鋸齒螺紋M值的測量

張成悌

(中國測試技術(shù)研究院，成都 610021)

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鋸齒螺紋M值的測量

張成悌

(中國測試技術(shù)研究院，成都 610021)

文章介紹了由作者自行推導(dǎo)的幾何關(guān)系清晰的鋸齒螺紋M值計(jì)算公式，并與其他公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，給出這些公式的適用范圍。通過對幾種方法的總結(jié)與比對，提供了一個(gè)具有很好參考價(jià)值的資料。

鋸齒螺紋；中徑；M值；測量

0 引言

鋸齒螺紋的計(jì)算公式是螺紋一般的通用計(jì)算公式，其意義非常重要。鋸齒螺紋是非對稱螺紋，它與對稱螺紋M值的計(jì)算是不同的，但是當(dāng)兩個(gè)牙側(cè)角相等時(shí)它就變成對稱螺紋的計(jì)算公式了。根據(jù)鋸齒螺紋的計(jì)算公式可以計(jì)算各種螺紋實(shí)測參數(shù)的M值。早期文獻(xiàn)和規(guī)范多引用徐孝恩先生文獻(xiàn)[1]的公式。JJF 1345-2012圓柱螺紋量規(guī)校準(zhǔn)規(guī)范[2]基本采用了歐盟關(guān)于用機(jī)械檢測圓柱螺紋量規(guī)中徑的指南(EA-10/10)[3]的內(nèi)容，所以它采用了歐盟的Berndt公式[4-5]。而GB/T 28703—2012圓柱螺紋檢測方法[6]國家標(biāo)準(zhǔn)采用了蘇宗康先生的計(jì)算公式[7-8](簡稱蘇氏公式)。文獻(xiàn)[6]并沒有給出非對稱圓柱螺紋已知螺紋中徑d2計(jì)算螺紋M值的公式，但是在文獻(xiàn)[8]中蘇宗康先生給出了非對稱圓柱螺紋已知螺紋中徑d2計(jì)算螺紋M值的公式。該公式是正確的，只是編程時(shí)尚缺少一些條件。劉遠(yuǎn)模先生在文獻(xiàn)[9]從建立笛卡爾空間坐標(biāo)系及螺旋面方程以及用向量推導(dǎo)了非對稱螺紋M值的計(jì)算公式(簡稱劉氏公式)，并在文獻(xiàn)[10]發(fā)表了他對歐盟公式和蘇氏公式的看法。但是上述三個(gè)公式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，幾何關(guān)系不清晰，讀者很難理解及推導(dǎo)。作者在文獻(xiàn)[11]給出了幾何關(guān)系清晰，結(jié)構(gòu)簡單的對稱螺紋M值的計(jì)算公式。把文獻(xiàn)[11]的計(jì)算公式拓展到非對稱螺紋M值的計(jì)算，可以讓讀者明瞭公式的幾何關(guān)系及其推導(dǎo)過程。

1 鋸齒外螺紋M值的計(jì)算公式

作者在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，考慮左右牙廓面的接觸情況得到下面的計(jì)算公式(簡稱張氏公式)。

圖1是螺紋軸向截面牙廓的幾何圖形以及接觸點(diǎn)T和Q分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)處于軸向垂直截面時(shí)與量針中心的幾何關(guān)系。當(dāng)量針、量棒中心Ct0在螺紋軸向垂直截面上，其兩接觸點(diǎn)T和Q分別在與軸向垂直截面有wt2和wt1夾角的軸向截面上。T點(diǎn)是量針、量棒與輔牙側(cè)的接觸點(diǎn)，在圖1上將此點(diǎn)轉(zhuǎn)至螺紋軸向垂直截面上。Ct是接觸點(diǎn)T經(jīng)轉(zhuǎn)wt2角后，接觸點(diǎn)T位于軸向垂直截面時(shí)量針、量棒的圓心位置。同樣在主牙側(cè)也有接觸點(diǎn)Q，當(dāng)其經(jīng)轉(zhuǎn)wt1角后，接觸點(diǎn)Q位于軸向垂直截面時(shí)量針、量棒的圓心是Cq。Ct、Ct0、Cq是量針圓心螺旋線上的點(diǎn)。CtT及CqQ為量針、量棒的半徑rm，TT2與接觸點(diǎn)T的圓柱母線夾角是T點(diǎn)螺旋角lt2，QQ2與接觸點(diǎn)Q的圓柱母線夾角是Q點(diǎn)螺旋角lt1。

TT2與TCt的夾角是輔牙側(cè)在中徑螺旋角lt2截面內(nèi)的牙側(cè)角at2，QQ2與QCq的夾角是主牙側(cè)在中徑螺旋角lt1截面內(nèi)的牙側(cè)角at1。TT2=rmcosat2，TT1=rmcosat2coslt2，T3T1是在旋轉(zhuǎn)wt2角后Ct點(diǎn)相對Ct0點(diǎn)在軸向的位移。QQ2=rmcosat1，QQ3=rmcosat1coslt1，T3Q4是在旋轉(zhuǎn)wt1角后Cq點(diǎn)相對Ct0點(diǎn)在軸向的位移。

圖1 鋸齒螺紋接觸點(diǎn)在軸向截面上的幾何關(guān)系圖

T3T1=nPwt2/2p ，T3Q4=nPwt1/2p ，

由圖1可知：

Q5T=Q1T6，Q5T=Q5Q4+T3Q4+T3T1+T1T=T3T1+T1T+T3Q4+QQ3，而

Q1T6=P/2+(A1tana1+A2tana2)/2，Q5T=nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2

