例談挖掘教材例習(xí)題

于瓊

【摘要】教材例習(xí)題歷來(lái)是高考題題基的來(lái)源，許多高考題是由教材例習(xí)題加工整合而成的。因此我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中必須重視教材的例習(xí)題，深入挖掘教材是我們教學(xué)和備考應(yīng)具備的能力。下面本人僅就人教B版必修2《圓的一般方程》一節(jié)中的例題3（P93）和必修五橢圓和拋物線兩節(jié)節(jié)的課后習(xí)題為例加以探究，以達(dá)拋磚引玉之目的。

【關(guān)鍵詞】重視教材 ?挖掘教材 ?發(fā)散思維 ?求知欲和探索欲

【中圖分類號(hào)】G634 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2015）05-0241-01

教材例習(xí)題歷來(lái)是高考題題基的來(lái)源，許多高考題是由教材例習(xí)題加工整合而成的。因此我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中必須重視教材的例習(xí)題，深入挖掘教材是我們教學(xué)和備考應(yīng)具備的能力。下面本人僅就人教B版必修2《圓的一般方程》一節(jié)中的例題3（P93）和必修五橢圓與拋物線兩節(jié)的課后習(xí)題為例加以探究，以達(dá)拋磚引玉之目的。

題目：已知曲線是與兩定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線方程，并畫(huà)出曲線。

解：在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M（x，y）是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線上的條件是：，由兩點(diǎn)之間的距離公式，上式用坐標(biāo)表示為，兩邊平方并化簡(jiǎn)得曲線方程x2+y2+2x-3=0，即 （x+1）2+y2=4，所以所求曲線是圓心為C（-1，0），半徑為2的圓。作圖（略）。

分析：本題典型性強(qiáng)，體現(xiàn)了解析幾何中坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，即建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、證明。驗(yàn)證的基本步驟又考查了前面剛學(xué)過(guò)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程及坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間距離運(yùn)算公式，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生探究欲。曲線究竟是何曲線？我們是否認(rèn)識(shí)？教師可以引導(dǎo)學(xué)生去追根尋底：既然本題讓你畫(huà)出曲線，結(jié)論應(yīng)該是我們已熟知的曲線，如：直線、圓、拋物線的等等。而通過(guò)師生互動(dòng)，交流合作，動(dòng)手運(yùn)作，結(jié)果令學(xué)生欣喜，原來(lái)如此！同時(shí)也為以后學(xué)習(xí)橢圓和雙曲線方程做了鋪墊。

教師可接著讓學(xué)生思考：如果將距離之比改為或者2，其結(jié)果又是什么曲線呢？學(xué)生分兩組接著做，最后得出結(jié)論都是圓。同時(shí)學(xué)生們洋溢著興奮的笑臉。

教師再問(wèn)：通過(guò)上述學(xué)習(xí)，你們有什么啟發(fā)和感悟？請(qǐng)研討，并說(shuō)出你們的想法。

我在實(shí)際教學(xué)中體驗(yàn)到了學(xué)生的結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡（或者曲線）是圓，其中常數(shù)為不等于1的正數(shù)。趁熱打鐵，我給出下列課后思考題：

已知曲線是與兩定點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（其中c>0）的距離之比為常數(shù)t（t≠0）的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線方程，并指出是何曲線？第二天我得到了一些學(xué)生的答案：

解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)M（x，y），由已知得，，

平方并化簡(jiǎn)得：

可驗(yàn)證它表示以為圓心，半徑 ?的圓。

再如：高中課本中必修五中一習(xí)題：經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F，作一條直線垂直于它們的對(duì)稱軸和拋物線相交于pl、p2兩點(diǎn)，線段plp2叫做拋物線的通徑，求通徑plp2的長(zhǎng)。

通過(guò)計(jì)算可得通徑plp2的長(zhǎng)為2P（解法略）稍一引申，這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積yly2等于什么？容易得yly2=-p2，再圍繞這一中心課題作進(jìn)一步研究

改編1，與對(duì)稱軸不垂直的焦點(diǎn)弦的兩端的縱坐標(biāo)之和等于什么？

其結(jié)論就是課本題目：過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yl、y2，求證：yly2=-p2.它是拋物線焦點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)。

改編2，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q，通過(guò)點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于一點(diǎn)M，求證直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸。這是課本第32頁(yè)第13題，它是應(yīng)用上述性質(zhì)進(jìn)行解題的實(shí)例。

改編3，問(wèn)“yly2=-p2有什么幾何意義？”經(jīng)過(guò)作圖，分析可證過(guò)拋物線的焦點(diǎn)弦的兩端作準(zhǔn)線的垂線，兩垂足與焦點(diǎn)的連線互相垂直，這實(shí)際上是拋物線焦點(diǎn)弦的又一性質(zhì)

鑒于教材中的絕大部分例習(xí)題，條件完備、答案固定的特點(diǎn)，教師備課時(shí)有必要根據(jù)教學(xué)將部分習(xí)題改編成“開(kāi)放題”。

再如必修五教材第112頁(yè)一道題，在橢圓 上求一點(diǎn)使它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直。

隱去結(jié)論改編成“橢圓 上是否存在一點(diǎn)，它與兩個(gè)焦點(diǎn)連線互相垂直？若存在求出該點(diǎn)、若不存在說(shuō)明理由”即成為一道探究題。接著再將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，改編為：“是否對(duì)任意橢圓都存在橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直？”即成為一道具有開(kāi)放型習(xí)題。

通過(guò)這樣的挖掘，為學(xué)生才智的發(fā)揮和創(chuàng)新提供了契機(jī)。具有較強(qiáng)的探索性和針對(duì)性，激發(fā)了學(xué)生求知欲和成就感。

通過(guò)上面兩個(gè)例子的闡述，使學(xué)生提高了對(duì)數(shù)學(xué)典型題目探究能力，并激發(fā)了求知欲和探索欲。培養(yǎng)了一題多變、舉一反三、觸類旁通的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題思維方式和良好習(xí)慣，對(duì)克服題海戰(zhàn)術(shù)是非常有益的，因此在我們實(shí)踐數(shù)學(xué)中應(yīng)加以提倡。由于我們的學(xué)生的時(shí)間和精力是有限的，所以在有限的時(shí)間盡量取得最大的成效：教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成對(duì)重點(diǎn)知識(shí)、重點(diǎn)題目，尤其是教材例習(xí)題深入挖掘、聯(lián)系、變形的能力，培養(yǎng)發(fā)散思維意識(shí)，發(fā)揮典型題目的最大功效。舉一反三，甚至找到一類問(wèn)題的處理方法，同時(shí)派生出一些重要性質(zhì)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解和鞏固，提高我們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

最后，祝各位同仁和學(xué)生們成功。