疊層球面橡膠-金屬彈性軸承等剛度設計研究

陳高升， 栗付平， 楊 巖

(1.北京航空材料研究院 減振降噪材料及應用技術航空科技重點實驗室，北京 100095；2.總參陸航部軍事代表局駐北京地區(qū)軍事代表室，北京 100095)

疊層球面橡膠-金屬彈性軸承等剛度設計研究

陳高升1， 栗付平1， 楊 巖2

(1.北京航空材料研究院 減振降噪材料及應用技術航空科技重點實驗室，北京 100095；2.總參陸航部軍事代表局駐北京地區(qū)軍事代表室，北京 100095)

從理論上推導了疊層球面橡膠-金屬彈性軸承各膠層的壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度計算公式，探討了膠層壓縮剛度、扭轉(zhuǎn)剛度的等剛度設計方法，并將等壓縮剛度和等扭轉(zhuǎn)剛度設計方案的理論計算結(jié)果、有限元仿真結(jié)果分別與未進行等剛度設計方案的結(jié)果分別進行了計算和對比，結(jié)果表明，等剛度設計可以很大程度上消除不同膠層之間的剛度差異，各膠層壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合。

彈性軸承；等剛度設計；壓縮剛度；扭轉(zhuǎn)剛度；有限元仿真

疊層球面橡膠-金屬彈性軸承是由具有相同球心的多層球形橡膠層及金屬隔片相互交替粘接的復合結(jié)構(gòu)，其作為直升機旋翼系統(tǒng)的重要構(gòu)件，在槳轂和中央件之間起柔性連接作用，通常在一定的壓力和扭轉(zhuǎn)及彎曲載荷下使用，減小槳葉旋轉(zhuǎn)過程中對中央件產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)、揮舞、擺振載荷，彈性軸承的各向剛度性能指標對旋翼系統(tǒng)的動態(tài)特性有重要影響。因此，對彈性軸承進行設計時，其各向剛度的預先準確計算就十分重要。國外從上世紀60年代開始就對層狀彈性軸承進行了大量研究，主要集中在彈性軸承的結(jié)構(gòu)設計[1～3]，彈性軸承動態(tài)特性分析[4]，彈性軸承的材料及性能試驗方法[5]，彈性軸承在不同載荷條件下的力學特性[6，7]及壽命預測[8]等方面，并總結(jié)出了一套彈性軸承的設計方法及經(jīng)驗公式，在此期間形成了大量的相關專利[9,10]。國內(nèi)對彈性軸承的研究則起步較晚，從上世紀80年代才開始研究，由于國外長期的技術封鎖，有關彈性軸承的研究成果公開的文獻很少，導致國內(nèi)彈性軸承的研究水平與國外存在較大的差距，在彈性軸承理論方面的研究成果較少[11,12],沒有形成系統(tǒng)成熟的理論，最近的研究也主要以彈性軸承的結(jié)構(gòu)設計[13～15]及試驗研究[16]為主。國外學者Donguy[1]對疊層球面彈性軸承剛度計算的研究較早，引入了形狀因子，給出了壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的近似計算方法，Lord公司的設計報告[2]中也給出了該結(jié)構(gòu)彈性軸承壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的類似計算公式，此外在文獻[3，8]中對疊層球面彈性軸承壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的計算方法均有介紹，但上述文獻中給出的剛度計算公式均不完全相同。國內(nèi)的頡連元等對疊層球面彈性軸承結(jié)構(gòu)研究較早，在文獻[13]中給出了彈性軸承的壓縮剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和彎曲剛度的相關計算公式。以前對彈性軸承剛度計算方法的研究只簡單地給出了其計算公式，沒有通過具體算例與試驗或有限元對比進行佐證，其各自的精確性及有效性還有待考證。本研究主要從理論上推導了層狀球面彈性軸承的壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度計算公式，以該理論計算公式為基礎，對彈性軸承的外部構(gòu)型進行了合理簡化，重點從理論上對球面層狀彈性軸承在壓縮和扭轉(zhuǎn)載荷下的等剛度設計方法進行了探討，以具體算例對等剛度設計和非等剛度設計兩種結(jié)構(gòu)進行了比較，并同有限元計算結(jié)果進行了對比分析。等剛度設計的目的是使各膠層在承載條件下的應變幾乎相同，從而保證各膠層的壽命幾乎相等，防止局部膠層應變過大提前出現(xiàn)疲勞破壞，從而大幅提高彈性軸承的疲勞壽命，該方法可為疊層球面橡膠-金屬彈性軸承在不同承載條件下的結(jié)構(gòu)設計提供指導與借鑒。

