帶混合整數(shù)約束特殊三次規(guī)劃問(wèn)題的全局最優(yōu)性充分條件

陳 露

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

全局最優(yōu)化領(lǐng)域的基本理論研究之一是怎樣刻畫(huà)一個(gè)全局優(yōu)化問(wèn)題的解，全局最優(yōu)充分性條件是用來(lái)說(shuō)明一個(gè)解是全局最優(yōu)解的一個(gè)重要理論依據(jù).三次規(guī)劃問(wèn)題在金融、農(nóng)業(yè)、證券投資組合等方面都有非常重要的應(yīng)用［1－3］.Wu Z Y等［4］得到了帶有混合變量的三次多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題的一些局部最優(yōu)性條件和全局最優(yōu)性條件，并給出了求解三次多項(xiàng)式優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)全局優(yōu)化方法.Zhang X M等［5］研究了帶箱子或二元約束的一類(lèi)特殊三次極小化問(wèn)題的全局最優(yōu)性充分條件.本文利用L－次微分和L－正則錐，給出了帶有混合整數(shù)約束的特殊三次規(guī)劃問(wèn)題的全局最優(yōu)性充分性條件，而且得到了此類(lèi)三次規(guī)劃問(wèn)題在一些特殊情況下的結(jié)果與文獻(xiàn)［5－6］中的相應(yīng)結(jié)論是一致的.同時(shí)用例子說(shuō)明給出的最優(yōu)性條件是很容易驗(yàn)證的.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出本文中所要用到的一些基本的定義與記號(hào)：R表示實(shí)線(xiàn)性空間，Rn表示n維歐氏空間.對(duì)于向量x，y∈Rn，x≥y?xi≥yi，i＝1，2，…，n，記號(hào)A≥B?B是半正定矩陣.用diag（q1，…，qn）表示對(duì)角元素為q1，…，qn的對(duì)角矩陣，設(shè)L為定義在Rn上的一些實(shí)值函數(shù)的集合.

定義1［6］（L－次微分）設(shè)f：Rn→R且x0∈Rn，l∈L，若f（x）≥f（x0）＋l（x）－l（x0），?x∈Rn，則稱(chēng)l為f在x0處的L－次梯度.f在x0的所有L－次梯度的集合?Lf（x0）稱(chēng)為f在x0的L－次微分.

注：若L是所有線(xiàn)性函數(shù)所成的集合，f是一個(gè)下半連續(xù)的凸函數(shù)，則?Lf（x）＝?f（x），這里?f（x）指一般凸分析意義上的凸函數(shù)的次梯度.

定義2［6］（L－正則錐）對(duì)一給定的集合D?Rn和x0∈D，D在x0的L－正則錐是指：

注：若L是所有線(xiàn)性函數(shù)所成的集合，則NL，D（x0）＝ND（x0），這里ND（x0）一般指凸分析意義上的集合的正則錐.

2 主要結(jié)果

本文考慮如下特殊的三次規(guī)劃問(wèn)題：

其中b＝ （b1，...，bn）T∈Rn，a＝ （a1，...，an）T∈Rn，A ∈Sn，Sn是所有n×n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的集合，m是一個(gè)正整數(shù)，

引理1［6］令L是Rn上一些實(shí)值函數(shù)做成的集合，使對(duì)任意的l∈L有－l∈L.設(shè)∈U，若是問(wèn)題（CP）的全局極小點(diǎn).

本文令L為一些特殊的三次函數(shù)做成的集合，

文獻(xiàn)［5］已經(jīng)刻畫(huà)了這類(lèi)特殊三次函數(shù)的L－次微分，有如下命題：

命題1［5］則

其中

對(duì)Q：＝diag（q1，...，qn），qi∈R，i＝1，...，n，令

事實(shí)上，若1）和2）成立，明顯有式 （4）成立.相反，若式 （4）成立，且 ?i0∈I，yi0∈［0，m］或 ?i0∈J，yi0∈ ｛0，1，...，m｝使得1，...，n，i≠i0，則x＝ （x1，...，xn）T∈U ，則有

這與式（4）矛盾.因此，式（4）成立當(dāng)且僅當(dāng)1）和2）成立.

注：條件［SC2］與文獻(xiàn)［5］定理1給出的充分條件是一致的.

注：條件［SC4］恰與文獻(xiàn)［6］定理1給出的充分條件是一致的.

例1 考慮如下三次問(wèn)題（EX1）：

［1］Henin C，Doutriau J.A specialization of the convex simplex method to cubic programming［J］.Decis.Econ.Finance，1980，3（2）：61－72.

［2］Hanoch G，Levy H.Efficient portfolio with quadratic and cubic utility［J］.Journal of Business，1970，43（2）：181－189.

［3］Levy H，Sarnat M.Investment and Portfolio Analysis［J］.Journal of Finance，1972，27（5）：1198－1199.

［4］Wu Z Y，Quan J，Li G Q，et al.Necessary optimality conditions and new optimization methods for cubic polynomial optimization problems with mixed variables［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2012，153：408－435.

［5］Zhang X M，Wang Y J，Ma W M.Global sufficient optimality conditions for a special cubic minimization problem［J］.Mathematical Problems in Engineering，2012，Article ID 871741，1－16.

［6］Li G Q，Wu Z Y.Global optimality conditions for mixed integer quardratic programming problems［J］.Mathematica applicata，2011，24（4）：845–850.

［7］Wang Y J，Liang Z A.Global optimality conditions for cubic minimization problem with box or binary constrains［J］.J Glob Optim，2010，47：583–595.

［8］Quan J，Wu Z Y，Li G Q.Global optimality conditions for some classes of polynomial integer programming problems［J］.Journal of Industrial and Management Application，2011，7（1）：67–78，

［9］祈云峰，吳至友.混合整數(shù)二次規(guī)劃的全局充分性最優(yōu)條件［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27（5）：1－4.

［10］李國(guó)權(quán)，吳至友.帶有二次約束的一些非凸二次規(guī)劃問(wèn)題的全局最優(yōu)性條件［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25（3）：1－4.