條件Poisson風險模型破產概率與破產時間期望的界限

張莉莉，李志民

(安徽工程大學數(shù)理學院，安徽蕪湖241000)

條件Poisson風險模型破產概率與破產時間期望的界限

張莉莉，李志民

(安徽工程大學數(shù)理學院，安徽蕪湖241000)

推廣了經典的風險模型。對于索賠次數(shù)，我們用一個條件泊松過程刻畫，通過構造一個下鞅，在破產時盈余為零的假設基礎上給出了索賠到達為條件Poisson過程的風險模型破產概率的下界和破產時刻期望的上界；對于帶紅利情形，我們在紅利線為線性情況下，給出了破產概率的下界。

風險模型；條件泊松；破產概率

經典風險模型中，t時間內索賠平均次數(shù)是λt，而在實際生活中，強度(或速率)λ不一定滿足常數(shù)的條件。意外事故發(fā)生的頻率往往受某種因素的影響，當這種因素是主導因素時，事故發(fā)生的強度可看作一個常數(shù)(即經典模型中的λ)，而當這種影響因素變動于主導因素與次要因素之間，事故發(fā)生的強度即是變化的，可見，將強度λ作為隨機變量來研究是合理的。在實際的保險業(yè)務中，為了鼓勵投保人自我防范風險，減少可避免的公司與投保人的雙重損失，常會設置對投保人的紅利政策——設定一個紅利界限，盈余在紅利界限下，便不發(fā)放紅利，若盈余在紅利界限上，每單位時間發(fā)放固定的紅利，直至下一次索賠發(fā)生。

為了獲得更加貼近實際情況的分析，眾多學者對經典模型的推廣做了大量研究。Li和Garrido[1]把經典風險模型中對罰函數(shù)折現(xiàn)的研究推廣到了Sparre Andersen模型，其中時間間隔分布滿足Erlang(n)分布。文獻[2]中將經典風險模型推廣到了索賠到達為普通更新過程的風險模型，并研究了常數(shù)紅利界限下的破產的相關問題。Albrecher等[3]在Erlang(n)風險模型的基礎上加上了常數(shù)紅利因素，研究了紅利支付的折現(xiàn)分布與其相應的矩。Grandel[4]對于非齊次Poisson風險模型、Cox風險模型、更新風險模型與平穩(wěn)風險模型中破產概率等問題進行了研究。文獻[5]利用鞅技巧獲得了索賠計數(shù)過程為任意計數(shù)過程情形且保費收取為隨機情形時的破產概率的上界。在紅利問題中，一個重要的因素是紅利的折現(xiàn)分布。Dickson和Waters[6]研究了常數(shù)紅利界限下，紅利支付折現(xiàn)分布的n階矩，而Albrecher等[7]將紅利折現(xiàn)分布的n階矩推廣到了線性紅利中。對于非線性紅利模型的研究，見Albrecher等[8]。Lourdes B.Afonso[9]用新的方法——對偶的方法，證明了有關多值紅利的折現(xiàn)期望等量。條件泊松過程的一些基本性質見文獻[10]。

在已有的文獻中，索賠速率的描述用一個線性函數(shù)或者是一個非線性函數(shù)，而在實踐中，由于受到各種因素的影響，速率是變化和不可知的，為此，本文中我們將速率視為一個隨機變量，研究相應的問題。在第一節(jié)中，我們介紹基本的模型和一些概念、記法和主要結論；在第二節(jié)中，我們給出主要結論的證明；最后一節(jié)中，我們討論帶有紅利情形的破產概率的下界。

1 條件泊松風險模型

為了更好地描述我們的模型，首先介紹條件泊松過程。令N(t)是一個計數(shù)過程，存在一個正隨機變量Λ，其期望記為L，在Λ=λ條件下，這個計數(shù)過程是速率為λ的泊松過程，這樣的計數(shù)過程稱為條件泊松過程。

我們設Λ是一個連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)記為g，從而從時刻s到時刻t+s時保險公司的索賠次數(shù)的分布為

P[N(t+s)-N(s)=n]=

假設保險公司的保費的收取是按照速率c，在一定時間的索賠次數(shù)是一個條件泊松過程，保險公司在時刻t的盈余Rt就可以用下面過程來描述

Rt=x+ct-St，

其中，St=x1+x2+…+xN，St為t時刻為止的總索賠額，其中N為條件泊松過程，xi之間獨立同分布且xi與N之間相互獨立。

設MX(-r)為索賠額xi的矩母函數(shù)，類似于文獻[11]，我們可以算出St的矩母函數(shù)為

MSt(-r)=E[e-rSt]=E[E(e-rSt|N)]=

記保險公司初始資產為x時的破產概率為

Ψ(x)，T為保險公司破產的時刻，P(z)為個體索賠額的分布函數(shù)，我們有

Ψ(x)=P(T<∞|X0=x)。

在上面基本假設下，我們有下面兩個主要結果：

定理1 對于條件泊松風險模型，初始資產為x的破產概率Ψ(x)具有下界，即Ψ(x)≥exp(-Rx)，其中R是L(MX(-r)-1)+rc=0的解。

定理2 若條件泊松風險模型中計數(shù)過程具有獨立增量，破產時刻T的期望有

其中R是L(MX(-r)-1)+rc=0的解。

2 定理的證明

定理1 證明：考慮負索賠額模型，Rt=x+St-ct，易證若存在一個隨機變量V(x)，當V(x)為下鞅時，有

(2.1)

