考慮通脹和隨機(jī)利率的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)投資問(wèn)題研究

孫惠玲，王傳玉，房冬冬

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖241000)

考慮通脹和隨機(jī)利率的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃最優(yōu)投資問(wèn)題研究

孫惠玲，王傳玉，房冬冬

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖241000)

主要研究了通脹因素和隨機(jī)利率影響下的繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題。首先建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，其中隨機(jī)利率由Vasicek模型刻畫(huà)，通脹服從均值回復(fù)過(guò)程；其次利用隨機(jī)控制原理推導(dǎo)出相應(yīng)的HJB方程，并在冪效用函數(shù)情形下得到優(yōu)化問(wèn)題值函數(shù)顯式解；最后通過(guò)固定某些參數(shù)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，并進(jìn)行相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義解釋。

通脹；隨機(jī)利率；最優(yōu)投資；冪效用；HJB方程

隨著世界人口老齡化數(shù)量的不斷增加，保障老年人生活的養(yǎng)老保險(xiǎn)制度發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題也成為世界矚目的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題。從而如何管理養(yǎng)老金成為一個(gè)非常值得研究的課題。在養(yǎng)老金計(jì)劃的設(shè)計(jì)中，根據(jù)繳費(fèi)和支付方式的不同，可以分為收益確定型(defined benefit，DB)和繳費(fèi)確定型(defined contribution，DC)計(jì)劃。DB型養(yǎng)老計(jì)劃指“按預(yù)先確定的為保障一定的生活水平所需要的替代率確定支付養(yǎng)老金標(biāo)準(zhǔn)”，常常被表述為“以支定收”。DC型養(yǎng)老計(jì)劃指“經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)，確定一個(gè)繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，按此繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)籌集的養(yǎng)老基金完全或部分存入勞動(dòng)者個(gè)人賬戶(hù)，退休時(shí)以個(gè)人賬戶(hù)中的儲(chǔ)存金額(本金加經(jīng)營(yíng)收益)作為養(yǎng)老金”，也稱(chēng)為“以收定支”，繳費(fèi)率是確定的，而養(yǎng)老待遇水平取決于繳費(fèi)規(guī)模、繳費(fèi)時(shí)間的長(zhǎng)短以及基金的長(zhǎng)期收益水平，投資風(fēng)險(xiǎn)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)主要由繳費(fèi)人自己承擔(dān)。由于DC計(jì)劃參與者承擔(dān)了所有的投資風(fēng)險(xiǎn)，因此如何實(shí)現(xiàn)DC計(jì)劃的最優(yōu)投資已成為理論界和實(shí)業(yè)界都非常關(guān)心的重大問(wèn)題。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題進(jìn)行了研究。Vigna和Haberman[1]首次提出了離散型養(yǎng)老金，并使用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法推導(dǎo)了DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資策略。在此基礎(chǔ)上，Haberman和Vigna[2]研究了有n種風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)的模型，考慮了養(yǎng)老金成員在同一時(shí)間里的下行風(fēng)險(xiǎn)。此后，有大量的文獻(xiàn)對(duì)DC型養(yǎng)老金的投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了研究，如Deelstra等[3]，Gerrard等[4]，Devolder等[5]。

