界面點(diǎn)源和半圓柱在直角域中的反平面散射

高 春，齊 輝，潘向南，蔡立明，趙元博（.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，5000哈爾濱；2.哈爾濱學(xué)院土木工程系，50086哈爾濱）

界面點(diǎn)源和半圓柱在直角域中的反平面散射

高 春1，2，齊 輝1，潘向南1，蔡立明1，趙元博1
（1.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，150001哈爾濱；2.哈爾濱學(xué)院土木工程系，150086哈爾濱）

為得到直角域中垂直邊界上的半圓柱對(duì)點(diǎn)源載荷的反平面彈性動(dòng)力學(xué)解析解，按照鏡像方法和波函數(shù)展開(kāi)法，研究了點(diǎn)源對(duì)半圓柱的穩(wěn)態(tài)散射以及其與邊界的相互作用，得到直角域中的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng).首先，延拓直角域?yàn)榘肟臻g，延拓半圓柱為圓柱，得到等價(jià)問(wèn)題；其次，構(gòu)造位移波的波函數(shù)級(jí)數(shù)表達(dá)式；最后，對(duì)圓柱邊界做Fourier展開(kāi)，定解波函數(shù)系數(shù).數(shù)值計(jì)算了圓柱邊沿的動(dòng)應(yīng)力，結(jié)果表明，半圓柱的散射總是明顯地分為投射側(cè)和隱蔽側(cè)，相對(duì)低頻總是能引起更大的動(dòng)應(yīng)力，介質(zhì)參數(shù)對(duì)徑向動(dòng)應(yīng)力和周向動(dòng)應(yīng)力的分布，有著截然不同的影響.理論分析得到的穩(wěn)態(tài)解豐富了SH波散射的理論，為雙相介質(zhì)界面圓柱的SH波散射的Green函數(shù)方法奠定了基礎(chǔ)，數(shù)值算例為相應(yīng)的工程問(wèn)題提供了參考.

SH波散射；點(diǎn)源函數(shù)；界面圓柱；直角域；動(dòng)應(yīng)力分布

反平面運(yùn)動(dòng)作為彈性動(dòng)力學(xué)最簡(jiǎn)單與最基本的研究對(duì)象，具有十分重要的理論意義.作為反平面彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的SH波傳播與散射在地震工程、巖土工程、地下工程等中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值.早在上世紀(jì)七、八十年代，文獻(xiàn)［1－2］就已經(jīng)系統(tǒng)地研究了SH波對(duì)柱體的散射問(wèn)題.本世紀(jì)以來(lái)，文獻(xiàn)［3－10］陸續(xù)研究了全空間中界面圓孔、圓柱、襯砌對(duì)平面SH波和反平面線源荷載的散射，文獻(xiàn)［10－11］研究了SH波入射下，凸起結(jié)構(gòu)與不同基礎(chǔ)地形的相互作用.近年來(lái)，文獻(xiàn)［12－19］分別研究了彈性直角域和雙相介質(zhì)中圓柱孔洞、夾雜對(duì)SH波和點(diǎn)源荷載的散射，并且取得了一定成果.但雙相介質(zhì)半空間中界面圓柱的反平面散射問(wèn)題的相關(guān)研究還很匱乏，鑒于界面動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜性和重要性，本文研究界面反平面點(diǎn)源荷載對(duì)彈性直角域中的界面圓柱的穩(wěn)態(tài)作用.這是解決雙相介質(zhì)界面圓柱對(duì)SH波散射的Green函數(shù)方法的基礎(chǔ)，利用本文構(gòu)造的界面點(diǎn)源荷載的穩(wěn)態(tài)解，通過(guò)疊加原理就可以求得任意分布的界面荷載對(duì)含界面半圓柱的彈性直角域的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).同時(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)值算例進(jìn)行的分析，本文得到的結(jié)論可以為理論研究和工程實(shí)踐提供一定的參考和指導(dǎo).

1 描述與分析

1.1 控制方程

本文研究一類(lèi)彈性動(dòng)力學(xué)反平面問(wèn)題.如圖1所示，有一個(gè)彈性直角域，其水平邊界為BH平面，垂直邊界為BV平面.在垂直邊界上嵌入一個(gè)半圓柱，它的圓心O點(diǎn)位于BV平面上，距離水平邊界BH平面的直線長(zhǎng)度為h.直角域的剪切彈性模量為μ1，質(zhì)量密度為ρ1，半圓柱的剪切彈性模量為μ2，質(zhì)量密度為ρ2.以半圓柱的圓心O點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直邊界BV平面內(nèi)法線方向?yàn)閤軸正方向，水平邊界BH平面外法線方向?yàn)閥軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（O，x，y）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸為極軸，按逆時(shí)針?lè)较?，建立平面極坐標(biāo)系（O，r，θ）.以出平面方向（圖中標(biāo)為“☉”）為反平面位移的正方向，入平面方向?yàn)榉雌矫嫖灰频呢?fù)反向.

