超冗余多軸液壓振動(dòng)臺(tái)的內(nèi)力耦合控制

魏 巍，楊志東，曲志勇，韓俊偉

（1.中國(guó)工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，四川 綿陽(yáng)621900；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，哈爾濱150001）

超冗余多軸液壓振動(dòng)臺(tái)主要用于大型結(jié)構(gòu)件的地震及其他振動(dòng)環(huán)境下的模擬試驗(yàn)［1］。為了獲得更大的出力，這類多軸振動(dòng)臺(tái)的液壓缸數(shù)量往往遠(yuǎn)多于其控制的自由度數(shù)［2－5］。雖然冗余驅(qū)動(dòng)有良好的承載能力，但是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各液壓作動(dòng)器參數(shù)和特性的不一致以及安裝誤差等因素會(huì)使得各個(gè)驅(qū)動(dòng)器之間產(chǎn)生很大的內(nèi)力紛爭(zhēng)，這種內(nèi)力耦合會(huì)降低系統(tǒng)的性能，減小激振系統(tǒng)的凈出力，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)?dǎo)致振動(dòng)臺(tái)根本無(wú)法動(dòng)作［6－8］。而超冗余振動(dòng)臺(tái)由于具有更多的冗余自由度，因此其內(nèi)力耦合的現(xiàn)象會(huì)更為嚴(yán)重。

內(nèi)力耦合控制是指采用特定的控制策略來(lái)消除或減弱內(nèi)力耦合，它是其他控制策略有效的基礎(chǔ)。關(guān)廣豐［9］提出壓力鎮(zhèn)定控制技術(shù)，其控制思想為液壓缸壓力同步控制思想，將液壓缸間壓力差別作為反饋量修正驅(qū)動(dòng)信號(hào)，以達(dá)到減弱內(nèi)力耦合的目標(biāo)。Underwood［10］提出八自由度思想來(lái)解決冗余振動(dòng)臺(tái)的自由度控制問(wèn)題，在原有六自由度動(dòng)作空間基礎(chǔ)上再引入兩個(gè)扭曲自由度，通過(guò)抑制這兩個(gè)自由度的輸出，達(dá)到抑制內(nèi)力耦合的目的。這些方法在一定程度上起到了抑制內(nèi)力耦合的效果，但是只適用于驅(qū)動(dòng)冗余度比較?。ㄈ哂喽葹?）的情況，當(dāng)冗余度較大時(shí)這些內(nèi)力耦合抑制方法的效果將受到限制。傳統(tǒng)的壓力鎮(zhèn)定控制沒(méi)有對(duì)內(nèi)力耦合空間進(jìn)行分析，需要調(diào)整的控制參數(shù)與所需要的激振器數(shù)目相同，不適合驅(qū)動(dòng)冗余度大的振動(dòng)臺(tái)。本文將對(duì)超冗余振動(dòng)臺(tái)的內(nèi)力耦合空間進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上對(duì)內(nèi)力進(jìn)行補(bǔ)償控制。

1 超冗余多軸液壓振動(dòng)臺(tái)模型

本文中研究的超冗余多軸液壓振動(dòng)臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。12個(gè)液壓缸均布在x、y、z 三個(gè)互相垂直的方向。每個(gè)液壓缸通過(guò)兩個(gè)球鉸分別與上平臺(tái)和基礎(chǔ)相連。該超冗余多軸液壓振動(dòng)臺(tái)的冗余度為6，其對(duì)應(yīng)的俯視圖如圖2所示。

圖1 超冗余振動(dòng)臺(tái)簡(jiǎn)圖Fig.1 Hyper－redundant shaking table

圖2 超冗余振動(dòng)臺(tái)的俯視示意圖Fig.2 Top view of hyper－redundant shaking table

1.1 機(jī)械系統(tǒng)模型

如圖1所示，動(dòng)坐標(biāo)系｛p｝與上平臺(tái)固連在一起，并隨著上平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，而靜坐標(biāo)系｛b｝固連在基礎(chǔ)上，始終保持不變。上平臺(tái)處于初始位置時(shí)，｛p｝與｛b｝的原點(diǎn)與上平臺(tái)的質(zhì)心重合。超冗余多軸振動(dòng)臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)的反解是通過(guò)給定上平臺(tái)的位姿計(jì)算出液壓缸的位移量，液壓缸的長(zhǎng)度矢量為：