設Yt+s=exp[-r(Rt+s+c(t+s))]，

Yt=exp[-r(Rt+ct)]，則有

設Ht是t時刻以前的信息，L是λ的期望，則由條件泊松過程的平穩(wěn)增量性，我們有

E[Yt+s|Ht]=E[exp(-r(St+s-St))]·Yt

從而我們有

記f(λ)=exp[λs(MX(-r)-1)]，我們易知

f(λ)是一個凸函數(shù)，從而有E[f(λ)]≥f[E(λ)]，即我們有

exp[Ls(MX(-r)-1)]。

從而我們有

令R是L(MX(-r)-1)+rc=0的解，我們有

Ψ(x)≥exp(-Rx)。

定理2 證明：考慮負索賠額模型，Rt=x+St-ct，當條件泊松過程有獨立增量時，設St矩母函數(shù)為Mt(-r)，易證有Mt+s(-r)=Mt(-r)·Ms(-r)。同定理1討論知

令RT=0，有

=exp(-rx)，

等式兩邊關于r求導，

=-xexp(-rx)。

注意到

也就是

令R是L(MX(-r)-1)+rc=0的解，對于上式做個簡單的變形，我們有

3 正索賠模型帶紅利的破產概率的下界

下面我們討論正索賠模型，即Rt=x+ct-St，考慮了紅利的發(fā)放，設紅利界限為y=b+qt，其中b為初值(x≤b)，q為遞增速率(0

當v(y,t)為下鞅時，滿足

等價于：

考慮下述函數(shù)：

v(y,t)是一個下鞅，參見文獻[11]。

-qr-L·Mx(r)+cr=qs-LMX(-s)-cs，排除s=-r的解。

令R是L(MX(r)-1)-rc=0的正解，S為R=r時的s之正值。

因為v(x,0)≤E[v(RT,T)|T<∞]·Ψ(x,b)，我們有

Ψ(x,b)≥

[1]LiS,GarridoJ.OnruinfortheErlang(n)riskprocess[J].Insur.Math.Econ.,2004,34:391-408.

[2]LiS,GarridoJ.Onaclassofrenewalriskmodelswithaconstantdividendbarrier[J].Insur.Math.Econ.,2004.35:691-701.

[3]AlbrecherH,HartingerJ,TichyRF.Onthedistributionofdividendpaymentsandthediscountedpenaltyfunctioninariskmodelwithlineardividendbarrier[J].Scand.ActuarialJ.,2005,2:103-126.

[4]GrandellJ.Aspectsofrisktheory[M].NewYork:Spring,1991.

[5]DeVylderF.Martingalesandruininadynamicalriskprocess[J].ScandinavianActuarialJournal,1977,2:217-225.

[6]DicksonDCM,WatersHR.Someoptimaldividendproblems[J].ASTINBull,2004,34 (1),49-74.

[7]AlbrecherH,HartingerJ,TichyRF.Onthedistributionofdividendpaymentsandthediscountedpenaltyfunctioninariskmodelwithlineardividendbarrier[J].Scand.ActuarialJ,2005,2:103-126.

[8]AlbrecherH,KainhoferR.Risktheorywithanon-lineardividendbarrier[J].Computing,2005,68 (4):289-311.

[9]Lourdes B Afonso,Rui M R Cardoso,Alfredo D.Egídio dos Reis.Dividend problems in the dual risk model [J].Insurance:Mathematics and Economics,2013,53: 906-918.

[10]Ross S M.Stochastic Processes,2nd edition[M].New York: John Wiley & Sons,1996.

[11]Gerber H U.數(shù)學風險論導引[M].成世學,嚴穎,譯.北京：世界圖書出版公司，1997.

[責任編輯 畢 偉]

Boundary of Ruin Probability and Expectation of the Ruin Time in Conditional Poisson Risk Model

ZHANG Li-li,LI Zhi-min

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

We generalized the classical risk model and used a conditional poisson process to describe the claim arrival,by constructing a submartingale,based on the assumption that the surplus is zero when ruin,we gave a lower bound of ruin probability and the upper bound of the expectation of ruin time on the conditional poisson risk model,in the case of the dividend,we gave the lower bound of the ruin probability when the dividend line was a linear case.

risk model; conditional poisson; ruin probability

2015-07-10

安徽省自然科學基金(1508085MA02，1408085QA09)；安徽省高校自然科學基金重點項目(KJ2013A044)

張莉莉(1988—)，女，山西晉城人，安徽工程大學碩士研究生。

O211.9

A

1004-602X(2015)04-0018-03