由于養(yǎng)老金投資是一項(xiàng)長(zhǎng)期投資，在投資時(shí)間內(nèi)利率是隨機(jī)波動(dòng)的，因此投資必須考慮利率風(fēng)險(xiǎn)。本文采用利率模型中的Vasicek模型，主要考慮到Vasicek模型是利率期限結(jié)構(gòu)模型中較為常見(jiàn)的一個(gè)，并且在Vasicek模型中利率具有馬爾科夫性，也就是說(shuō)利率是無(wú)記憶性的，當(dāng)前的利率水平包含了全部過(guò)去的信息，利率的變化是隨機(jī)游走的。Boulier等[6]在假定利率服從Vasicek模型情況下，利用鞅方法研究了對(duì)收益施加保證的DC型養(yǎng)老金的資產(chǎn)配置問(wèn)題。Cairns等[7]考慮了資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、工資風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)，其中利率假定服從Vasicek模型，并以最終工資作為基準(zhǔn)分別討論了帶有和不帶有無(wú)套利工資風(fēng)險(xiǎn)的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)配置問(wèn)題。張初兵和榮喜民[8]研究了仿射利率模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題，其中仿射利率模型包括CIR模型和Vasicek模型。Zhang和Rong[9]進(jìn)一步研究了仿射利率模型下帶隨機(jī)工資的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)配置問(wèn)題。Guan和Liang[10]在一個(gè)隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)的框架下研究了DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)配置問(wèn)題，其中利率服從一個(gè)仿射利率結(jié)構(gòu)。然而在這么長(zhǎng)的投資內(nèi)，市場(chǎng)中還存在一些背景風(fēng)險(xiǎn)，比如通貨膨脹，因此養(yǎng)老金的配置問(wèn)題還要考慮通脹風(fēng)險(xiǎn)。費(fèi)為銀等[11]研究了通脹服從均值回復(fù)過(guò)程的最優(yōu)消費(fèi)和投資問(wèn)題，但不是針對(duì)養(yǎng)老金的最優(yōu)配置問(wèn)題。Battocchio和Menoncin[12]在養(yǎng)老金配置問(wèn)題中考慮了工資風(fēng)險(xiǎn)和通脹風(fēng)險(xiǎn)，并詳細(xì)分析了利率、工資和通脹對(duì)DC型養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響。安鵬[13]分析了基于隨機(jī)通脹和隨機(jī)實(shí)際利率，分別對(duì)現(xiàn)金、股票和債券三種資產(chǎn)進(jìn)行建模，建立養(yǎng)老金投資到這三種產(chǎn)品的最優(yōu)資產(chǎn)配置模型，并得到該模型的解析解。卞世博和劉海龍[14]基于Legendre轉(zhuǎn)換對(duì)偶解法研究了背景風(fēng)險(xiǎn)下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)配置問(wèn)題，其中背景風(fēng)險(xiǎn)考慮的是通脹風(fēng)險(xiǎn)和工資風(fēng)險(xiǎn)。Han等[15]介紹了通貨膨脹情形下，DC型養(yǎng)老金計(jì)劃下的最優(yōu)管理和最優(yōu)投資組合，為對(duì)沖通脹帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，主要是在資產(chǎn)市場(chǎng)中考慮了通脹指數(shù)化債券的加入。

通過(guò)上述文獻(xiàn)分析，可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)利率和隨機(jī)通脹對(duì)DC型養(yǎng)老金配置有重要的影響。本文在Zhang和Rong[9]的基礎(chǔ)上研究了隨機(jī)利率和通脹對(duì)DC型養(yǎng)老金的配置問(wèn)題，不考慮隨機(jī)工資的情況，通過(guò)折現(xiàn)的方法考慮通脹因素，分析了通脹波動(dòng)率對(duì)養(yǎng)老金投資計(jì)劃的影響，為投資者提供一定的理論依據(jù)。本文主要內(nèi)容安排如下：第1節(jié)給出了相應(yīng)的模型，并利用隨機(jī)控制原理推導(dǎo)HJB方程，進(jìn)而得到相應(yīng)的顯式解；第2節(jié)進(jìn)行數(shù)值分析并給出經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)坏?節(jié)為小結(jié)。

1 模型框架

假設(shè)DC型養(yǎng)老金計(jì)劃投資的金融市場(chǎng)有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(銀行存款)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格B(t)滿(mǎn)足

(1)

這里的r(t)是隨機(jī)利率。它滿(mǎn)足Vasicek模型，

dr(t)=(a-br(t))dt-σrdwr(t)，

(2)

其中a，b，σr是正的常數(shù)，wr(t)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，它構(gòu)建了利率的不確定。

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格S(t)滿(mǎn)足下面的隨機(jī)微分方程

+ησrdwr(t)，

(3)

其中λ，σs，η是確定的且均大于0的常數(shù)，ws構(gòu)建了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的不確定性，注意到這里風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是由兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的，這里假設(shè)ws和wr是相互獨(dú)立的。

由于養(yǎng)老金的投資期較長(zhǎng)，現(xiàn)在投資市場(chǎng)中考慮通貨膨脹的影響，假設(shè)金融市場(chǎng)中的隨機(jī)通脹服從下面的隨機(jī)過(guò)程

dL(t)=kL(ε-L(t))dt+ξdwL(t)，

(4)

這里通脹是服從一個(gè)均值回復(fù)過(guò)程，其中kL是均值回復(fù)參數(shù)且kL≥0，ε是通脹的長(zhǎng)期均值且ε≥0，ξ是通脹波動(dòng)率且ξ>0，wL構(gòu)建了通脹的不確定性。進(jìn)一步假設(shè)，wL和wr是相互獨(dú)立的，wL和ws是相關(guān)的，且滿(mǎn)足dwLdws=ρdt。

