衛(wèi)星運(yùn)行的速度、加速度大小的比較

徐君生+陳潤(rùn)龍

衛(wèi)星運(yùn)行問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，是高考必考知識(shí)點(diǎn)之一，也是力學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。這部分知識(shí)往往和圓周運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)、能量計(jì)算等結(jié)合起來(lái)，能全面考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的掌握情況及綜合處理能力。而在公式繁多、變量之間關(guān)系復(fù)雜的天體運(yùn)行及衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題中，速度和加速度是兩個(gè)起決定作用的物理量，它們對(duì)解決與萬(wàn)有引力相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)問題至關(guān)重要。本文試就對(duì)衛(wèi)星運(yùn)行的速度與加速度大小比較的題型、方法做一小結(jié)，以期能對(duì)物理的教與學(xué)起到參考作用。

1.圓軌道運(yùn)行衛(wèi)星的速度、加速度大小的比較

（1）衛(wèi)星運(yùn)行的三點(diǎn)簡(jiǎn)化與三個(gè)重要關(guān)系式

衛(wèi)星繞地球運(yùn)行時(shí)有三點(diǎn)簡(jiǎn)化：一是近似認(rèn)為衛(wèi)星只受到地球的萬(wàn)有引力，不計(jì)阻力以及其它天體對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力；二是近似認(rèn)為衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡為圓；三是忽略地球的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)，認(rèn)為地球是靜止不動(dòng)的，在三點(diǎn)簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上有三個(gè)重要關(guān)系式：一是在地球表面上，因忽略地球的自轉(zhuǎn)的影響，所以認(rèn)為地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力就等于物體的重宙速度是指發(fā)射人造地球衛(wèi)星的最小速度，以此速度發(fā)射的衛(wèi)星，距地面的高度也是最低的，最低高度約為零，即其繞地球運(yùn)行的半徑約等于地球的半徑，所以第三關(guān)系式根據(jù)

（2）速度與加速度的兩條重要結(jié)論

①衛(wèi)星運(yùn)行速度：從上述第二關(guān)系式不難看出，衛(wèi)星運(yùn)行速度與其繞行半徑有關(guān)，半徑越大，繞行速度越小；半徑越小，繞行速度越大.故衛(wèi)星運(yùn)行速度最快的是繞地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星，其值為7.9 km/s（即第一宇宙速度）；運(yùn)行最慢的是地球同步衛(wèi)星（目前還沒有高度超過(guò)同步衛(wèi)星的人造地球衛(wèi)星），其值大約為3.1 km/s。地球的天然衛(wèi)星——月球的高度高于地球同步衛(wèi)星高度，所以月球繞行速度小于3.1 km/s（即同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度）。

②衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的加速度：衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的加速度有三種說(shuō)法，一是不加區(qū)分就簡(jiǎn)稱為加速度；二是強(qiáng)調(diào)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，稱之為向心加速度；三是從重力角度出發(fā)稱之為重力加速度.這三個(gè)加速度實(shí)際上是一回事，計(jì)算式主要是應(yīng)用牛頓第二定律得到的關(guān)系式，

例1“北斗”衛(wèi)星定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）、中軌道衛(wèi)星和傾斜繞行衛(wèi)星組成。地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上運(yùn)行，它們距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說(shuō)法中正確的是

（

）

A.中軌道衛(wèi)星的加速度大小約為靜止軌道衛(wèi)星的2.5倍

B.靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的2.5倍

C.中軌道上的衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力比靜止軌道上的衛(wèi)星大

D.靜止軌道衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于7.9 km/s

2.同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的速度、加速度大小比較

同步衛(wèi)星與地球赤道上的物體相同的物理量是角速度（包括周期、轉(zhuǎn)速、頻率等），不同的主要是半徑以及受力，由此帶來(lái)兩者的速度與加速度也不一樣.比較速度、加速度的方法是：因兩者角速度相等，根據(jù)v=ωr可知，同步衛(wèi)星的速度大于地球赤道上物體的速度.同樣比較兩者的向心加速度大小也是

例2 將月球、地球同步衛(wèi)星及靜止在赤道上的物體三者進(jìn)行比較，下列說(shuō)法正確的是

（

）

A.三者都只受萬(wàn)有引力的作用，萬(wàn)有引力提供向心力

B.月球繞地運(yùn)行的向心加速度小于地球同步衛(wèi)星的向心加速度

C.地球同步衛(wèi)星與靜止在赤道上物體的角速度相同

D.地球同步衛(wèi)星相對(duì)地心的線速度與靜止在赤道上物體相對(duì)地心的線速度大小相等。

解析 月球、地球同步衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，只受萬(wàn)有引力的作用，萬(wàn)有引力提供向心力.靜止在赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力由萬(wàn)有引力和地面支持力共同提供，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星向心力，列出等式，由于月球繞地運(yùn)行的軌道半徑大于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以月球繞地運(yùn)行的向心加速度小于地球同步衛(wèi)星的向心加速度，故B正確；同步衛(wèi)星的周期與地球白轉(zhuǎn)周期相同，所以地球同步衛(wèi)星與靜止在赤道上物體的角速度相同，故C正確.地球同步衛(wèi)星與靜止在赤道上物體具有相同的角速度，由于同步衛(wèi)星軌道半徑大于赤道上物體的運(yùn)動(dòng)半徑，根據(jù)v=ωr，得地球同步衛(wèi)星相對(duì)地心的線速度大于靜止在赤道上物體相對(duì)地心的線速度，故D錯(cuò)誤。正確答案選擇BC。

3.衛(wèi)星變軌時(shí)的速度、加速度大小比較

例3 北京時(shí)間6月13日13時(shí)18分，“神舟十號(hào)”飛船與“天宮一號(hào)”實(shí)施自動(dòng)交會(huì)對(duì)接.交會(huì)對(duì)接前“神舟十號(hào)”飛船先在較低的圓軌道1上運(yùn)動(dòng)，在適當(dāng)位置經(jīng)變軌與在圓軌道2上運(yùn)動(dòng)的“天宮一號(hào)”對(duì)接.如圖2所示，M、Q兩點(diǎn)在軌道1上，P點(diǎn)在軌道2上，三點(diǎn)連線過(guò)地球球心，把飛船的加速過(guò)程簡(jiǎn)化為只做一次短時(shí)加速，則

（

）

A.“神舟十號(hào)”須在Q點(diǎn)加速，才能在P點(diǎn)與“天宮一號(hào)”相遇

B.“神舟十號(hào)”在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，即可變軌到軌道2

C.“神舟十號(hào)”在M點(diǎn)變軌后的速度大于變軌前的速度

D.“神舟十號(hào)”變軌后運(yùn)行周期總大于變軌前的運(yùn)行周期

解析

“神舟十號(hào)”如果從Q點(diǎn)加速，應(yīng)該在P點(diǎn)沿逆時(shí)針方向到垂直于MP的2軌道正上方之間與“天宮一號(hào)”相遇，故A錯(cuò)；“神舟十號(hào)”在M點(diǎn)經(jīng)一次加速，將從圓軌道變?yōu)闄E圓軌道（也叫過(guò)渡軌道），該橢圓軌道在P點(diǎn)與圓軌道2相切，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)需再次加速，才能從橢圓軌道變?yōu)閳A軌道2，故經(jīng)一次加速不可能變軌到軌道2，B錯(cuò)；從網(wǎng)軌道1變成橢圓軌道，應(yīng)在M點(diǎn)加速，C答案正確；由開普勒第三定律（周期定律）可知，D答案正確。正確答案選擇CD。