式中：li為第i個(gè)液壓缸的長(zhǎng)度矢量；T∈R3×3為動(dòng)坐標(biāo)系｛p｝到靜坐標(biāo)系｛b｝之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；Ai∈R3為第i個(gè)上鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系｛p｝下的坐標(biāo)；為上平臺(tái)的平動(dòng)位移；Bi∈R3為第i個(gè)下鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系｛b｝下的坐標(biāo)。

對(duì)式（1）求導(dǎo)，可得上鉸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度vai為：

式中：lni為第i個(gè)液壓缸的單位方向矢量。

多剛體并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可以通過(guò)拉格朗日法、牛頓－歐拉法及虛功原理等不同的方法求解［11］。由于多軸振動(dòng)臺(tái)的上平臺(tái)及負(fù)載質(zhì)量遠(yuǎn)大于各驅(qū)動(dòng)缸的活塞桿質(zhì)量，因此在求解其動(dòng)力學(xué)方程時(shí)可以按照單剛體求解，本文采用凱恩法建立系統(tǒng)的單剛體動(dòng)力學(xué)方程［12－13］：

式中：M（Θ）∈R6×6為上平臺(tái)及負(fù)載的質(zhì)量矩陣；為離心力及科氏力系數(shù)矩陣；G（Θ）為重力項(xiàng)；fq∈R6為自由度空間的力系向量。

多軸振動(dòng)臺(tái)垂直方向的液壓缸都有平衡缸系統(tǒng)，通過(guò)平衡缸的預(yù)先加壓來(lái)抵消上平臺(tái)及負(fù)載重力的影響。另外，多軸振動(dòng)臺(tái)一般僅在零位附近做小幅值的振動(dòng)，轉(zhuǎn)角很小，離心力及科氏力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的影響可以忽略［14］。同時(shí)考慮到自由度空間的力系矢量可以由關(guān)節(jié)空間的力（即液壓缸的出力）轉(zhuǎn)換得到，式（5）可以變?yōu)椋?/p>

式中：fa為12個(gè)液壓缸出力構(gòu)成的力向量。

1.2 液壓系統(tǒng)模型

電液伺服系統(tǒng)由伺服閥和液壓缸組成，如圖3所示［15］。電液伺服閥的閥芯位移與給定電流之間可以用一個(gè)二階傳遞函數(shù)表示［16］：

式中：xv為伺服閥閥芯位移；ωv、ζv 分別為伺服閥的固有頻率和阻尼比；u為輸入電流信號(hào)；kv為閥芯位移與電流信號(hào)之間的比例系數(shù)。

圖3 電液伺服系統(tǒng)Fig.3 Electro－h(huán)ydraulic servo system

按照零開(kāi)口四通滑閥建立伺服閥的流量方程，流入液壓缸左腔的流量q1和右腔的流量q2分別為：

式中：cd為流量系數(shù)；w 為伺服閥節(jié)流窗口的面積梯度；p1、p2分別為液壓缸左腔壓力與右腔壓力；ps、pr分別為供油壓力與回油壓力；ρ為液壓油密度。

圖3中所示的液壓缸為雙作用對(duì)稱液壓缸，其左腔與右腔的流量連續(xù)性方程分別為：

式中：A 為液壓缸有效作用面積；l為液壓缸的伸長(zhǎng)量；βe為液壓彈性模量；ctc為液壓缸的總泄漏系數(shù)；v1和v2分別為左腔與右腔的容積，表示為：

式中：v為液壓缸處于中位時(shí)腔室的容積。

液壓缸的輸出力fa為：

式中：Bc為液壓缸的黏性摩擦因數(shù)。

2 內(nèi)力耦合空間分析

2.1 位移變換分析

對(duì)于冗余的多軸振動(dòng)臺(tái)，系統(tǒng)的給定信號(hào)一般為負(fù)載在自由度空間的位姿信號(hào)Θ，包括平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。除了這部分自由度位移外，冗余自由度上的位移λ 則體現(xiàn)在上平臺(tái)的柔性變形上，這部分的變形是由系統(tǒng)的內(nèi)力造成的。對(duì)于小位移的運(yùn)動(dòng)，由上平臺(tái)的位移（包括剛體自由度位移及變形位移）到液壓缸的位移可以由下面的線性公式表示［6］：

