guangzhou Civil Aviation College，Guangzhou 510403，China）

Let H＝｛（z，t）：z∈Cn，t∈Rm｝be the Heisenberg-type groups.For（z，t），（z′，t′）∈H，the group multiplication is given by（z，t）?（z′，t′）＝（z＋z′，t＋t′＋zJz′t），where zJz′t＝（z U（1）z′t，z U（2）z′t，…，z U（m）z′t），z′tdenotes the transpose of z′，and U（j）（j＝1，2，…，m）are real skew-symmetric orthogonalmatrices.In this paper，we give the definition of the Radon transform on the Heisenberg-type groups，and obtain an inversion formula related with themapping J by Fourier transform.

Heisenberg-type groups；Radon transform；inversion formula

O 174.2

A

【責(zé)任編輯：周 全】

1671-4229（2015）03-0001-03

2015－01－30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271091；11471040）

何建勛（1956－），男，教授，博導(dǎo)，博士.E-mail：hejianxun＠gzhu.edu.cn