基于主成分的改進(jìn)馬氏距離TOPSIS方法

張 峰，謝振華，程江濤，崔高侖，李 林

（海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū)，山東 青島 266041）

基于主成分的改進(jìn)馬氏距離TOPSIS方法

張 峰，謝振華，程江濤，崔高侖，李 林

（海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū)，山東 青島 266041）

針對指標(biāo)變量線性相關(guān)，導(dǎo)致變量協(xié)方差矩陣行列式（廣義樣本方差）為零無法應(yīng)用馬氏距離的情況，采用主成分分析法對指標(biāo)變量進(jìn)行線性組合，在不減少信息量的同時(shí)，得到少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的主成分，由主成分構(gòu)成的協(xié)方差矩陣行列式不再為零。依據(jù)降維后的主成分變量，采用基于馬氏距離的逼近理想解法對五種預(yù)警機(jī)探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了排序，經(jīng)檢驗(yàn)其結(jié)果與實(shí)際情況相符。

逼近理想解法（TOPSIS），主成分，馬氏距離，廣義樣本方差

0 引言

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）法［1-3］是多屬性決策法的一種，它計(jì)算簡便、評估結(jié)果合理、易于被人們理解，因此應(yīng)用廣泛。但TOPSIS法存在不足之處［4］:與理想解歐式距離近的方案可能與負(fù)理想解的歐式距離也近，因此，按歐式距離計(jì)算方案的相對貼進(jìn)度并不能反映出方案的優(yōu)劣性。文獻(xiàn)［5］采用基于垂面距離的正交投影法對TOPSIS法進(jìn)行了改進(jìn)，消除了上述的不足，但在以理想解點(diǎn)與負(fù)理想解點(diǎn)連線為法向量的平面上的方案點(diǎn)與理想解點(diǎn)和負(fù)理想解點(diǎn)的歐氏距離都相同，故無法對這些方案點(diǎn)進(jìn)行排序。此外，由于方案的指標(biāo)之間難免會(huì)有重復(fù)的信息，此法無法消除指標(biāo)間的重復(fù)信息，因此，基于垂面距離的正交投影法存在很大缺陷。為了消除以上不足，文獻(xiàn)［6］從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)，引入基于統(tǒng)計(jì)原理的馬氏距離來度量方案點(diǎn)之間的距離，且消除了指標(biāo)間的重復(fù)信息，科學(xué)、合理地對方案進(jìn)行了排序。但是，該方法受制于指標(biāo)變量協(xié)方差矩陣為可逆矩陣的限制，如果指標(biāo)向量組線性相關(guān)則無法計(jì)算方案點(diǎn)與理想解點(diǎn)的馬氏距離。因此，本文應(yīng)用主成分分析法（principle component analysis，PCA）［7］對指標(biāo)變量進(jìn)行信息無損失壓縮，即對指標(biāo)變量進(jìn)行線性組合，得到少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的主成分，因主成分的協(xié)方差矩陣為可逆矩陣，從而可以計(jì)算方案點(diǎn)與理想解點(diǎn)和負(fù)理想解點(diǎn)的馬氏距離，依據(jù)各方案與理想方案的貼進(jìn)度對五種預(yù)警機(jī)的探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了合理排序。

1 TOPSIS的研究現(xiàn)狀

1.1 傳統(tǒng)TOPSIS法介紹

1.1.1 TOPSIS法概述

TOPSIS法是由Hwang等［8］于1981年首次提出的一種適用于根據(jù)多屬性指標(biāo)對多個(gè)評價(jià)對象進(jìn)行比較選擇的分析方法。它采用加權(quán)歐氏距離作為一種測度，來度量各備選方案與理想方案和負(fù)理想方案的距離，并依據(jù)各備選方案與理想方案的相對貼進(jìn)度進(jìn)行排序。

1.1.2 TOPSIS法基本原理

TOPSIS法的應(yīng)用步驟如下［9］：

Step 1:構(gòu)建樣本數(shù)據(jù)的評價(jià)矩陣

該矩陣中，m表示評價(jià)方案的數(shù)量，n表示屬性指標(biāo)數(shù)量，xij表示第i（i=1，2，…，m）個(gè)評價(jià)方案的第j（j=1，2，…，n）個(gè)屬性指標(biāo)所對應(yīng)的原始指標(biāo)值。

Step 2:對矩陣A進(jìn)行歸一化處理，同時(shí)消除不同屬性指標(biāo)之間的量綱與數(shù)量級(jí)影響，從而解決屬性指標(biāo)不可公度問題，即：