選擇S ∈R6×12為液壓缸位移到上平臺(tái)剛性位移之間的變換矩陣，則對(duì)于任意λ 有［5］：

式（17）對(duì)于任意λ 均成立，將式（17）及λ ＝0代入式（15）則有：

式中：I12∈R12×12為單位方陣。

由于變換矩陣C 不是方陣，因此，式（18）中S的解不唯一。本文選擇C 的最小二乘偽逆作為S的解：

式（20）表明D 由S 矩陣零空間的基底組成，矩陣D 不唯一。本文采用 Matlab 的命令函數(shù)null（S），通過(guò)奇異值分解的方法，以S 矩陣零空間的單位正交基底作為D 的解。

2.2 力變換分析

根據(jù)能量守恒原理，液壓缸驅(qū)動(dòng)力所做的功等于上平臺(tái)剛體自由度空間力做的功與冗余自由度空間內(nèi)力所做的功之和，即：

定義矩陣P ∈R6×12為液壓缸位移到變形位移的轉(zhuǎn)換矩陣，將式（17）及P 代入式（21），得到：

定義矩陣Q ∈R6×12為液壓缸出力到內(nèi)力的轉(zhuǎn)換矩陣，則對(duì)任意fq有［5］：

式（23）對(duì)于任意fq均成立，將式（23）及fq＝0代入式（22）則有：

將式（22）左乘Q，結(jié)合式（23）得到：

與式（20）比較可得：

矩陣Q 即為液壓缸出力到冗余內(nèi)力的變換矩陣。

3 內(nèi)力耦合控制策略

由第2 節(jié)得到內(nèi)力變換矩陣，引入控制量U：

由于矩陣D 和Q 均為正交向量組成，內(nèi)力空間的基底互相垂直，且均為單位長(zhǎng)度。各液壓缸的出力通過(guò)該矩陣合成的冗余內(nèi)力為同一個(gè)度量空間。因此，kf1＝kf2＝…＝kf6。式（27）變?yōu)椋?/p>

12個(gè)液壓作動(dòng)器在上平臺(tái)的布置方式如圖2所示，其中1號(hào)與4號(hào)液壓缸之間的距離為1m；2號(hào)與3號(hào)液壓缸之間的距離為0.5m；5號(hào)與8號(hào)液壓缸之間的距離為1m；6號(hào)與7號(hào)液壓缸之間的距離為0.5m；9號(hào)與10號(hào)液壓缸之間的距離為1m。由此得到內(nèi)力耦合控制策略中的各變換矩陣分別如下。

自由度分解矩陣C 為：

自由度合成矩陣S 為：

冗余位移分解矩陣D 為：

內(nèi)力變換矩陣Q 為：Q ＝DT。

多軸振動(dòng)臺(tái)的控制一般采用的是自由度零位線性化控制［7］，液壓缸的位移經(jīng)過(guò)自由度合成矩陣變換為位姿反饋信號(hào)參與自由度閉環(huán)，自由度控制信號(hào)則經(jīng)過(guò)自由度分解矩陣變換為電液伺服系統(tǒng)的伺服閥輸入信號(hào)。將內(nèi)力耦合控制策略加入自由度零位線性化控制結(jié)構(gòu)中，可以得到圖4所示的超冗余振動(dòng)臺(tái)的整體控制框圖。液壓缸的壓力信號(hào)經(jīng)內(nèi)力變換矩陣轉(zhuǎn)為冗余內(nèi)力參與內(nèi)力閉環(huán)控制，內(nèi)力控制信號(hào)經(jīng)過(guò)冗余位移分解矩陣變?yōu)樗欧y輸入信號(hào)，將其與自由度零位線性化控制策略得到的伺服閥輸入信號(hào)進(jìn)行合成，實(shí)現(xiàn)冗余內(nèi)力的解耦控制。

