函數(shù)圖象變換

吳春平

【摘要】函數(shù)圖像、圖象變換、及函數(shù)性質(zhì)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，我們對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過(guò)研究函數(shù)圖像及其變換得到的，利用函數(shù)圖像及其變換解題可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用，而且高考考試大綱中明確要求：學(xué)生要會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖像的一般方法，掌握函數(shù)圖像變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) ?圖像 ?變換

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? ?【文章編號(hào)】2095-3089（2015）05-0188-03

很多教師在歸納函數(shù)圖象變換時(shí)，把函數(shù)圖象變換中的平移變換歸納為：左加右減，上加下減。這對(duì)簡(jiǎn)單的平移變換沒(méi)有問(wèn)題，但如遇到下面這個(gè)問(wèn)題：“如何把函數(shù)y=f（2x）的圖像平移得到函數(shù)y=f（2x+1）的圖像？”，往往學(xué)生會(huì)回答：“把函數(shù)y=f（2x）的圖像向左平移1個(gè)單位就得到函數(shù)y=f（2x+1）的圖像”，這里平移的方向?qū)α?，但平移的單位是不?duì)的，正確的應(yīng)該是平移個(gè)單位。之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，是因?yàn)槠揭谱儞Q的規(guī)律“左加右減，上加下減”只說(shuō)明了平移方向，沒(méi)有說(shuō)明平移幾個(gè)單位，沒(méi)有抓住變換的實(shí)質(zhì)。函數(shù)圖象變換的實(shí)質(zhì)就是“替換”，每一步變換只要考慮把原式中的x、y分別替換成什么。具體的規(guī)律如下：

一、平移變換

①把原式中的小x替換成x+a（其中a>0），表示函數(shù)圖像沿x軸負(fù)方向平移 個(gè)單位即向左平移a個(gè)單位;

②把原式中的x替換成x-a（其中a>0），表示函數(shù)圖像沿 x軸正方向平移 個(gè)單位即向右平移a個(gè)單位;

③把原式中的y替換成y+a（其中a>0），表示函數(shù)圖像沿y 軸負(fù)方向平移a個(gè)單位即向下平移a個(gè)單位;

④把原式中的y替換成y-a（其中a>0），表示函數(shù)圖像沿y軸正方向平移a個(gè)單位即向上平移a個(gè)單位;

這里的規(guī)律是：替換后的表達(dá)式x+a、y+a中是x、y加上正數(shù)a表示向負(fù)方向平移，替換后的表達(dá)式x-a、y-a中是x、y加上負(fù)數(shù)-a（其中a>0）表示向正方向平移。其要點(diǎn)是：加上正數(shù)向負(fù)方向平移，加上負(fù)數(shù)向正方向平移。為了便于記憶，我們可以把平移變換律歸納為四個(gè)字“正負(fù)相反”。

二、伸縮變換

①把原式中的x替換成ωx，如果ω>1，表示把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）;

②把原式中的x替換成ωx，如果0<ω<1，表示把函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）;

③把原式中的y替換成ωy，如果ω>1，表示把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變）;

④把原式中的y替換成ωy，如果0<ω<1，表示把函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變）;

這里的規(guī)律是：x替換成ωx、y替換成ωy后，x、y的系數(shù)都從1變成了ω，如果ω>1，即系數(shù)變大了，表示相應(yīng)的坐標(biāo)縮小為原來(lái)的;如果0<ω<1，即系數(shù)變小了，表示相應(yīng)的坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍。其要點(diǎn)是：系數(shù)變大相應(yīng)的坐標(biāo)是縮小，系數(shù)變小相應(yīng)的坐標(biāo)是伸長(zhǎng)。為了便于記憶，我們可以把伸縮變換規(guī)律歸納為四個(gè)字“大小相反”。

為了便于理解上述規(guī)律，下面舉例說(shuō)明。（為了便于說(shuō)明，下文中的符號(hào)用到的“”，其中→表示替換，如x→x+1就是表示x替換成x+1;其中符號(hào)表示推出;其中文字“右移1個(gè)單位”表示原圖像向右平移1個(gè)單位得到新圖像，其余的符號(hào)類(lèi)似。）

1.從簡(jiǎn)單表達(dá)式到復(fù)雜表達(dá)式

問(wèn)題1：如何由y=f（x）的圖象變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2的圖像？

思路1：將其變換方法分四步，第一步由y=f（x）變換得到y(tǒng)=f（x-1），第二步由y=f（x-1）變換得到y(tǒng)=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）變換得到y(tǒng)=3f（2x-1），第四步由y=3f（2x-1）變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2，可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可表述為：先把y=f（x）的圖像向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x-1）的圖像，再把y=f（x-1）的圖像橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（2x-1）的圖像，再把y=f（2x-1）的圖像縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=3f（2x-1）的圖像，最后把y=3f（2x-1）的圖像向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2的圖像。