其中rij表示第i個(gè)評價(jià)對象在第j個(gè)屬性指標(biāo)下所對應(yīng)的經(jīng)過歸一化處理后的指標(biāo)值。

Step 3:將權(quán)重矩陣W=（W1，W2，…，Wn）右乘評價(jià)矩陣得到價(jià)值矩陣：

Step 4:確定理想解S+與負(fù)理想解S-，即

其中，J+為效益型指標(biāo)，J-為成本型指標(biāo)。

Step 5:分別計(jì)算第i個(gè)評價(jià)方案到理想解S+的距離以及到負(fù)理想解S-的距離Di-，即：

Step 6:計(jì)算各評價(jià)方案相對貼近度

1.1.3 傳統(tǒng)TOPSIS法的缺點(diǎn)分析

傳統(tǒng)TOPSIS計(jì)算簡單，易于理解，但存在許多缺陷：①與理想解歐式距離近的方案可能與負(fù)理想解的歐式距離也近，無法對方案進(jìn)行排序；②變化程度不同的坐標(biāo)在歐氏距離計(jì)算時(shí)起著相同的作用，可變性大的指標(biāo)加權(quán)應(yīng)該小于可變性小的指標(biāo)；③不同指標(biāo)向量存在一定程度的相關(guān)性，即：Cov（xi，xj）≠0（i≠j），這意味著指標(biāo)信息重復(fù)，因此應(yīng)用歐氏距離不合理。

1.2 基于正交投影的TOPSIS法的介紹

在對傳統(tǒng)TOPSIS法的改進(jìn)過程中，有許多學(xué)者引入基于垂面距離的正交投影法［5］，正交投影法是以與理想解的“垂面”距離作為判斷方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，它將待評方案點(diǎn)投影到理想解點(diǎn)與負(fù)理想解點(diǎn)連線上，與理想解“垂面”距離近且與負(fù)理想解的“垂面”距離遠(yuǎn)，從而克服了上面述及傳統(tǒng)TOPSIS法的第1個(gè)缺陷，但沒有對第2個(gè)、第3個(gè)缺陷作出改進(jìn)。

1.3 基于馬氏距離的TOPSIS法介紹

1.3.1 馬氏距離概述

馬氏距離［10］是印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家Mahalanobis于1936年提出的一種統(tǒng)計(jì)距離，由于該距離獨(dú)立于測量尺度，不受坐標(biāo)之間的量綱影響，采用標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)表達(dá)式作為指標(biāo)的權(quán)重，使得指標(biāo)變化值大的內(nèi)化權(quán)重賦值小，克服了在測度距離時(shí)各個(gè)變化程度不同的指標(biāo)起相同作用這個(gè)缺點(diǎn)，并排除了變量之間不同程度的相關(guān)性的干擾。

1.3.2 基于馬氏距離的TOPSIS法基本原理［8］

Step 1:構(gòu)建第i個(gè)待評方案、理想解方案和負(fù)理想解方案向量

Step 2:第i個(gè)待評方案與理想解方案和負(fù)理想解方案之間的馬氏距離分別為：

其中，C為n個(gè)屬性變量的協(xié)方差矩陣，且為對稱矩陣，即

式中C-1為協(xié)方差矩陣的逆矩陣，第i個(gè)變量與第j個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)為ρij，σi為第i個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.3.3 現(xiàn)有馬氏距離TOPSIS法的不足

計(jì)算馬氏距離時(shí)，需要計(jì)算C-1，若廣義樣本方差，意味著構(gòu)成協(xié)方差矩陣的n個(gè)列向量線性相關(guān)，無法應(yīng)用馬氏距離。

2 基于主成分的馬氏距離TOPSIS法的改進(jìn)

鑒于上面述及的如果指標(biāo)向量線性相關(guān)，無法計(jì)算C-1的情況，本文引入主成分分析法對矩陣A進(jìn)行降維處理，即用少數(shù)k個(gè)主成分來代替n個(gè)屬性指標(biāo)，且k個(gè)主成分和n個(gè)屬性指標(biāo)所包含的信息相同。具體計(jì)算步驟如下：

Step 1［11］:對初始A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理

其中，

Step 2:計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣

Step 3:求相關(guān)矩陣的特征值—特征向量對（λ1，e1），（λ2，e2），…，（λm，em），其中，λ1≥λ2≥…≥λm≥0。則第i個(gè)主成分為：

Step 4:利用降維后的主成分指標(biāo)矩陣，依據(jù)基于馬氏距離的TOPSIS法進(jìn)行計(jì)算，得出相應(yīng)的貼進(jìn)度。

3 算例分析

3.1 改進(jìn)馬氏距離TOPSIS方法計(jì)算過程

設(shè)五種預(yù)警機(jī)分別為E-2C、E-3A、A-50、Falcon、E-2T，用V=（v1，v2，v3，v4，v5）表示，其探測引導(dǎo)能力指標(biāo)有雷達(dá)最大探測距離、雷達(dá)搜索總方位角、雷達(dá)體制、可同時(shí)跟蹤目標(biāo)數(shù)、可同時(shí)引導(dǎo)作戰(zhàn)飛機(jī)數(shù)，用X=（x1，x2，x3，x4，x5）表示。

