重尾索賠下保費(fèi)收入隨機(jī)化風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

喬克林，劉瓊瓊，張 娟

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

重尾索賠下保費(fèi)收入隨機(jī)化風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

喬克林，劉瓊瓊，張 娟

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

本文首先在文獻(xiàn)[4-7]的基礎(chǔ)上，建立同時考慮利率、保費(fèi)收取隨機(jī)化且索賠屬于S族的風(fēng)險(xiǎn)模型，在模型中假定索賠計(jì)數(shù)過程為Poisson過程和保費(fèi)到達(dá)過程為一般更新過程，借助概率論知識、隨機(jī)過程及文獻(xiàn)[6，7]中的方法，得出了該模型在t時刻盈余為負(fù)的概率漸近等價式。

1 模型的建立

(1)設(shè)Xi為第i張保單的保費(fèi)額，{Xi,i≥1}是一列獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，其具有共同的分布函數(shù)F1和有限的數(shù)學(xué)期望μ1>0；

E[N1(t)]是更新函數(shù)；

(3)Yj為第j次的索賠額，{Yj,j≥1}是一列獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，其具有共同的分布函數(shù)F2和有限的數(shù)學(xué)期望μ2>0；

mN2(t)=E[N2(t)]=λt；

(5){Xi,i≥1}，{Yj,j≥1}，{N1(t),t≥0}與

{N2(t),t≥0}相互獨(dú)立。

建立常利率更新風(fēng)險(xiǎn)模型為：

(1.1)

現(xiàn)建立模型(1.1)的貼現(xiàn)過程：

(1.2)

其中δ≥0為常利率。

對于上述風(fēng)險(xiǎn)模型(1.2)，我們定義在任意給定t>0時刻盈余為負(fù)的概率為

2 重尾分布與重要引理

本文研究索賠分布為重尾的情形，下面給出幾個與本文有關(guān)的重尾子族(詳情可參見[3，8，9])，其中分布F以[0,∞)為支撐集。

介紹了一些重要的子族后，現(xiàn)給出相關(guān)的重要引理。

(U(1)，U(2)，…U(n))。

引理3[6]設(shè)X和Y是獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量，如果X的分布F∈S，而Y有界且非退化到0，那么乘積XY的分布H∈S。

引理4[6]設(shè)分布W∈S，則對任意ε>0，存在一個C=C(ε)>0，使得

對所有n∈N和一切x≥0都成立。

引理5[9]設(shè)ζj，j=1，2，…為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，具有分布Kj∈L，則對任意的n≥1，有

由引理5可得下面結(jié)果：

其中N(t)是從0時刻開始計(jì)數(shù)的計(jì)數(shù)過程。

證明 由引理5及全概率公式可得

即證。

注：當(dāng)m=0時，可得到如下結(jié)果(參見[8]中的lemmaA3.15)：

注：(1)令m=0時，可得下面已知結(jié)果：

3 主要結(jié)果

下面給出本文的主要結(jié)果：

定理3.1 在模型(1.2)中，索賠量{Yj,j≥1}為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)F2∈S，則在t時刻盈余為負(fù)的概率可漸近表示為：

(3.1)

證明：風(fēng)險(xiǎn)模型(1.2)：

P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)。

由假定條件及引理3可知，Yje-δUj是獨(dú)立同分布的，記其分布為F且F∈S。

根據(jù)引理4，對任一固定ε>0，存在常數(shù)C=C(ε)>0，有下面不等式成立。

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)

P(N2(t)=r)

(3.2)

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

=r)dF1(x1)…dF1(xn)dFL1…Ln(t1,…,tn)

P(N1(t)=n)

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)

E(e-τ)]retP(N2(t)=r)dF1(x1)…dFn(xn)

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N1(t)=n)，

其中τ表示分布為G的代表性的隨機(jī)變量。

則存在ε>0，使得(1+ε)E[e-τ]<1。于是，存在常數(shù)η0>0，一致地有

所以

dFL1…Ln(t1,…,tn)P(N2(t)=n)≤Cη0<∞。

dF1(x1)…dF1(xn)dFL1…Ln(t1,…,tn)