圖4 超冗余振動(dòng)臺(tái)的整體控制策略Fig.4 Overall control system of hyper－redundant shaking table

4 仿真分析

在Simulink下，根據(jù)液壓系統(tǒng)模型和機(jī)械系統(tǒng)模型建立超冗余多軸振動(dòng)臺(tái)的仿真模型，并搭建圖4所示的振動(dòng)臺(tái)整體控制策略。由于本文超冗余振動(dòng)臺(tái)的頻寬為40Hz，因此選擇1ms的定步長(zhǎng)為模型及控制算法的仿真周期，仿真采用Runge－Kutta解算器。仿真模型中的參數(shù)如下：上平臺(tái)及負(fù)載質(zhì)量為1000kg；伺服閥固有頻率為628rad／s；伺服閥阻尼比為0.5；液壓缸黏性阻尼系數(shù)為10000N／（m·s－1）；液壓缸有效作用面積為18.849cm2；供油壓力為1.8×107Pa；油液彈性模量為6.9×108Pa；油液密度為845kg／m3；流量系數(shù)為0.64；液壓缸總泄漏系數(shù)為4×10－12m3·s－1·Pa－1。

在x 方向給定幅值5mm，頻率5Hz的正弦信號(hào)進(jìn)行仿真分析。當(dāng)各個(gè)液壓缸參數(shù)相同時(shí)，x 方向四組液壓缸的出力及合成的內(nèi)力如圖5所示。x向各缸的出力相同，內(nèi)力空間合成的內(nèi)力很小，這時(shí)的內(nèi)力是由于系統(tǒng)零位線性化控制誤差造成的。

將x方向的4個(gè)液壓伺服系統(tǒng)分別設(shè)置不同的增益（k1＝1.02、k2＝0.98、k3＝0.99、k4＝1.01）來(lái)模擬液壓缸在工作過(guò)程中的不一致。不采用內(nèi)力耦合控制策略時(shí)，x 向各液壓缸的出力及合成的內(nèi)力如圖6所示。與圖5對(duì)比可知，各液壓缸之間動(dòng)作的不一致使得超冗余振動(dòng)臺(tái)產(chǎn)生了內(nèi)力，在同一給定位移下，液壓缸需要更大的出力來(lái)平衡內(nèi)力的作用，液壓缸的最大出力由1100 N 提高到了2000N，增大了近一倍。

圖5 相同參數(shù)下液壓缸出力及合成內(nèi)力Fig.5 Cylinder and internal forces under same parameters

圖6 不同參數(shù)下液壓缸出力及合成內(nèi)力Fig.6 Cylinder and internal forces under different parameters

采用本文提出的內(nèi)力耦合控制策略時(shí)，x 方向各液壓缸出力及合成的內(nèi)力如圖7所示。對(duì)比圖6和圖7可以看出：采用了內(nèi)力耦合控制策略后，內(nèi)力矩陣合成的內(nèi)力有了顯著的減低，最大內(nèi)力降到了未采用耦合控制策略時(shí)的10%以下，x方向各液壓作動(dòng)器的出力也趨于一致，并且降低到各缸參數(shù)一致時(shí)的出力大小。

5 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種改進(jìn)的內(nèi)力耦合控制策略，用來(lái)降低超冗余液壓振動(dòng)臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于液壓作動(dòng)器參數(shù)不一致導(dǎo)致的內(nèi)力耦合現(xiàn)象。通過(guò)對(duì)上平臺(tái)自由度空間和冗余度空間的分析，得到了內(nèi)力耦合空間的正交基底，并在此基礎(chǔ)上給出了只有一個(gè)控制參數(shù)的內(nèi)力補(bǔ)償控制策略，與傳統(tǒng)的壓力鎮(zhèn)定方式相比，該控制策略顯著簡(jiǎn)化了參數(shù)調(diào)整過(guò)程，更容易實(shí)現(xiàn)內(nèi)力耦合的最優(yōu)控制?；谝簤合到y(tǒng)非線性和機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的仿真試驗(yàn)也表明，采用該內(nèi)力耦合控制策略可以有效減小系統(tǒng)的內(nèi)力，增大系統(tǒng)的凈出力，提高超冗余振動(dòng)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)能力。

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