鑒于預(yù)警機(jī)保密原因及資料準(zhǔn)確程度的問題，算例中的數(shù)值為估算值。此外，為了本文計(jì)算的需要，特將預(yù)警機(jī)探測引導(dǎo)能力指標(biāo)向量組設(shè)計(jì)為線性相關(guān)，其具體數(shù)值如表1所示。

表1 預(yù)警機(jī)探測引導(dǎo)能力評估指標(biāo)數(shù)值

計(jì)算初始指標(biāo)向量的相關(guān)矩陣R，其特征值－特征向量對如表2所示。

表2 相關(guān)矩陣特征值－特征向量對

利用降維后的主成分指標(biāo)矩陣，依據(jù)基于馬氏距離的TOPSIS法進(jìn)行計(jì)算，得出相應(yīng)的貼進(jìn)度如表4所示。

表3 各預(yù)警機(jī)的相對貼進(jìn)度及排名

3.2 評價(jià)結(jié)果分析

采用傳統(tǒng)的TOPSIS方法的相應(yīng)的貼進(jìn)度及排名如表4所示。

表4 各預(yù)警機(jī)的相對貼進(jìn)度及排名

采用正交投影的TOPSIS方法的相應(yīng)的貼進(jìn)度及排名如表5所示。

表5 各預(yù)警機(jī)的相對貼進(jìn)度及排名

通過對比分析知，采用傳統(tǒng)的TOPSIS方法和正交投影的TOPSIS方法的排序結(jié)果一致，為v2v1v5v4v3，而采用改進(jìn)馬氏距離的TOPSIS方法結(jié)果為v2v5v4v3v1。三種方法均將排在首位，且v5v4v3的排序結(jié)果一致，不同的是前兩種方法對v5和v1的排序?yàn)関1v5，而采用改進(jìn)馬氏距離的TOPSIS方法結(jié)果為v5v1，且v3v1，結(jié)合實(shí)際情況可知，預(yù)警機(jī)E-2T與E-2C相比在雷達(dá)最大探測距離和可同時(shí)引導(dǎo)作戰(zhàn)飛機(jī)數(shù)兩個(gè)指標(biāo)數(shù)值上都具有一定的優(yōu)勢，因此，v5v1更合理。此外，由于五種預(yù)警機(jī)雷達(dá)體制指標(biāo)數(shù)值比較接近，因此，內(nèi)化于馬氏距離之中的權(quán)重小，實(shí)際預(yù)警機(jī)雷達(dá)體制對其探測引導(dǎo)能力影響很大，所以v3v1相對比較準(zhǔn)確。前兩種方法與第三種方法計(jì)算的排序結(jié)果不一致的原因是前兩者都存在指標(biāo)信息重復(fù)、且指標(biāo)相關(guān)等問題，后者消除了這兩個(gè)原因，更科學(xué)合理地對預(yù)警機(jī)的探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了排序。

4 結(jié)論

本文針對廣義樣本方差為零，無法計(jì)算變量協(xié)方差矩陣逆矩陣的情況，采用主成分分析方法對變量進(jìn)行降維處理，進(jìn)而計(jì)算出協(xié)方差矩陣逆矩陣，應(yīng)用馬氏距離度量了各方案與理想方案的貼進(jìn)程度，最后對預(yù)警機(jī)的探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了排序。但是如何在協(xié)方差矩陣為非正定矩陣時(shí)計(jì)算馬氏距離的問題沒有涉及，應(yīng)該在這一方面開展相應(yīng)的研究。

［1］Boran F E，Genc S.A Multi-criteria Intuitionistic Fuzzy Group Decision Making for Supplier Selection with TOPSIS Method［J］.Expert Systems with Applications，2009，36（8）:11363-11368.

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Method to Improved Mahalanobis Distance of TOPSIS Based on Principal Component

ZHANG Feng，XIE Zhen-hua，CHENG Jiang-tao，CUI Gao-lun，LI Lin
（Qingdao Branch，NAAU，Qingdao 266041，China）

Aim at the thing that indexes are linear correlative，which lead to the emergence of the thing that determinants of covariance matrix of variables（generalized sample-variance）is zero.In this condition，mahalanobis distance calculation can’t go along.Principal component analysis is adopted to combine indexes linearly.At the same time，a few irrelevant principal components are attained，and the indexes information isn’t decreased;accordingly，determinants of covariance matrix of principal components isn’t zero.The method to Mahalanobis distance of TOPSIS based on principal component is adopted to calculate performance guidance of five kinds of early-warning aircraft，and list in order of size. The results are verified by the fact.

TOPSIS，principal component，Mahalanobis distance，generalized sample-variance

TPO159；E92

A

1002-0640（2015）03-0092-04

2014-02-18

2014-03-11

張 峰（1979- ），男，山東淄博人，博士研究生，工程師。研究方向：武器裝備綜合保障理論與技術(shù)，多屬性決策評估。