冪函數(shù)過(guò)渡段復(fù)合變幅桿振動(dòng)特性的研究

□ 張寧寧

渭南師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院 陜西渭南 714000

功率超聲振動(dòng)系統(tǒng)通常是由超聲變幅桿、換能器和工具桿組成，其中變幅桿是決定聚集能量和放大振幅的最關(guān)鍵元件。目前對(duì)于各種單一形狀及其不同組合的變幅桿研究較多［1-6］，但對(duì)于三段以上變幅桿計(jì)算各性能參數(shù)時(shí)，如應(yīng)用傳統(tǒng)計(jì)算方法，各參數(shù)的求解繁瑣、復(fù)雜。本文應(yīng)用傳輸矩陣方法［5］，計(jì)算復(fù)合三段式冪函數(shù)變幅桿的頻率方程和放大系數(shù)，并以前后段長(zhǎng)度相等為例作進(jìn)一步分析，利用ANSYS軟件進(jìn)行模態(tài)分析，結(jié)果表明，諧振頻率和放大系數(shù)模擬值與計(jì)算值誤差都較小，說(shuō)明本文理論的正確性，其結(jié)果可為此類變幅桿的頻率修正提供理論依據(jù)和參考。

1 冪函數(shù)形復(fù)合變幅桿理論分析

圖1為冪函數(shù)形復(fù)合變幅桿的示意圖，其中Ⅰ和Ⅲ為等截面棒大小段部分，Ⅱ?yàn)閮绾瘮?shù)形變截面棒部分，大小端橫截面積分別為 s1、s2，其面積函數(shù)為 s（x）=將作用在變幅桿輸入端及輸出端的力及振動(dòng)速度分別記為 F1、、 F2、， 冪函數(shù)截面半徑為：（其中形狀參數(shù)a=（N-1），大小端半徑比

單一冪函數(shù)形變幅桿的等效四端網(wǎng)絡(luò)各參量分別為 ［7］：

▲圖1 冪函數(shù)形復(fù)合變幅桿

應(yīng)用傳輸矩陣?yán)碚摚?］可得到如下關(guān)系式：

式中：k 為波數(shù)；z1=ρCs1，z2=ρCs2，ρ、C 分別為材料密度及縱波速度；A11、A12、A21、A22分別為復(fù)合變幅桿的等效四端網(wǎng)絡(luò)各參量。

當(dāng)兩邊界自由時(shí)，即F1=F2=0，得A12=0，通過(guò)矩陣運(yùn)算可得：

由此可得到具有冪函數(shù)過(guò)渡段形狀的階梯形變幅桿頻率方程：

同理由矩陣運(yùn)算得放大系數(shù)為：

2 數(shù)值分析

兩端長(zhǎng)度相等而截面不同的階梯形變幅桿，它的振幅放大系數(shù)最大［8］，因此研究kL1=kL3的具有冪函數(shù)形過(guò)渡段的階梯形復(fù)合變幅桿顯得更具有實(shí)際意義。作為例子，對(duì)kL1=kL3的復(fù)合變幅桿進(jìn)行分析，將kL1=kL3代入式（4），其頻率方程變?yōu)椋?/p>

以N為參變量，由上式即可描繪出在諧振條件下變幅桿過(guò)渡段參數(shù)kL2與階梯桿參數(shù)kL1之間的相互關(guān)系曲線，如圖2所示。由圖可知，當(dāng)kL2＜1.5時(shí)，隨N的增大，kL1隨kL2的增大而下降較快，當(dāng)kL2＞1.5 時(shí)，隨N的增大，kL1隨kL2的增大而下降較慢，并且 N愈大，這種現(xiàn)象愈明顯。

同樣把kL1=kL3代入式 （5），其振幅放大系數(shù)變?yōu)椋?/p>

▲圖2 諧振條件下kL1與kL2的關(guān)系曲線族

表1 N不同時(shí)模擬值與計(jì)算值的比較

表2 N相同、L2不同時(shí)模擬值與計(jì)算值的比較

為了驗(yàn)證本文中所得結(jié)論的準(zhǔn)確性，取變幅桿材料為45號(hào)鋼，楊氏模量E=216 GPa，泊松比σ=0.28；密度 ρ=7.84×103kg/m3。 用 ANSYS有限元模態(tài)分析，并與理論值進(jìn)行比較，表1為N不同時(shí)模擬值與計(jì)算值的比較，表2為N相同、L2不同時(shí)模擬值與計(jì)算值的比較。表中：D1和D2分別為變幅桿大端和小端的直徑，f1和f2分別代表理論計(jì)算頻率和ANSYS模擬頻率，是頻率的相對(duì)誤差，M1為理論放大系數(shù)，M2為模擬放大系數(shù)，為放大系數(shù)的相對(duì)誤差。

由表1可以看出，隨著N的增加，頻率與放大系數(shù)都在增大，通過(guò)比較還可以看出，不論是諧振頻率還是放大系數(shù)，模擬值與計(jì)算值的相對(duì)誤差都較小，表明本文理論的正確性。由表2可以看出，當(dāng)N相同、過(guò)渡段長(zhǎng)度L2不同時(shí)，諧振頻率與放大系數(shù)的模擬值與計(jì)算值的相對(duì)誤差還是較小，同時(shí)還可以看出，隨著L2的增加，諧振頻率和放大系數(shù)都不斷減小，這為此類變幅桿的頻率修正提供了理論依據(jù)和參考［9－13］。

3 結(jié)論

利用傳輸矩陣推導(dǎo)了冪函數(shù)形復(fù)合變幅桿的頻率方程和放大系數(shù)，分析了過(guò)渡段對(duì)放大系數(shù)及頻率特性的影響，在此基礎(chǔ)上又用有限元軟件ANSYS進(jìn)行了模態(tài)分析，驗(yàn)證了本文計(jì)算的正確性，與數(shù)值法相比，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，物理意義也比較明顯。

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