1 彈性軸承剛度計算理論

1.1 基本假設

為了從理論上計算層狀球面彈性軸承的壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，對彈性軸承作以下基本假設：(1)忽略金屬件的變形，金屬隔片和橡膠層在變形過程中始終保持球面形狀不變；(2)膠層材料均勻，各向同性；(3)膠層與金屬隔片粘接牢固，無滑移現(xiàn)象；(4)膠層受到扭轉(zhuǎn)變形時，忽略厚度和承載面積變化；(5)膠層的壓縮及剪切變形符合虎克定律。

典型的球形彈性軸承的截面示意圖如圖1所示。

圖1 疊層球面橡膠-金屬彈性軸承截面示意圖Fig.1 Schematic illustration of the cross section for laminated spherical rubber-metal elastomeric bearing

1.2 壓縮剛度理論

對于彈性不可壓縮材料，其軸向壓縮剛度為：

式中：EC表示材料的壓縮模量，壓縮模量EC與彈性模量E0有以下關系：

(1)

式中：SF為形狀系數(shù)；k為碳黑修正系數(shù)。形狀系數(shù)可通過以下公式計算得到[1,2]

(2)

式中：RSi為第i層橡膠層的平均球面半徑，mm；tRi為第i層橡膠層的厚度，mm；δOi為第i層橡膠的平均球面半徑外緣角度，°；δIi為第i層橡膠的平均球面半徑內(nèi)緣角度，°。各參數(shù)的表示如圖2所示。

圖2 膠層截面示意圖Fig.2 Schematic illustration of the rubber layer

冠形球面膠層截面如圖2所示，設其中截面曲線l(如圖3所示)的方程為：

圖3 膠層中截面曲線示意圖Fig.3 Schematic illustration of mid-cross of the rubber layer section curve

x1=-rsinδI，x2=-rsinδo，其中r表示膠層中截面的球面半徑。

該中截面的面積為：

=2πr2(sinδI-sinδ0)

則第i層橡膠的壓縮剛度：

(3)

由于各橡膠層之間可以認為是串聯(lián)關系，彈性軸承總的壓縮剛度KC為：

(4)

1.3 扭轉(zhuǎn)剛度理論

膠層的扭轉(zhuǎn)剛度：

式中：KTi為第i層膠層的扭轉(zhuǎn)剛度；G為橡膠材料的剪切模量；IPi為第i層膠層的慣性矩；為了得到第i層膠層的扭轉(zhuǎn)剛度，先推導冠形球面膠層的慣性矩，如圖4所示。設構(gòu)成冠形球面膠層中截面的曲線l的方程為：

x1=rcosδI，x2=rcosδo。

冠形球面的慣性矩：

圖4 冠形球面慣性矩計算示意圖Fig.4 Schematic illustration of inertia moment calculation for sphere-shaped crown

令x1=rcos(δI)=rsin(α)，則

(5)

故扭轉(zhuǎn)剛度為:

(6)

考慮橡膠層形狀系數(shù)的影響，第i層橡膠層的扭轉(zhuǎn)剛度為：

(7)

由于各橡膠層之間可以認為是串聯(lián)關系，彈性軸承總的扭轉(zhuǎn)剛度KT為

(8)

2 等剛度設計

2.1 壓縮剛度、扭轉(zhuǎn)剛度等剛度設計方法

軸承各膠層的等剛度設計可以保證軸承在承受外載時各膠層產(chǎn)生較均勻的應變，使各膠層的應力分布更均勻，有效的減小膠層間的應力梯度，防止局部膠層提前破壞，提高軸承的整體疲勞壽命。膠層等剛度計算示意圖如圖5所示，這里對彈性軸承的外緣結(jié)構(gòu)進行合理簡化，假設彈性軸承各膠層在中截面的外緣近似處在同一直線上。

圖5 球形彈性軸承各膠層等剛度設計示意圖Fig.5 Schematic illustration of the equivalent rigidity design in every rubber layer of the spherical elastomeric bearing