假設(shè)繳費(fèi)率c為常數(shù)(c為單位時(shí)間交的養(yǎng)老金計(jì)劃金額)，假設(shè)t時(shí)刻養(yǎng)老金投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為πt，那么投資到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為1-πt，則由(1)和(3)可以得到t時(shí)刻投資者的財(cái)富動(dòng)力學(xué)為：

dX(t)=X(t)r(t)dt+X(t)πtλσsdt+

X(t)πtσsdws(t)+X(t)πtησrdwr(t)+cdt，

(5)

其中e-L(T)X(T)表示對(duì)終端財(cái)富進(jìn)行折現(xiàn)，代表財(cái)富現(xiàn)值，效用函數(shù)u(g)是嚴(yán)格凹函數(shù)，滿(mǎn)足u′(x)>0，u″(x)<0。

本文考慮冪效用函數(shù)，即

因此，我們定義值函數(shù)為

=X，r(t)=r，L(t)=L]，0

(6)

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到值函數(shù)的HJB方程：

(7)

其邊界條件為

(8)

由一階條件可得

(9)

將(9)式代入到(7)中可得

ft+XrfX+cfX+(a-br)fr

=0。

(10)

假設(shè)值函數(shù)形式如下

邊界條件為a(T)=0，g(T,r,L)=1。因此得到相關(guān)的偏導(dǎo)數(shù)

fX=g(X-a(t))p-1，

fXX=g(p-1)(X-a(t))p-2，

fXr=gr(X-a(t))p-1，fXL=gL(X-a(t))p-1。

將上述偏導(dǎo)數(shù)代入(10)式中，化簡(jiǎn)可得

式(11)可分解為兩個(gè)方程

ra(t)-at+c=0，

(12)

(13)

由(12)可解得

(14)

現(xiàn)進(jìn)一步令g形式如下：

g(t,r,L)=A(t)exp(B(t)r+Z(t)L)，

(15)

滿(mǎn)足終端條件A(T)=0，B(T)=0，Z(T)=0。對(duì)

g(t,r,L)求相應(yīng)偏導(dǎo)可得

gt=Atexp(B(t)r+Z(t)L)+A(t)(Btr+ZtL)

·exp(B(t)r+Z(t)L)，

gr=A(t)B(t)exp(B(t)r+Z(t)L)，

grr=A(t)B(t)2exp(B(t)r+Z(t)L)，

gL=A(t)Z(t)exp(B(t)r+Z(t)L)，

gLL=A(t)Z(t)2exp(B(t)r+Z(t)L)。

將g的各偏導(dǎo)代入(13)式中，通過(guò)化簡(jiǎn)后整理可得：

(16)

通過(guò)分離常微分方程的方法，將(15)式中含有r，L和常數(shù)項(xiàng)分別設(shè)為0，就可以得到三個(gè)常微分方程：

Btr-brB(t)+pr=0，

(17)

ZtL-kLZ(t)L=0，

(18)

(19)

通過(guò)解(17)式和(18)式可得

(20)

Z(t)=1-exp(-κL(T-t))。

(21)

通過(guò)上述分析，則在考慮通貨膨脹因素的養(yǎng)老金計(jì)劃投資市場(chǎng)中我們得到下面的命題。

命題1 冪效用函數(shù)下，養(yǎng)老金在通脹環(huán)境下的最優(yōu)投資策略為

(22)

其中，a(t)滿(mǎn)足(14)式，B(t)滿(mǎn)足(20)式，Z(t)滿(mǎn)足(21)式。

由(22)可知，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資受多個(gè)參數(shù)的影響，由財(cái)富，時(shí)間，利率波動(dòng)率，股票波動(dòng)率，通脹波動(dòng)率等共同決定。

2 數(shù)值分析

為了進(jìn)一步說(shuō)明隨機(jī)利率和通脹波動(dòng)率對(duì)養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響，我們利用matlab軟件進(jìn)行模擬分析。下面給定相應(yīng)的參數(shù)：

λ=0.1，σs=0.04,η=1,σr=0.03,C=0.3,kL=0.03,p=0.2,b=0.25,r=0.015,T=40。

首先固定其他參數(shù)，研究最優(yōu)投資隨時(shí)間的變化，給定參數(shù)X=10，ξ=0.08，t=0。

由圖1可知，此時(shí)假設(shè)通脹膨脹與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)(ρ=0.5)，隨著時(shí)間的變化，投資者是逐漸減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資。因?yàn)橥顿Y者要保障退休后的生活水平，會(huì)減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，加大無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，比如銀行存款和固定收益?zhèn)取?/p>

