用“A”字形的性質(zhì)求角

周金平 周?chē)?guó)強(qiáng)

如圖1，E、F分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn)，連接EF，我們不妨把這樣的圖形稱(chēng)為“A”字形?！癆”字形有一條重要性質(zhì)：∠AEF+∠BFE=180°+∠O（讀者可自己證明）。某些求角問(wèn)題，運(yùn)用這條性質(zhì)來(lái)解，方便簡(jiǎn)捷，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

圖1

例1 如圖2，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（ ）

A.150° B.210° C.105° D.75°

圖2

解析 顯見(jiàn)AB、AC、DE構(gòu)成了A字形，由A字形的性質(zhì)，知∠CED+∠BDE=180°+75°=255°，因?yàn)椤?+∠2=255°-∠A′ED-∠A′DE=255°-（180°-∠A′），由折疊，知∠A=∠A′=75°，所以∠1+∠2=150°。故選A。

例2 如圖3，△ABC中，∠A=100°，若BM、CM分別平分∠ABC，∠ACB的外角平分線，則∠M= 。

圖3

解析 因?yàn)閳D中AD、AE、BC構(gòu)成了A字形，由A字形的性質(zhì)，知∠DBC+∠BCE=180°+∠A=280°。

又因?yàn)锽M、CM分別平分∠ABC，∠ACB的外角平分線，所以∠1+∠2=140°。因?yàn)椤?+∠2+∠M=180°，所以∠M=40°。

例3 如圖4，AB∥CD，∠1=110°，∠E=40°，∠EAB的大小是（ ）

A.60° B.70° C.80° D.90°

圖4

解析 因?yàn)椤螮 =40°，圖中AE、BE、CD構(gòu)成了A字形，由A字形的性質(zhì)，知∠ACD+∠CDB=180°+∠E=220°。又AB∥CD，∠1=110°。所以∠CDB=110°，從而∠ACD=220°-110°=110°，所以∠EAB=180°-110°=70°。故選B。

例4 如圖5，AB∥CD，直線a分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，點(diǎn)M在EF上，P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)F重合）。當(dāng)點(diǎn)P在射線FD上移動(dòng)時(shí)，∠2+∠3與∠1有什么關(guān)系？說(shuō)明理由

圖5

解析 ∠2+∠3=180°+∠1。理由如下：

因?yàn)閳D中FE、FD、MP構(gòu)成了A字形，由A字形的性質(zhì)，知∠2+∠3=180°+∠EFP。又AB∥CD，所以∠1=∠EFP。故∠2+∠3=180°+∠1。