已知條件：D0為第1層膠層與小接頭接觸表面的球冠半徑，RC為注膠孔的半徑，R0為第1層膠層與小接頭接觸表面的球半徑，Mi為各金屬隔片的厚度(假設相等且都為M)，其中i=1，2，3，……，n-1，n為橡膠層的層數(shù)。θ為膠層外緣邊線與水平面之間的夾角。

由圖5可知：

Ri=R0+tR 1+tR 2+ …+tR i-1+

tR i/2 + (i-1)·M

等剛度設計滿足的條件為：

(i=1,2,3,…,n)

(9)

等剛度設計時ai=1，(i=1,2,3,…,n)。若已知總的壓縮剛度為K，橡膠層的層數(shù)為n，由式(4)可得：

(10)

將前面的已知條件及k=nK代入方程(9)中展開可得到一個n維非線性方程組，求解該非線性方程組可以得到各橡膠層的精確厚度，從而完成總壓縮剛度為K的軸承零件各膠層的等壓縮剛度設計。求解非線性方程組可借助Matlab符號計算語言，通過優(yōu)化算法編程實現(xiàn)。

當已知軸承總剛度的情況下，還可以完成特定橡膠層特定剛度的設計。由于在實際工作當中，彈性軸承最先疲勞破環(huán)的往往是靠近小接頭的前兩層膠層，因此可以使這兩層膠層的剛度大于其他各層的剛度。如將第1和第2層膠層的剛度設計為ak(a>1)，其他n-2層膠層的剛度設計為k，則對于該n層膠層的球形彈性軸承，總的壓縮剛度為：

(11)

將k值代入(9)式求得各膠層的厚度，其中a1=a，a2=a，ai=1(i=3,4,…n)，即可完成特定膠層特定剛度的設計。扭轉(zhuǎn)剛度的等剛度設計方法與壓縮剛度相似，不再詳細論述。

2.2 壓縮剛度、扭轉(zhuǎn)剛度等剛度設計理論結(jié)果與仿真結(jié)果比較

為了驗證前述等剛度設計理論的有效可靠性，現(xiàn)給出3種膠層厚度的分布方案，方案1為普通的膠層分布方案，方案2和方案3分別為等壓縮剛度設計和等扭轉(zhuǎn)剛度設計各膠層的厚度分布，各膠層厚度分布如圖6所示。由圖6可知，等壓縮設計方案和等扭轉(zhuǎn)設計方案膠層厚度的分布趨勢均是由小接頭向大接頭逐漸增加，等扭轉(zhuǎn)設計方案膠層厚度增加趨勢更為明顯。

圖6 膠層厚度分布方案Fig.6 Thickness distribution plan of the rubber layer

為了便于比較，將方案1的壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度分別與方案2，3進行對比，圖7是方案1和等壓縮剛度設計方案2之間各膠層壓縮剛度的比較，圖8是方案1和等扭轉(zhuǎn)剛度設計方案3之間各膠層扭轉(zhuǎn)剛度的比較。各膠層壓縮剛度的理論結(jié)果由式(3)得到，扭轉(zhuǎn)剛度的理論結(jié)果由式(7)得到，壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的仿真結(jié)果均采用有限元方法計算得到。

由圖7可知，對于方案1，膠層厚度相同時，膠層壓縮剛度幾乎呈線性增加的趨勢，在膠層厚度變化時會出現(xiàn)剛度的驟然變化，各膠層的最大壓縮剛度與最小壓縮剛度的比值為1.4，膠層間的壓縮剛度梯度變化較大，而方案2各膠層壓縮剛度的理論計算值相對于方案1波動很小，沒有出現(xiàn)相鄰膠層剛度突變的現(xiàn)象，各膠層的最大壓縮剛度與最小壓縮剛度的比值為1.06，膠層間的壓縮剛度變化梯度明顯減小。同時也可發(fā)現(xiàn)，方案2各膠層壓縮剛度的仿真值隨膠層序號的增加呈先增加后下降的趨勢，除前3層膠層外各膠層的壓縮剛度仿真結(jié)果不同程度大于理論計算結(jié)果，仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果的最大誤差為4.5%，采用兩種方法計算得到的結(jié)果一致性較好，通過(4)式計算得到總的等效壓縮剛度(分別為234kN/mm和237kN/mm)也基本一致。