思路2：將其變換方法分四步，第一步由y=f（x）變換得到y(tǒng)=f（2x），第二步由y=f（2x）變換得到y(tǒng)=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）變換得到，第四步由變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2，可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可以表述為：先把y=f（x）的圖像橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（2x）的圖像，再把y=f（2x）的圖像向右平移單位得到y(tǒng)=f（2x-1）的圖像，再把y=f（2x-1）的圖像向上平移個(gè)單位得到的圖像，最后把的圖像縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2的圖像。

思路3：將其變換方法分五步，第一步由y=f（x）變換得到y(tǒng)=f（2x），第二步由y=f（2x）變換得到y(tǒng)=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）變換得到y(tǒng)=f（2x-1）+2，第四步由y=f（2x-1）+2變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+6，第五步由y=3f（2x-1）+6變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2，可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可以表述為：先把y=f（x）的圖像橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（2x）的圖像，再把y=f（2x）的圖像向右平移單位得到y(tǒng)=f（2x-1）的圖像，再把y=f（2x-1）的圖像向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=f（2x-1）+2的圖像，再把y=f（2x-1）+2的圖像縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=3f（2x-1）+6的圖像，最后把y=3f（2x-1）+6的圖像向下平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2的圖像。

顯然，思路3的變換方法比較麻煩，思路3的第四步是由y=f（2x-1）+2變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+6，能否由y=f（2x-1）+2直接變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2呢？如果可行，那就不需要第五步了。答案是否定的。因?yàn)槊恳徊降淖儞Q都是考慮把原式中的x、y替換成什么，所以要由y=f（2x-1）+2變換得到y(tǒng)=3f（2x-1）+2，必須使f（2x-1）的系數(shù)變?yōu)?，那就必須把y=f（2x-1）+2中的y用y 替換，這樣替換后的表達(dá)式為y=f（2x-1）+2，兩邊同乘3，得到的表達(dá)式是y=3f（2x-1）+6，而不是y=3f（2x-1）+2。

以上3種思路比較典型，還有其他的變換思路，這里不一一羅列。

比較以上3種變換思路，思路1較為簡(jiǎn)單，因此由簡(jiǎn)單表達(dá)式到復(fù)雜表達(dá)式的變換比較簡(jiǎn)捷的思路為：橫坐標(biāo)的變換是“先平移再伸縮”，縱坐標(biāo)的變換是“先伸縮再平移”。

2.從復(fù)雜表達(dá)式到簡(jiǎn)單表達(dá)式

問(wèn)題2：如何由y=4f（2x+1）-3的圖象變換得到y(tǒng)=f（x）的圖像？

思路1：將其變換方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3變換得到y(tǒng)=4f（2x+1），第二步由y=4f（2x+1）變換得到y(tǒng)=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）變換得到y(tǒng)=f（x+1），第四步由y=f（x+1）變換得到y(tǒng)=f（x），可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可表述為：先把y=4f（2x+1）-3的圖像向上平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=4f（2x+1）的圖像，再把y=4f（2x+1）的圖像縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（2x+1）的圖像，再把y=f（2x+1）的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（x+1）的圖像，最后把y=f（x+1）的圖像向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）的圖像。

思路2：將其變換方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3變換得到y(tǒng)=f（2x+1）-，第二步由y=f（2x+1）-變換得到y(tǒng)=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）變換得到y(tǒng)=f（x+1），第四步由y=f（x+1）變換得到y(tǒng)=f（x），可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可表述為：先把y=4f（2x+1）-3的圖像的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（2x+1）-的圖像，再把y=f（2x+1）-的圖像向上平移個(gè)單位得到y(tǒng)=f（2x+1）的圖像，再把y=f（2x+1）的圖像向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=f（2x）的圖像，最后把y=f（2x）的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（x）的圖像。

問(wèn)題2還有其他的變換思路，這里不一一羅列。

從復(fù)雜表達(dá)式到簡(jiǎn)單表達(dá)式的變換比較簡(jiǎn)捷的思路為：縱坐標(biāo)的變換是“先平移再伸縮”，橫坐標(biāo)的變換是“先伸縮再平移”。

三、對(duì)稱(chēng)變換

①將y=f（x）中的x替換成-x得到y(tǒng)=f（-x），則y=f（x）的圖像與y=f（-x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);②將y=f（x）中的y替換成-y得到y(tǒng)=-f（x），則y=f（x）的圖像與y=-f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);③將y=f（x）中的x替換成-x，同時(shí)把y替換成-y得到y(tǒng)=-f（-x），則y=f（x）的圖像與y=-f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);④將y=f（x）中的x替換成y同時(shí)將y=f（x）中的y替換成x得到x=f（y），則y=f（x）的圖象與x=f（y）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。