圖1 彈性直角域中的界面點(diǎn)源和半圓柱

這樣，彈性直角域和半圓柱中的質(zhì)點(diǎn)分別滿足波動(dòng)方程

式中：Δ為二維Laplace算子，w為反平面位移，f為反平面外力.

考慮穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，分離時(shí)間變量t和空間變量（x，y），（r，θ），得到位移空間變量非齊次Helmholtz方程為

式中：k1、k2分別為直角域和半圓柱中剪切波的波數(shù)；c1、c2分別為直角域和半圓柱中剪切波的相速度為略去時(shí)間諧和函數(shù)exp（－iωt）的反平面外力；ω為穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的角頻率.

按照復(fù)變函數(shù)描述，引入復(fù)變量z和共軛復(fù)變量－z ，建立復(fù)平面（z，，其中，i＝－1是虛數(shù)單位.

在垂直邊界BV平面上的i y0點(diǎn)，有反平面穩(wěn)態(tài)點(diǎn)源荷載δ（z－i y0）exp（－iωt），代入非齊次的Helmholtz方程式（1），即fω＝δ（z－i y0），它們的解分別為

它們是點(diǎn)源函數(shù)在全空間中的基本解，其中，δ（·）為Dirac函數(shù)·）為0階第1種Hankel函數(shù).

1.2 等價(jià)問(wèn)題

本文討論的反平面彈性動(dòng)力學(xué)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的泛定方程就是控制方程式（1），定解條件是BH平面和BV平面上齊次的Neumann條件以及BC柱面上齊次的Dirichlet條件和Neumann條件.

這里，應(yīng)力分量和位移的上標(biāo)I和II分別代表在直角域Medium I和半圓柱Medium II中.

按照鏡像的方法構(gòu)造定解問(wèn)題的等價(jià)問(wèn)題.如圖2所示，以垂直邊界BV平面為對(duì)稱(chēng)面，將直角域延拓為半空間，將半圓柱延拓為圓柱，在延拓的區(qū)域中加上對(duì)稱(chēng)的反平面穩(wěn)態(tài)點(diǎn)源荷載δ（z－i y0）exp（－iωt）.按這樣延拓處理，前后的定解問(wèn)題完全等價(jià)，并且自然滿足BV平面上的Neumann條件式（3）.

圖2 等價(jià)問(wèn)題的鏡像方法

這是含圓柱夾雜的彈性半空間在對(duì)稱(chēng)面上的反平面點(diǎn)源荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題.作為穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，在以下討論中，統(tǒng)一略去時(shí)間諧和函數(shù)exp（－iωt）.

2 位移波的表達(dá)式

2.1 點(diǎn)源荷載

等價(jià)問(wèn)題的反平面外力是點(diǎn)源荷載2δ（z－i y0）.

當(dāng)它的作用點(diǎn)在延拓的圓柱內(nèi)，即y0＜R時(shí)，它的位移場(chǎng)GII以及徑向應(yīng)力分量τrz（記作GIrIz）為

當(dāng)它的作用點(diǎn)在由直角域延拓得到的半空間內(nèi)，即y0≤h且y0≥R時(shí)，需要考慮水平邊界BH平面的影響.如圖2所示，在原點(diǎn)O關(guān)于BH平面對(duì)稱(chēng)的鏡像點(diǎn)O′上，建立平面直角坐標(biāo)系（O′，x′，y′），其對(duì)應(yīng)的復(fù)變量z′和共軛復(fù)變量－z ′滿足

2.2 圓柱的位移波

按照Fourier?Hankel波函數(shù)展開(kāi)法，延拓的圓柱在延拓的半空間中將會(huì)產(chǎn)生散射波.它的位移場(chǎng)記作SI，表示為級(jí)數(shù)形式為

式中An為待定的波函數(shù)系數(shù).

散射波的徑向應(yīng)力分量τrz記作SIrz，表示為級(jí)數(shù)形式為

式中Ｈ－ｎ（ｚ）、Ｈ+ｎ（ｚ）分別為求導(dǎo)得到的中間變量.

按照鏡像的方法，構(gòu)造延拓的圓柱關(guān)于水平邊界ＢＨ 平面對(duì)稱(chēng)的鏡像散射波.它的位移場(chǎng)記作ＳＩ′，它的徑向應(yīng)力分量τｒｚ 記作ＳＩｒ ｚ ′，它們的級(jí)數(shù)形式表示為

式中：Bn為待定的波函數(shù)系數(shù)，Jn（·）為n階Bessel函數(shù).駐波的徑向應(yīng)力分量τrz記作表示為級(jí)數(shù)形式為

于是，本文得到等價(jià)問(wèn)題的彈性半空間和圓柱中的位移場(chǎng)w和徑向應(yīng)力分量場(chǎng)τrz的表達(dá)式.

3 定解方程組

式中z ＝R，它們都是角變量θ的函數(shù).對(duì)式（9）兩端分別按角變量θ做Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，按照簡(jiǎn)諧函數(shù)系的正交性，得到待定系數(shù)An和Bn的線性代數(shù)方程組，截?cái)喾匠探M，按常規(guī)的Gauss消去法，即可求得An和Bn的具體數(shù)值.

