數(shù)學(xué)中的“事做的正確和正確地做事”

胡天寶

一、問(wèn)題產(chǎn)生

日前筆者教學(xué)中，遇到如下問(wèn)題：

過(guò)雙曲線x2-■=1的右焦點(diǎn)F2作直線l交雙曲線于A， B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線l有_______條。

學(xué)生的答案五花八門，有一條的、兩條的、三條的，問(wèn)了幾個(gè)回答正確的學(xué)生，都認(rèn)為通徑算一條，然后“斜的”還有兩條。答案雖然正確，但過(guò)程有點(diǎn)憑感覺。說(shuō)得通俗一點(diǎn)就是學(xué)生“把題目寫對(duì)了，但沒(méi)有準(zhǔn)確地把題目做對(duì)”，這與我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)追求嚴(yán)謹(jǐn)性相悖，因此，與必要在此進(jìn)行研究。學(xué)生出現(xiàn)此問(wèn)題，究其原因，還是對(duì)雙曲線通徑的理解上存在問(wèn)題。

二、問(wèn)題探究

為了解決此問(wèn)題，我在此題的教學(xué)時(shí)，首先回顧了雙曲線的焦半徑公式：

雙曲線上任意一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離稱為該點(diǎn)的焦半徑。

已知點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線■-■= 1（a>0，b>0）上，F(xiàn)1， F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若點(diǎn)P在右半支上，則 PF1 =ex0+a，PF2=ex0-a；若點(diǎn)P在左半支上，則PF1=-ex0+a，PF2=-ex0-a。

設(shè)右支通徑為AB，則AB=2■。

可以證明通徑是直線與右支有兩個(gè)交點(diǎn)的弦長(zhǎng)中最短的弦。設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與右支交點(diǎn)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則弦長(zhǎng)P1P2=P1F2+P2F2=ex1-a+ex2-a=e（x1+x2）-2a≥e·2c-2a=2■，當(dāng)且僅當(dāng)F2為P1，P2中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。

對(duì)于開頭的問(wèn)題，我們可以這樣說(shuō)明：雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線，使得交點(diǎn)之間的距離等于4，而當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，此時(shí)即為通徑長(zhǎng)，也是等于4的線段，綜上可知有三條直線滿足|AB|=4。

當(dāng)然，解決此問(wèn)題也可以從交點(diǎn)弦的角度進(jìn)行研究：

設(shè)雙曲線■-■= 1（a>0，b>0），其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），過(guò)F1的直線的傾斜角為α，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。

（如圖）當(dāng)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在雙曲線同一支上時(shí)，連接F2A，F(xiàn)2B，設(shè)|F1A|=x，|F1B|=y，由雙曲線定義可得|F2A|=2a+x，|F2B|=2a+y，由余弦定理可得x2+（2c）2-2x·2c·cosα=（2a+x）2整理可得x=■，同理y=■，則可求得弦長(zhǎng)|AB|=x+y=■+■=■。

由公式可知，當(dāng)α=90°時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最短。因此，開頭的問(wèn)題中，若A、B兩點(diǎn)都在右支上，則等于4的弦只有一條，另外兩條的說(shuō)明同前。

課程改革對(duì)當(dāng)前的教育教學(xué)提出了更新更高的要求，新課程標(biāo)準(zhǔn)也向每一位教師提出了前所未有的挑戰(zhàn)。作為一名一線教師，在追求數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)上要不斷努力，做好學(xué)習(xí)者的角色。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“以人為本”的理念決定著數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)指向：適應(yīng)并促進(jìn)人的發(fā)展。這就要求數(shù)學(xué)教師必須以學(xué)習(xí)者的角色去讀懂學(xué)生。只有了解學(xué)生的知識(shí)水平、優(yōu)勢(shì)與不足、學(xué)習(xí)的最佳方式以及學(xué)生之所需，教師才能教好學(xué)生，才能找到有效的教學(xué)方式。教師要摸清學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理機(jī)制、認(rèn)知特點(diǎn)，以學(xué)習(xí)者的角色去體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從學(xué)習(xí)者的立場(chǎng)來(lái)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、反思問(wèn)題，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生“學(xué)會(huì)向數(shù)學(xué)知識(shí)提問(wèn)”“學(xué)會(huì)向數(shù)學(xué)問(wèn)題解決提問(wèn)”（即問(wèn)題解決后的反思），引導(dǎo)學(xué)生不僅“把事做的正確”，更要引導(dǎo)學(xué)生“正確地做好事”。只有這樣，教師才能找到最佳的教學(xué)方案，從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果，真正達(dá)到有效教學(xué)的目標(biāo)，同時(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

？誗編輯 李 姣