非數(shù)據(jù)輔助的多指數(shù)連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)的載波頻率估計(jì)算法

楊 春，鐘 聲，謝 滔，謝順欽，張 健，郄志鵬

(1.中國(guó)工程物理研究院 電子工程研究所，四川 綿陽(yáng)621900;2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410073)

0 引 言

多指數(shù)連續(xù)相位調(diào)制(Multi-h CPM)是一種有記憶的、高效的、恒包絡(luò)的非線性調(diào)制技術(shù)，它具備高效的頻譜效率和功率效率［1-4］且對(duì)功放和信道的非線性特性不敏感等性質(zhì)，在無(wú)線通信系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。多個(gè)隨時(shí)間循環(huán)變化的調(diào)制指數(shù)不僅可以提高抗誤碼能力［5］，還可以使頻譜更加緊湊、帶外滾降更快，提高其頻譜利用率，在帶寬和功率受限的條件下，Multi-h CPM 有著比單指數(shù)CPM 更加優(yōu)異的傳輸性能。由于Multih CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)困難且算法復(fù)雜度較高，如何有效地實(shí)現(xiàn)Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)成為了Multi-h CPM 接收機(jī)研究的關(guān)鍵。

目前關(guān)于Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)算法的研究比較少，基于FFT 鑒頻的CPM 頻率估計(jì)是較為常見(jiàn)的載波頻率估計(jì)算法，可以同時(shí)適用于單、多指數(shù)CPM 信號(hào)。但該算法對(duì)CPM 信號(hào)具有一定的應(yīng)用局限，這主要是因?yàn)镕FT 算法對(duì)抑制載波信號(hào)的頻率估計(jì)精度有限，因此需要對(duì)接收的CPM 信號(hào)進(jìn)行P 次冪操作(P 為調(diào)制指數(shù)的分母項(xiàng))才能獲得其離散的載波頻率分量，而P 次冪的處理使得接收信號(hào)的信噪比急劇惡化，因此基于FFT 鑒頻的載波頻率估計(jì)算法對(duì)CPM 信號(hào)具有應(yīng)用局限性。對(duì)于單指數(shù)CPM，文獻(xiàn)［6］提出了一種非數(shù)據(jù)輔助的GMSK 的載波頻率恢復(fù)算法，在延遲相乘提取載波頻率誤差的基礎(chǔ)上，通過(guò)計(jì)算接收信號(hào)的自相關(guān)值提高了頻率估計(jì)的精度。文獻(xiàn)［7-8］提出了一種基于判決反饋的載波頻率和載波相位的聯(lián)合估計(jì)算法，通過(guò)對(duì)CPM 信號(hào)的波形分解［9-10］近似降低了算法的復(fù)雜度，但該類算法不適用于Multi-h CPM 信號(hào)。文獻(xiàn)［11］給出了一種定時(shí)-頻率聯(lián)合估計(jì)算法，通過(guò)對(duì)接收信號(hào)差分并平方，然后選擇具有最大平均功率的支路信號(hào)獲得載波頻率誤差的估計(jì)值，但該算法對(duì)部分響應(yīng)長(zhǎng)度較長(zhǎng)的CPM 性能較差且實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)［12-13］提出了一種基于前導(dǎo)碼元輔助的載波頻率恢復(fù)算法，通過(guò)對(duì)已知頻譜特性的前導(dǎo)碼元進(jìn)行離散傅立葉變換獲得CPM 信號(hào)的載波頻率誤差的估計(jì)值，但是前導(dǎo)碼元序列的引入造成了額外信號(hào)帶寬的使用。文獻(xiàn)［14］針對(duì)單指數(shù)CPM 信號(hào)提出了一種非數(shù)據(jù)輔助的載波頻率估計(jì)算法，但并不適用于Multi-h CPM 信號(hào)。