圖1 最優(yōu)投資隨時(shí)間的變化關(guān)系圖(ρ=0.5)

由圖2可知，若通脹膨脹與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)(ρ=-0.5)，隨著時(shí)間的變化，相比于正相關(guān)的情形，投資水平相對(duì)要高，同樣為了保障退休后的生活水平，投資趨勢(shì)是呈下降的。

其次，固定時(shí)間和財(cái)富，研究通脹波動(dòng)率對(duì)最優(yōu)投資的影響，取參數(shù)

λ=0.1,σs=0.04,η=1,σr=0.03,C=0.3,k=0.03,p=0.2,b=0.25,r=0.015,T=40,t=20,X=10。

圖2 最優(yōu)投資隨時(shí)間的變化關(guān)系圖(ρ=-0.5)

由圖3可知，當(dāng)通脹膨脹與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)正相關(guān)(ρ=0.5)，作為保守投資者，他是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，所以隨著通貨膨脹波動(dòng)率的增大，他認(rèn)為市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)較大，投資者會(huì)減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，以減少損失。

圖3 最優(yōu)投資隨通脹波動(dòng)率的變化關(guān)系圖(ρ=0.5)

圖4 最優(yōu)投資隨通脹波動(dòng)率的變化關(guān)系圖(ρ=-0.5)

由圖4可知，若通脹膨脹與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)負(fù)相關(guān)(ρ=-0.5)，隨著通貨膨脹波動(dòng)率的增大，投資者會(huì)增大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，因?yàn)橥顿Y者認(rèn)為通脹波動(dòng)越大，價(jià)格波動(dòng)據(jù)越小，投資者增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資會(huì)獲得較多的收益。

3 小結(jié)

當(dāng)今世界隨著養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的不斷完善，養(yǎng)老金投資成為一個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題。而由于養(yǎng)老金投資期限較長(zhǎng)，在投資期間投資者會(huì)面臨各種市場(chǎng)因素，從而導(dǎo)致投資者要根據(jù)不同的影響因素來(lái)調(diào)整投資策略以獲取更多的收益。本文主要研究了通脹因素和隨機(jī)利率影響下的繳費(fèi)確定型養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題，其中隨機(jī)利率由Vasicek模型刻畫(huà)，通脹服從均值回復(fù)過(guò)程。接著我們利用隨機(jī)控制原理推導(dǎo)出相應(yīng)的HJB方程，并在冪效用函數(shù)情形下得到優(yōu)化問(wèn)題值函數(shù)顯式解，最后通過(guò)固定某些參數(shù)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬，可以得出，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與通脹正相關(guān)時(shí)，隨著通脹波動(dòng)率的增大，投資者會(huì)比較謹(jǐn)慎，減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與通脹負(fù)相關(guān)時(shí)，隨著通脹波動(dòng)率的增大，投資者會(huì)比較激進(jìn)，相信風(fēng)險(xiǎn)越大，收益越高，進(jìn)而會(huì)增大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資，所得結(jié)果可以為投資者提供一些理論視角，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

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[責(zé)任編輯 畢 偉]

Study on Optimal Investment Problem for DC Pension Plan under Stochastic Interest Rate and Inflation

SUN Hui-ling,WANG Chuan-yu,FANG Dong-dong

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

This paper mainly studies the optimal investment problem for DC pension plan by considering the influence of stochastic interest rate and inflation.Firstly,we build the corresponding mathematical model,and the stochastic interest rate is characterized by Vasicek model,the inflation follows a mean-reverting process.Secondly,we deduce the corresponding HJB equation by using the method of stochastic control,then an explicit expression of the valued function of the optimization problem is obtained in the case of power utility function.Finally,through the numerical simulation under the condition of given parameters,the economic analysis of the results is provided.

inflation; stochastic interest rate; optimal investment; power utility; HJB equation

2015-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61503001)；安徽工程大學(xué)金融工程研發(fā)中心開(kāi)放基金立項(xiàng)(JRGCKF201501)

孫惠玲(1980—)，女，陜西咸陽(yáng)人，安徽工程大學(xué)碩士研究生。

O211.6

A

1004-602X(2015)04-0021-06