集值優(yōu)化問題Proximal真有效解集的連通性

李小燕，岳瑞雪

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

在向量?jī)?yōu)化問題中，首要的問題是如何定義解.1951年，Koopmans［1］在生產(chǎn)與分配的活動(dòng)分析中首次引進(jìn)了Pareto有效點(diǎn)的概念.然而，一些有效點(diǎn)并不具備標(biāo)量化特征，為了避免這種情形，各種真有效點(diǎn)的概念被引入.如，Kuhn－Tucher［2］首次引進(jìn)的 Kuhn－Tucher真有效點(diǎn)、Geoffrion［3］真有效點(diǎn)、Browein［4］真有效點(diǎn)、Benson［5］真有效點(diǎn)以及Borwein和Zhuang［6－7］在賦范空間中定義的超有效點(diǎn)（解）的概念等.

2005年，Lalitha和Ruchi Arora［8］利用Proximal法錐就向量?jī)?yōu)化問題又提出了一種新的真有效點(diǎn)的概念，稱之為Proximal真有效點(diǎn).而對(duì)真有效點(diǎn)集和真有效解集的連通性研究也是向量?jī)?yōu)化理論中十分重要的課題.許多學(xué)者對(duì)真有效解集的連通性進(jìn)行了研究，并取得了大量的研究成果［9－12］.本文首先研究了集合的Proximal真有效點(diǎn)的連通性，其后討論了集值優(yōu)化問題Proximal真有效解集的連通性.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)C?RP，若對(duì)任意的c∈C，λ≥0，λ∈R，有λc∈C，則稱C為錐.若C∩－（）C?｛｝0，則稱C為點(diǎn)集，C的嚴(yán)格正極錐定義為

C的正極錐定義為

本文總假設(shè)A為Rp中的閉集，C為Rp中的閉凸點(diǎn)錐.∈A稱為A關(guān)于C的有效點(diǎn)，如果關(guān)于 的有效點(diǎn)之集記為 ，C Eff ［AC］.

定義1［13］令x∈RP，∈A為x在A上的投影，即｜｜｜｜＝min｜｜a｜｜.?λ≥0，a∈A向量λ（x －）稱為A在的Proximal法向量.所有法向量之集稱為A在的Proximal法錐，記為NP（A ，），x在A上的投影之集記為projA（x）.假設(shè)a∈A，且對(duì)?x?A都有a?projA（x），則令NPA，（）a＝｛｝0.

定義2［8］稱點(diǎn)∈A為集合A的Proximal真有效點(diǎn)，如果

A的Proximal真有效點(diǎn)之集記為Pr［A，C］.

引理1 設(shè)φ∈C＊0，記SφA ＝ ｛∈A｜φ·＝inf｛φ·a｜a∈A ｝｝，D ［A，C］＝∪φ∈C＊0SφA，若A＋int C凸，則Pr［A，C］＝D［A，C］.

設(shè)S?Rp且S非空，Y＝Rp.考慮如下集值優(yōu)化問題：

其中，F(xiàn)：S→2Y為集值映射.記（）F S＝∪x∈S（）F x.

定義3［8］∈S稱為（）VP的Proximal真有效解，如果

（VP）的所有Proximal真有效解之集記為PE［F，C］.

設(shè)φ∈C＊0，記

定義4［14］設(shè)S是非空凸集，C是Y中的閉凸錐，F(xiàn)：S→2Y為集值映射，稱F在S上是C－凸的，若對(duì)任意的x1，x2∈S，λ∈ （0，1）有

2 主要結(jié)果

定理1 若F在C上是C－次類凸的，即F （S）＋int C是凸集，則

Pr［F （S），C］＝D［F （S），C］，所 以F （）∩ D ［F （S），C］≠ ? ，則存在即存在使得，那么所以

引理2［15］設(shè)S是連通集，F(xiàn)：S→2Y為上半連續(xù)集值映射，且對(duì)任意的x∈S，（）F x是Y中的連通集，則∪x∈S（）F x是Y中的連通集.

定理2 若A為緊凸集，則Pr［A，C］為連通集.

證 由引理1有Pr［A，C］＝D［A，C］.首先證明SφA 為凸集.事實(shí)上，任取a1，a2∈SφA，λ∈ （0，1），有φ·a1＝ φ·a2＝inf｛φ·a｜a∈A ｝，由 A 為凸集，有λa1＋ （1－λ）a2∈A.所以φ［λa1＋ （1 －λa2）］＝λφ·a1＋ （1－αλ）φ·a2＝inf｛φ·a｜a∈A ｝，所以λa1＋ （1 －λa2）∈SφA .因此SφA為凸集.再證H：C＊0→2A，其中H（φ） ＝SφA，在C＊0上上半連續(xù).假設(shè)H在某處不上半連續(xù).則存在開集O?H（），｛φn｝?C＊0，φn→，使得H（φn）?O，即存在an∈H（φn），使得

由an∈H（φn），有

因?yàn)锳為緊集，不失一般性，設(shè)an→∈A，則φn·an→·.由 （1）有·≤·a，?a∈A.所以∈H（）?O，因此∈O.又由O為開集及an→有，當(dāng)n充分大時(shí)有an∈O，這與an?O矛盾.因此H在C＊0上上半連續(xù).最后，易證C＊0為凸集.因此，由引理2有Pr［A，C］為連通集.