4 延拓圓柱邊沿的動(dòng)應(yīng)力

4.1 應(yīng)力按照波函數(shù)展開(kāi)法，將計(jì)算求得的An和Bn的具體數(shù)值代入Fourier?Hankel波函數(shù)和Fourier?Bessel波函數(shù)的級(jí)數(shù)式（6）～（8），加上已知的反平面外力點(diǎn)源荷載2δ（z－i y0），這樣就得到了等價(jià)問(wèn)題中的全部波場(chǎng).當(dāng)y0＜R時(shí)，延拓的半空間和圓柱

在等價(jià)問(wèn)題中，延拓的半空間Medium I的徑向應(yīng)力分量場(chǎng)和周向應(yīng)力分量場(chǎng)均滿足：

延拓的圓柱Medium II的徑向應(yīng)力分量場(chǎng)τIIrz（z）和周向應(yīng)力分量場(chǎng)τIIθz（z）圴滿足：

式中?／?z、?／?－z 分別為復(fù)變量z和共軛復(fù)變量－z的形式導(dǎo)數(shù).這些應(yīng)力都是由點(diǎn)源荷載2δ（z－i y0）激勵(lì)產(chǎn)生，當(dāng)y0＜R時(shí)，它們依賴(lài)于延拓的圓柱Medium II中剪切波的波數(shù)k2，當(dāng)y0≤h且y0≥R時(shí)，它們依賴(lài)于延拓的半空間Medium I中剪切波的波數(shù)k1.同時(shí)，延拓的半空間和圓柱中的應(yīng)力場(chǎng)分別是剪切模量μ1和μ2的一次函數(shù).由此，定義量綱一的應(yīng)力分量τ以及定義剪切模量比和分別為

4.2 算例分析

計(jì)算延拓的半空間中的點(diǎn)源荷載在延拓圓柱邊沿BC柱面上量綱一的徑向應(yīng)力分量和周向應(yīng)力分量

圖3 延拓圓柱邊沿的動(dòng)應(yīng)力（h＝2R，y0＝1.5 R）

5 結(jié) 論

1）點(diǎn)源荷載對(duì)界面半圓柱的散射，明顯地分為投射側(cè)和影蔽側(cè).徑向應(yīng)力的投射側(cè)和影蔽側(cè)有明顯的界限，并且在圓心與點(diǎn)源作用點(diǎn)連線上取得投射側(cè)和影蔽側(cè)的最大值，隨著半圓柱剪切模量的增大，徑向應(yīng)力的最大值在投射側(cè)幾乎是影蔽側(cè)的數(shù)倍.

2）周向應(yīng)力同樣在投射側(cè)取得最大值，但并不是在正對(duì)點(diǎn)源荷載的方法，而是有一個(gè)偏角.

3）總體而言，隨著半圓柱的剪切彈性模量的增大，徑向應(yīng)力也將增大，而周向應(yīng)力將減??；隨著半圓柱的剪切彈性模量的減小，徑向應(yīng)力也將減小，而周向應(yīng)力將增大.

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（編輯 張 紅）

Anti?plane scattering of interfacial point source load and semi?circular cylinder in an elastic quarter space

GAO Chun1，2，QI Hui1，PAN Xiangnan1，CAI Liming1，ZHAO Yuanbo1
（1.College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China；2.Dept of Civil Engineering，Harbin University，150086 Harbin，China）

To obtain anti?plane elastodynamic analytic solution of a semi?circular cylinder，subject to anti?plane point source loading in a vertical bound of an elastic quarter space，image method and wave function expansion method are employed to study steady state scattering of the semi?circular cylinder and interaction of bounds，then displacement and stress are determined in this quarter space.More specifically，firstly，the quarter space is extended as a half space，and the semi?circular cylinder is also extended as a circular cylinder.Then，displacement wave is constructed as series form of wave function and circular cylindrical bound is expanded as Fourier series to determine coefficients of wave function finally.Dynamic stress distributed around circular cylinder is calculated to show that scattering of the semi?circular cylinder is apparently to distinguish front and back，and relative low frequency of loading usually causes more dynamic stress around the semi?circular cylinder，and material parameters also have two widely divergent influences on the radial and circumferential dynamic stress distribution.This steady state solution is presented to enrich SH wave scattering theory and to formulate Green function method for SH wave scattering of bi?material interfacial circular cylinder with theoretical analysis.Numerical calculating examples demonstrate the related engineering problem for underground engineers，earthquake engineers，geotechnical engineers and civil engineers as well.

SH wave scattering；point source；interfacial circular cylinder；quarter space；dynamic stress distribution

O343.1；O326

A

0367－6234（2015）10－0094－06

10.11918／j.issn.0367?6234.2015.10.018

2014－01－02.

國(guó)家自然科學(xué)基金（51379048）.

高 春，（1975—），女，副教授，博士研究生；齊 輝，（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

潘向南，panxiangnan＠hrbeu.edu.cn.