P(N1(t)=n)P(N2(t)=r)

dF1(x1)…dF1(xn)dFL1…Ln(t1,…,tn)

P(N1(t)=n)=mN2(t)=λt。

所以

Ψ(x,t)～λtP(Yje-δUj>x)=

即證(3.1)式成立。

在模型(1.1)中，當(dāng)常利率δ=0時，模型(1.1)變形為

(3.3)

將風(fēng)險(xiǎn)過程定義為

(3.4)

由于破產(chǎn)僅發(fā)生在索賠到達(dá)的時刻，顯然有

現(xiàn)進(jìn)一步假定相對安全負(fù)荷條件滿足

所以

φ(x,t)=P(U(s)<0,?0≤s≤t|U(0)=x)

在風(fēng)險(xiǎn)模型(3.4)中，當(dāng)F2∈L*(m)時，得到下面結(jié)論。

其中G(t)=1-e-λt。

dG(s)。

P(N1(s)=r)dG(s)

P(N1(s)=m)dG(s)

=G(t)∈(0,∞)，(對給定的t>0)。

故有

(3.5)

(3.6)

由于破產(chǎn)僅發(fā)生在索賠到達(dá)的時刻，且K?L，故由引理6及全概率公式，可知對x≥0有

φ(x,t)=P(U(s)<0,?0≤s≤t|U(0)=x)

再根據(jù)(3.6)式及定理1知對任意的ε>0，有

故根據(jù)定理1和控制收斂定理得

結(jié)合(3.5)式，有

在定理3.2中令m=0，得如下結(jié)論。

推論3.1 在上述更新風(fēng)險(xiǎn)模型(3.4)中，設(shè)F2∈S，且mN2(t)=λt<∞，則在有限時間(0,t]內(nèi)的破產(chǎn)概率可漸近表示為

證明：利用類似于定理3.2的方法即可證。

4 結(jié)束語

[1]包振華，葉中行.重尾索賠下雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的赤字尾分布[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(1)：10-14.

[2]馬樹建，王曉謙.重尾分布情況下一類破產(chǎn)概率的研究[J].南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29(1)：97-99.

[3]黃寶安，尹傳村.一類重尾分布下的隨機(jī)游動的漸近結(jié)果及其在風(fēng)險(xiǎn)理論中的應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32(1)：28-36.

[4]何莉娜，劉再明.保費(fèi)收取為隨機(jī)過程且?guī)С＠实钠飘a(chǎn)模型[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，27(2)：9-11.

[5]陳珊，莫曉云.帶常利率的雙Poisson模型的破產(chǎn)概率[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23(4)：331—341.

[6]肖鴻民，李紅.重尾賠付下帶常數(shù)利息力的延遲索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，47(6)：17-19.

[7]吳永，邵明陽.重尾索賠下常利力更新風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2010，24(10)：97-100.

[8]EmbrechtsP,KlüppelbergC,MikoschT.ModellingExtremalEventsforInsuranceandFinance[M].Berlin：Springe-Vrerlag,1997.

[9]NgKW,TangQ,YangH.MaximaofSumsofHeavy-tailedRandomVariables[J].AstinBulletin,2002,32(1):43-55.

[10]劉莉，茆詩松.常利率下風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)問題的研究[D].上海：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2004.

[責(zé)任編輯 畢 偉]

Ruin Probability of Risk Model with Stochastic Premium under Heavy-tailed Claims

QIAO Ke-lin,LIU Qiong-qiong,ZHANG JUAN

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

2015-09-28

陜西省教育廳自然科學(xué)基金(2013JK0576)；陜西省高水平大學(xué)建設(shè)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2012SXTS07)；延安市科研計(jì)劃項(xiàng)目(2014ZC-6)

喬克林(1964—)，男，陜西佳縣人，延安大學(xué)副教授。

O211.9

A

1004-602X(2015)04-0013-05