注1 若定理中的條件不成立，則結(jié)論不一定成立，見如下例子.

定理3 設(shè)S是非空緊凸集，C?Y為閉凸錐，F(xiàn)：S→2Y在S上是上半連續(xù)的，且對(duì)任意的x∈S，F(xiàn) （x） 是緊集.若F在S上是C－凸的，則PE［F，C］為連通集.

證 由定理1有PE［F，C］＝∪φ∈C＊0B ［F ，φ］ .先證B ［F ，φ］ 為非空凸集.事實(shí)上，因?yàn)镾非空緊，F(xiàn)在S上上半連續(xù)，且對(duì)任意的x∈S，F(xiàn) （x）是緊集，所以F （S）是緊集，因而B ［F ，φ］ 非空.下證B ［F ，φ］ 是凸集.任取x1，x2∈B ［F ，φ］ ，λ∈ （0，1），則存在y1∈F （x1），y2∈F （x2），使得φ·F （S）＝φ·y1＝φ·y2.因?yàn)镕在S上是C－凸的，則存在使得λy1＋ （1－λ）y2從而有因此所以minφ·，因此，λx1＋（1－λ）x2∈B ［F ，φ］ ，所以B ［F ，φ］ 是凸集.令H：C＊0→2S，其中H（φ） ＝B ［F ，φ］.

下證H在C＊0上上半連續(xù).假設(shè)H在某處不上半連續(xù).則存在開集使得H（φn）?O，即存在sn∈H（φn），使得sn?O，?n.

由sn∈H（φn），有minφn·F （S）∈φn·F （sn）.即存在yn∈F （sn），使得yn＝minφn·F （S）.因S為緊集， F在S上上半連續(xù)，且對(duì)任意的x∈S，F(xiàn) （x）是緊集，因此，F(xiàn) （S）是緊集，不失一般性，設(shè)則從而因F在S上上半連續(xù)，則，從而即，這與 矛盾sn?O.

因此H在C＊0上上半連續(xù).最后，易證C＊0為凸集.則由引理2有PE［F，C］為連通集.

［1］T C Koopmans.Analysis of production as an efficient combination of activities［C］.In：T.C.Koopmans，Activity Analysis of Production and Allocation.Cowles Commission Monograph.New York：John Wiley and Sons，1951，13：33－97.

［2］H W Kuhn，A W Tucker.Nonlinear programming［C］.In：proceeding of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability（University of California Press，Berkeley，CA），1951：481－492.

［3］A M Geoffrion.Proper Efficiency and the theory of vector maximization［J］.J.Math.Anal.Appl.，1968，22：616－630.

［4］J M Borwein.Proper Efficient Points for maximizations with respect to cones［J］.SIAM J.Control and Optim，1997，15：57－63.

［5］H P Benson.An improved version of proper efficiency for vector minimization with respect to cones［J］.J.Math.Anal.Appl.，1979，71：232－241.

［6］J M Borwein，D M Zhuang.Super efficiency in convex vector optimization［J］.ZOR－Methods Models Oper.Res.，1991，35：175－184.

［7］J M.Borwein，D M Zhuang.Super efficiency in vector optimization［J］.Amer.Math.Soc.，1993，338：105－122.

［8］C S Lalitha，Arora Ruchi.Proximal proper efficiency for minimisation with respect to normal cones［J］.Bull.Austral.Math.Soc.，2005，71：215－224.

［9］X H Gong.Connectedness of super efficient solution sets for set－value maps in Banach spaces［J］.Mathematical Methods of Operations Research，1996，44：135－145.

［10］W D Rong，Y N Wu.Characterizations of super efficiency in cone－convexlike vector optimization with set－valued maps［J］.Mathematical Methods of Operations Research，1998，35：247－258.

［11］X Y Zheng.Proper efficiency in locally convex topological vector spaces［J］.J.Optim.Theory and Appl，1997，94：469－486.

［12］凌晨.賦范線性空間中錐擬凸向量?jī)?yōu)化問題超有效解集的連通性［J］.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2002，22（1）：103－106.

［13］F H Clarke，Y S Ledyaev，R J Stern，et al.Nonsmooth analysis and control theory［M］.New York：Springer Verlag，1998.

［14］Z F Li.Benson Proper Efficiency in the Vector Optimization of Set－valued maps［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1998，98（3）：623－649.

［15］胡毓達(dá)，胡一凡.錐擬凸與拓?fù)湎蛄靠臻g多目標(biāo)最優(yōu)化有效解集和弱有效解集的連通性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1989，12（1）：115－123.