本文在文獻(xiàn)［14］的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于Multi-h CPM 信號(hào)的非數(shù)據(jù)輔助的載波頻率估計(jì)算法?；谧畲笏迫粶?zhǔn)則，通過(guò)對(duì)載波頻率和調(diào)制指數(shù)同步偏差的邊緣聯(lián)合似然函數(shù)化簡(jiǎn)，獲得了Multi-h CPM 信號(hào)載波頻率的估計(jì)，并給出了Multi-h CPM 信號(hào)載波頻率估計(jì)算法的修正Cramer-Rao 限。該算法對(duì)全響應(yīng)和部分響應(yīng)Multi-h CPM 信號(hào)均能實(shí)現(xiàn)有效的載波頻率估計(jì)，而且對(duì)符號(hào)定時(shí)偏差和調(diào)制指數(shù)同步偏差不敏感。

1 Multi-h CPM 信號(hào)模型

式中:Es為信號(hào)碼元能量;T 為碼元間隔寬度;α=(α0，α1，…，an)為發(fā)送的M 進(jìn)制信息符號(hào)序列，即αn∈{±1，±3，…，±(M－1)}。調(diào)制指數(shù)hn－=kn－/p，kn－和p 是互素整數(shù)且hn－在每個(gè)碼元周期內(nèi)保持不變，多個(gè)調(diào)制指數(shù){h0，h1，…，hNh－1}以Nh為周期循環(huán)變化，n－表示n 模Nh的運(yùn)算。

2 非數(shù)據(jù)輔助的載波頻率估計(jì)

AWGN 信道中傳輸后的Multi-h CPM 接收信號(hào)的復(fù)基帶信號(hào)可以表示為:

式中:n(t)為接收端功率譜密度為N0的零均值復(fù)高斯白噪聲;τ 為符號(hào)定時(shí)偏差，它主要由發(fā)送端與接收端的時(shí)鐘偏差引起;ζ 為調(diào)制指數(shù)同步偏差，其值取自于一個(gè)離散的有限集合Γ={0，1，…，Nh－1}，其物理意義為:由于非完整接收，造成發(fā)送信號(hào)與接收信號(hào)的調(diào)制指數(shù)周期循環(huán)變化的起始時(shí)刻不一致;θ 為信道引入的隨機(jī)相位;f 為數(shù)字下變頻后殘留載波頻率。

根據(jù)最大似然定理，在觀察間隔0 ≤t ≤L0T內(nèi)(L0為觀察的符號(hào)間隔長(zhǎng)度，且L0是Nh的整數(shù)倍)，未知參數(shù)和的聯(lián)合似然函數(shù)可表示為:

將式(5)代入式(4)，則式(4)可改寫成:

式中:I0( )·表示第一類零階修正貝塞爾函數(shù)，且在低信噪比下滿足式I0( x) =1+x2/4。

利用文獻(xiàn)［14］中的方法將式(8)展開，并去除所有可能的無(wú)關(guān)項(xiàng)，則Multi-h CPM 信號(hào)的關(guān)于載波頻率和調(diào)制指數(shù)同步偏差的邊緣聯(lián)合似然函數(shù)可表示為:

式中:r(k)為數(shù)字離散化后的接收信號(hào);Ts為接收端的采樣周期，且N=T/Ts。

式中:

需要指出的是，當(dāng)q(Δt，t)的值趨近于0 時(shí)，需通過(guò)求極限來(lái)求得F［Δt，t］的值。

對(duì)于Multi-h CPM 信號(hào)，由于其各個(gè)調(diào)制指數(shù)使用概率相等，對(duì)式(9)求的數(shù)學(xué)期望:

為了便于表述，令:

將式(14)代入式(13)，則Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率的似然函數(shù)可表示為:

圖1 給出了M=4，L=3，h=(4/16，5/16)升余弦成形的ARTM Tier2 信號(hào)的g(k)波形圖。

圖1 ARTM Tier2 信號(hào)的g(k)波形圖Fig.1 Pulse of g(k)for ARTM Tier2

從圖1 可以看出:g(k)是以k=0 奇對(duì)稱的實(shí)函數(shù)，且Multi-h CPM 信號(hào)的g(k)是一個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果濾波器，把g(k)向右平移ND個(gè)采樣點(diǎn)將其轉(zhuǎn)變成物理可實(shí)現(xiàn)的因果濾波器，則g(k)被限制在0 ≤k ≤2ND 內(nèi)。例如對(duì)于ARTM Tier2 信號(hào)，D 取4。通過(guò)向右平移g(k)，式(15)可改寫為:

令式(17)等于零，則Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率誤差信號(hào)e［n］可表示為:

式中:n=floor(k/N)表示第n 個(gè)碼元符號(hào)。

式中:γ 為迭代步長(zhǎng)，且γ=4BLT/kd，BLT 表示歸一化等效環(huán)路噪聲帶寬，kd為鑒頻增益，即鑒頻算法的S 曲線的斜率。

圖2 為本文算法的ARTM Tier2 信號(hào)的鑒頻S 曲線。

圖2 ARTM Tier2 信號(hào)的鑒頻S 曲線Fig.2 S-curves for ARTM Tier2

考慮到實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)出現(xiàn)的多普頻率及其變化率，可用e(n)作為誤差信號(hào)控制一個(gè)二階數(shù)字鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)對(duì)其跟蹤，則f^的迭代更新方程可以表示為:

式中:C1和C2是二階數(shù)字鎖相環(huán)的環(huán)路參數(shù)，其值將直接影響到環(huán)路的收斂時(shí)間及的估計(jì)精度，在實(shí)際中往往需要根據(jù)系統(tǒng)的邊界條件做出合理的選取。

在時(shí)域上，載波頻率體現(xiàn)為載波瞬時(shí)相位的累加求和，則載波瞬時(shí)相位可以表示為:

圖3 給出了文中算法的實(shí)現(xiàn)框圖。首先將經(jīng)過(guò)下變頻的接收信號(hào)r(k)一方面以采樣速率Ts送入到上支路與沖激響應(yīng)為g(k－ND)的濾波器中進(jìn)行濾波和求共軛;另一方面經(jīng)過(guò)ND 個(gè)采樣周期延遲的下支路信號(hào)與上支路的輸出進(jìn)行兩兩相乘，并送入到誤差提取模塊中得到載波頻率誤差值e(n)，該誤差值經(jīng)過(guò)環(huán)路濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)噪聲的抑制和的迭代求解，然后將載波頻率估計(jì)值送入到VCO 中生成載波瞬時(shí)相偏φ( k) ，最 后VCO 輸 出 的e－jφ()k 與 接 收 信 號(hào)r( k) 兩兩相乘，實(shí)現(xiàn)對(duì)載波頻率恢復(fù)。

圖3 Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)算法的實(shí)現(xiàn)框圖Fig.3 Implementation scheme of non-data aided carrier frequency estimation for Multi-h CPM

3 性能分析及仿真

3.1 修正的Cramer-Rao 限

修正的Cramer-Rao 限(MCRB)是評(píng)估載波頻率恢復(fù)算法性能的常用方法，它給出了載波頻率估計(jì)算法性能的下限［7］。在AWGN 信道下，Multi-h CPM 信號(hào)關(guān)于載波頻率f 的MCRB 限可表示為:

式中:s(·)表示Multi-h CPM 信號(hào);If={α，θ，τ，ζ}表示需要通過(guò)求數(shù)學(xué)期望去掉的未知參數(shù)矢量。

對(duì)式(22)中的分母項(xiàng)求If的數(shù)學(xué)期望，可得:

且令歸一化等效噪聲帶寬BLT=1/ ( 2L0)并代入式(23)，則Multi-h CPM 信號(hào)的關(guān)于載波頻率f的MCRB 限可表示為:

3.2 性能仿真

利用Matlab 軟件對(duì)文中算法進(jìn)行仿真，Multi-h CPM 的調(diào)制參數(shù)根據(jù)不同的仿真方案選擇，符號(hào)速率為5 M Baud/s，多普勒頻率為1 MHz，多普勒頻率一階變化率為200 kHz/s，其中環(huán)路濾波器為二階數(shù)字鎖相環(huán)，過(guò)采樣倍數(shù)N 取4，歸一化等效環(huán)路噪聲帶寬BLT=5×10－3，信道為加性AWGN 信道，估計(jì)結(jié)果用歸一化頻率誤差方差(Normalized frequency error varince square error，NVAR)衡量，即:

圖4 給出了幾種不同調(diào)制模式下的Multi-h CPM 信號(hào)的非數(shù)據(jù)輔助的載波頻率估計(jì)的性能曲線和MCRB 限。從圖4 中可以看出，對(duì)于不同的部分響應(yīng)長(zhǎng)度L、成形脈沖形狀和調(diào)制指數(shù)的Multi-h CPM 信號(hào)，本文算法均有較好的仿真結(jié)果。但隨著信噪比的增加，本文算法的估計(jì)性能卻達(dá)到了一個(gè)錯(cuò)誤平層，這主要是由本文算法的似然函數(shù)形式和CPM 信號(hào)自身特點(diǎn)引起的。一方面CPM 信號(hào)通過(guò)引入碼間串?dāng)_(ISI)提高了其頻譜效率;另一方面似然函數(shù)中的∑k1∑k2r(k1)×r*(k2)項(xiàng)相當(dāng)于又引入了一項(xiàng)ISI，從而造成了一個(gè)固定干擾項(xiàng)。在低信噪比階段，噪聲是主要的干擾，而在中高信噪比階段，ISI 變成主要的干擾，由于ISI 是固定存在的，不會(huì)隨著信噪比的增大而減少，從而造成其估計(jì)性能幾乎與信噪比無(wú)關(guān)?？傮w來(lái)看，該算法在符號(hào)信噪比為5 dB 時(shí)，三種信號(hào)的載波頻率估計(jì)歸一化頻率誤差方差能達(dá)到10－3數(shù)量級(jí)。在實(shí)際應(yīng)用中其性能是較為優(yōu)異的。

圖4 不同調(diào)制模式下的Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)性能Fig.4 Performance of proposed algorithm for several formats of Multi-h CPM

圖5 給出了在不同的符號(hào)定時(shí)偏差、符號(hào)定時(shí)抖動(dòng)方差和調(diào)制指數(shù)偏差時(shí)，ARTM Tier2 信號(hào)的載波頻率估計(jì)性能的比較。從圖5 中可以看出，與無(wú)符號(hào)定時(shí)偏差和調(diào)制指數(shù)同步偏差相比，當(dāng)ζ=1，τ=0.5T 且定時(shí)抖動(dòng)方差高達(dá)0.1 時(shí)，其載波頻率估計(jì)的性能基本沒(méi)有惡化，即本文算法對(duì)符號(hào)定時(shí)偏差、符號(hào)定時(shí)抖動(dòng)方差和調(diào)制指數(shù)偏差不敏感。因此，在實(shí)際應(yīng)用中可在符號(hào)定時(shí)同步之前用本文算法實(shí)現(xiàn)其載波頻率的恢復(fù)，從而避免了對(duì)載波頻率敏感的符號(hào)定時(shí)同步算法在載波頻率影響下建立同步時(shí)間過(guò)長(zhǎng)甚至失鎖的問(wèn)題。

圖5 存在符號(hào)定時(shí)偏差和調(diào)制指數(shù)同步偏差時(shí)，ARTM Tier2 信號(hào)的載波頻率估計(jì)性能Fig.5 Performance of proposed algorithm for ARTM Tier2，when existing symbol timing offset and modulation index timing offset

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種適用于Multi-h CPM 信號(hào)的非數(shù)據(jù)輔助的載波頻率估計(jì)新算法，它從單指數(shù)CPM信號(hào)的非數(shù)據(jù)輔助的載波頻率估計(jì)算法出發(fā)，推導(dǎo)出了Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)算法。然后為了有效地界定該文中算法的性能，推導(dǎo)給出了Multi-h CPM 信號(hào)的載波頻率估計(jì)性能的MCRB 限，最后進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明:該算法同時(shí)適用于全響應(yīng)和部分響應(yīng)的Multi-h CPM 信號(hào)，載波頻率估計(jì)的性能良好，且對(duì)符號(hào)定時(shí)偏差和調(diào)制指數(shù)同步偏差不敏感。且本文算法的實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，可以快速、準(zhǔn)確地進(jìn)行載波頻率估計(jì)，適合于Multi-h CPM 信號(hào)的軟件無(wú)線電系統(tǒng)。

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