圖7 方案1、方案2各膠層壓縮剛度理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果比較Fig.7 Comparison of theoretical results and simulated results of compress rigidity in every rubber layer of plan 1 and plan 2

由圖8可看出，方案1膠層的最大扭轉(zhuǎn)剛度為最小扭轉(zhuǎn)剛度的2倍以上，在11層和12層厚度變化時扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)驟降，方案3各膠層扭轉(zhuǎn)剛度的理論計算值波動很小，沒有出現(xiàn)相鄰膠層剛度突變的現(xiàn)象，各膠層的最大扭轉(zhuǎn)剛度約為最小扭轉(zhuǎn)剛度的1.12倍，相對于方案1，膠層間的扭轉(zhuǎn)剛度梯度值急劇減小，基本實現(xiàn)了各膠層的等扭轉(zhuǎn)剛度設計。同時也可發(fā)現(xiàn)，各膠層扭轉(zhuǎn)剛度的仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果相差較大，前半部分膠層扭轉(zhuǎn)剛度的仿真計算結(jié)果大于理論結(jié)果，后半部分各膠層扭轉(zhuǎn)剛度的仿真計算結(jié)果小于理論結(jié)果，仿真結(jié)果與理論結(jié)果的最大誤差出現(xiàn)在第1層，約為15%，通過(8)式計算得到總的等效扭轉(zhuǎn)剛度分別為7.24N·m/°和7.43N·m/°，基本一致。

圖8 方案1和方案3各膠層扭轉(zhuǎn)剛度理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果比較Fig.8 Comparison of theoretical results and simulated results of torsion rigidity in every rubber layer of plan 1 and plan 3

3 結(jié)論

從理論上推導了疊層球面橡膠-金屬彈性軸承膠層壓縮剛度(文中(3)，(4)式)和扭轉(zhuǎn)剛度(文中(7)，(8)式)。

建立了疊層球面橡膠-金屬彈性軸承壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的等剛度計算模型，給出了具體的計算方法(文中(9)，(10)，(11)式)，并通過具體算例對等剛度設計模型進行了驗證，與非等剛度設計結(jié)果進行了對比分析，結(jié)果表明等剛度設計能夠明顯減小各膠層之間的剛度差異。

對疊層球面橡膠-金屬彈性軸承壓縮剛度、扭轉(zhuǎn)剛度理論計算結(jié)果及仿真結(jié)果進行了對比研究，結(jié)果表明壓縮剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果均基本吻合。各膠層壓縮剛度仿真結(jié)果與理論結(jié)果的最大誤差為4.5%；各膠層扭轉(zhuǎn)剛度的理論計算結(jié)果與仿真結(jié)果存在的誤差較大，約為15%，但總的等效扭轉(zhuǎn)剛度基本一致。

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Equivalent Rigidity Design Research of LaminatedSpherical Rubber-metal Elastomeric Bearing

CHEN Gao-sheng1， LI Fu-ping1， YANG Yan2

(1.Beijing Institute of Aeronautical Materials, Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Materials and Application Research for Vibration and Noise Reduction, Beijing 100095, China； 2.Military Respective office of Aviation Department of the General staff Micitary Respeetive Bureau in Beijing，Beijing 100095, China)

The formulations of compression rigidity and torsion rigidity of laminated spherical rubber-metal elastomeric bearing were deduced by theoretical means, the designed means of equivalent compression rigidity and equivalent torsion rigidity were studied, for the equivalent rigidity plan and unequal rigidity plan, the theoretical results and finite element simulated results of compression rigidity and torsion rigidity are calculated and taken comparied respectively , the results show that the equivalent rigidity design can eliminate the rigidity difference between different rubber layer to a large extent, the theoretical calculated results of compression rigidity and torsion rigidity are basically identical with the simulated results in every rubber layer.

elastomeric bearing；equivalent rigidity design；compression rigidity；torsion Rigidity；finite element simulation

2015-01-22；

2015-03-15

國防基礎科研計劃資助(A052013002)，

陳高升(1981—)，男，碩士，工程師，主要從事橡膠減振器結(jié)構(gòu)設計、結(jié)構(gòu)強度與動力學分析研究，(E-mail)chen_max@163.com。

10.11868/j.issn.1005-5053.2015.3.013

V214.1; V257; V229+.7

A

1005-5053(2015)03-0077-06