中考根的判別式應(yīng)用解密

劉頓

一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac的使用條件是在一元二次方程中，而非其他方程，因此，解題過程中要注意隱含條件a≠0. 就是說，使用根的判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值，進(jìn)而利用根的判別式解決問題.下面就2014年中考“根的判別式”應(yīng)用歸類解密，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、 不解一元二次方程，直接判斷或證明根的情況

例1 （四川自貢卷）一元二次方程x2-4x+5=0的根的情況是（ ）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根

分析 條件中給定的一元二次方程已知是一般形式，此時(shí)要判斷根的情況，可直接計(jì)算出b2-4ac的值，進(jìn)而利用根的判別式判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù).

解 因?yàn)棣?b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4<0，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根，故應(yīng)選D.

說明 此類問題容易出錯(cuò)的地方有二：一是不化方程為一元二次方程的一般形式，錯(cuò)誤地確定a、b、c的值；二是不知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是由判別式b2-4ac的符號(hào)來決定的.

二、 根據(jù)方程根的情況，確定字母系數(shù)的值

例2 （江蘇南通卷）若關(guān)于x的方程x2-6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m=___.

分析 由根的情況，利用判別式構(gòu)造方程求解.

解 ∵關(guān)于x的方程x2-6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴ Δ=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9.

說明 關(guān)于一元二次方程根的判別式的使用，要注意是有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，還是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果是有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，還要明確是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，還是有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，或是籠統(tǒng)地說有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

三、 根據(jù)方程根的情況，確定字母系數(shù)的最值

例3 （江西撫州卷）關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k可能的最大整數(shù)為___.

分析 先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，建立關(guān)于k的不等式并求解，再求這個(gè)不等式的特殊解.

解 ∵關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴ Δ=（-5）2-4k>0，∴ k<■，∴ k可能的最大整數(shù)為6.

說明 解答此類問題有固定的思維模式：先求出一元二次方程的根的判別式b2-4ac，再根據(jù)一元二次方程根的情況建立關(guān)于字母系數(shù)的不等式來求解.另外，在本題中，最后確定k可能的最大整數(shù)時(shí)，采用“去尾法”，注意由于要求的是最大整數(shù)，所以不可以“進(jìn)一法”，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.

四、 根據(jù)方程根的情況，確定字母系數(shù)的取值范圍

例4 （四川內(nèi)江卷）若關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

A. k>■ B.k≥■ C.k>■且k≠1 D.k≥■且k≠1

分析 要求k的取值范圍，可依據(jù)關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有不相等的實(shí)數(shù)根，得到一元二次方程根的判別式Δ>0，且k-1≠0，構(gòu)造不等式求解.

解 依題意，得22-4（k-1）（-2）≥0，且k-1≠0，解得k≥■且k≠1，故應(yīng)選D.

說明 利用一元二次方程根的判別式求解字母系數(shù)問題時(shí)，除了要能正確地列式運(yùn)算外，還必須牢記二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0.

五、 限制一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用

例5 （山東德州卷）方程x2+2kx+k2-2k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x21+x22=4，則k的值為___.

分析 一方面，由配方或完全平方公式的變形可知x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2，另一方面，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到x1+x2=-2k，x1x2=k2-2k+1，從而可求出k的值，此時(shí)的k值必須滿足Δ=b2-4ac≥0.

解 ∵ 方程x2+2kx+k2-2k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，∴ x1+x2=-2k，x1x2=k2-2k+1，又∵ x21+x22=4，∴ x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-2k）2-2（k2-2k+1）=4，解得k1=-■，k2=1.∵ Δ≥0，∴ （-2k）2 -4（k2-2k+1）≥0，解得k≥■，∴ k1=-■舍去，∴ k的值為1.

說明 此類問題通常利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方公式，列出方程求解，最后的結(jié)果要注意檢驗(yàn).

六、 一元二次方程與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

例6 （黑龍江大慶卷）關(guān)于x的函數(shù)y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值.

分析 依題意可分別對(duì)二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)為0、不為0進(jìn)行討論，并結(jié)合一元二次方程根的判別式求解.

解 當(dāng)m2-1=0，-（2m+2）≠0時(shí)，即m=1時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)y=-4x+2，與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m2-1≠0，即m≠±1時(shí)，該函數(shù)為二次函數(shù)，由題意，得Δ=b2-4ac=（2m+2）2-4×2×（m2-1）=0，解得m1=-1（不合題意，舍去），m2=3.綜合，得m的值為1或3.

說明 本題以函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為背景，考查一元二次方程根的判別式與二次函數(shù)，求解時(shí)要注意分類討論思想方法的運(yùn)用.

七、 一元二次方程與幾何圖形的綜合運(yùn)用

例7 （四川瀘州卷）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)根.

（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值.

（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個(gè)三角形的周長.

分析 （1）由于x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則可利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系列式并結(jié)合（x1-1）（x2-1）=28，求得m的值.（2）條件中并沒有明確7是底還是腰，于是應(yīng)分兩種情形：7為底邊或7為腰分類，結(jié)合（1）即可確定等腰三角形的周長.

解 （1） ∵ x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)根，∴ x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5.

又∵（x1-1）（x2-1）=28，∴x1x2-（x1+x2）-27=0，∴m2+5-2（m+1）-27=0，即m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4.

∵ Δ=[-2（m+1）]2-4（m2+5）≥0，解得m≥2，即當(dāng)m2=-4時(shí)原一元二次方程無解，∴ m=6.

（2）若7為此等腰三角形的底邊，那么x1=x2，此時(shí)，Δ=0，即m=2，則有x1+x2=2（m+1）=6<7，不能構(gòu)造三角形.

若7為此等腰三角形的腰，設(shè)x1=7，代入方程，得49-14（m+1）+m2+5=0，解得m=10或4.當(dāng)m=10時(shí)方程變?yōu)閤2-22x+105=0，解得x=7或15. ∵ 7+7<15，∴ 不能組成三角形.

當(dāng)m=4時(shí)方程變?yōu)閤2-10x+21=0，解得x=3或7，此時(shí)三角形的周長為7+7+3=17.

說明 本題既考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其解法，又考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知兩根之和及兩根之積分別與系數(shù)的關(guān)系，要注意體會(huì)方程思想和分類思想的運(yùn)用.

（編輯 孫世奇）