所以

nP(wt1+wt1)/p+dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+[(dt1-d2)tana1+A2tana2]

dt1=dccoswt1-dmsinat1=(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1，

將dt1的關(guān)系代入，可以得到

nP(wt1+wt2)/p +dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+({[(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1]-d2}tana1+A2tana2)

A2=[dm(cosat1coslt1+cosat2coslt2)+nP(wt1+wt2)/p -P-d2(coswt1/coswt2-1)tana1-dm(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]/(tana2+tana1coswt1/coswt2)

(1-1)

tanlt2=nP/p dt2

(1-2)

tanat2=tana2coslt2

(1-3)

tanwt2=dmcosat2sinlt2/(dt2+dmsinat2)

(1-4)

tanlt1=nP/p dt1

(1-5)

tanat1=tana1coslt1

(1-6)

tanwt1=dmcosat1sinlt1/(dt1+dmsinat1)

(1-7)

dt2=d2+A2

(1-8)

dt1=(dt2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1

(1-9)

dc=(dt2+dmsinat2)/coswt2

(1-10)

M=(dt2+dmsinat2)/coswt2+dm

(1-11)

計(jì)算M和dc由公式(1-1)至公式(1-11)進(jìn)行迭代計(jì)算得出。式中l(wèi)t2、at2、wt2的初始值用lf2、an2、wf2，dt1的初始值用dt1=d2+dm(sinaf2-sinaf1)。而

tanlf2=nP/p d2，

tanan2=tana2coslf2，

tanwf2=dmcosan2sinlf2/(d2+dmsinaf2)。

若求量針、量棒的最佳直徑dm0則應(yīng)使A2=0.即公式(1-1)的分子=0，由于dt2=d2，因此所有與dt2有關(guān)的角度下標(biāo)將改為中徑d2的下標(biāo)wt2=wf2，at2=an2，lt2=lf2。這樣得到公式

dm0=[P(1-n(wt1+wf2)/p )+d2(coswt1/coswf2-1)tana1]/[cosat1coslt1+cosan2coslf2-(sinaf2coswt1/coswf2-sinat1)tana1]

(1-12)

并由公式(1-5)～公式(1-9)及公式(1-12)進(jìn)行迭代計(jì)算得出量針、量棒的最佳直徑dm0。

2 鋸齒內(nèi)螺紋M值的計(jì)算公式

圖2是鋸齒螺紋內(nèi)螺紋接觸點(diǎn)在軸向垂直截面上的幾何關(guān)系圖。與鋸齒螺紋的外螺紋相比T3T1+T1T+T3Q4+QQ3=P/2+(A1tana1+A2tana2)/2是一樣的，不同之處外螺紋是：

nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2=P/2+[(dt1-d2)tana1+A2tana2]/2

圖2 鋸齒螺紋內(nèi)螺紋接觸點(diǎn)在軸向截面上的幾何關(guān)系圖

dt1=dccoswt1-dmsinat1=(d2+A2+dmsinat2)coswt1/coswt2-dmsinat1；

而內(nèi)螺紋是：

nP(wt1+wt2)/2p +rmcosat1coslt1+rmcosat2coslt2=P/2+[(d2-dt1)tana1+A2tana2]/2

dt1=dccoswt1+dmsinat1=(d2-A2-dmsinat2)coswt1/coswt1+dmsinat1。

將dt1的關(guān)系代入上式，得到

nP(wt1+wt2)/p +dmcosat1coslt1+dmcosat2coslt2=P+({d2-[(d2-A2-dmsinat2)coswt1/coswt2+dmsinat1]}tana1+A2tana2)

化簡后得到

A2(tana2+tana1coswt1/coswt2)=dm[cosat1coslt1+cosat2coslt2-(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]-P[1-n(wt2+wt1)/p ]+d2tana1(coswt1/coswt2-1)

因?yàn)闇y球要與輔助牙面上的中徑接觸，將關(guān)系代入后，并令A(yù)2=0，即dt2=d2，則

dm0={P[1-n(wt1+wf2)/p ]-d2(coswt1/coswf2-1)tana1}/{cosat1coslt1+cosan2coslf2-(sinat1coswt1/coswf2-sinat1)tana1}

(2-1)

式中，tanwf2=dm0cosaf2sinlf2/(d2-dm0sinaf2)，

tanwt1=dm0cosat1sinlt1/(dt1-dm0sinat1)，

dt1=(d2-dm0sinan2)coswt1/coswf2+dm0sinat1，

其余與外螺紋相同。

dt1的初始值用dt1=d2-0.5431P(sina2-sina1)，經(jīng)迭代計(jì)算得出內(nèi)螺紋測球的最佳直徑dm0。

為了求測量鋸齒螺紋內(nèi)螺紋的兩測球中心距離dc按下列公式進(jìn)行迭代計(jì)算。其中tanlt2,tanat2,tanlt1,tanat1的計(jì)算公式與前述外螺紋公式相同。

tanwt2=dmcosat2sinlt2/(dt-dmsinat2)

(2-2)

tanwt1=dmcosat1sinlt1/(dt1-dmsinat1)

(2-3)

A2=[dm(cosat1coslt1+cosat2coslt2)+nP(wt1+wt2)/p -P+d2(coswt1/coswt2-1)tana1-dm(sinat2coswt1/coswt2-sinat1)tana1]/(tana2+tana1coswt1/coswt2)

(2-4)

dt2=d2-A2

(2-5)

dt1=(dt2-dmsinat2)coswt1/coswt2+dmsinat1

(2-6)

dc=(dt2-dmsinat2)/coswt2

(2-7)

式中：lt2、at2、wt2、dt2的初始值用lf2、af2、wf2、d2代入，dt1的初始值用dt1=d2-dm(sinaf2-sinaf1)代入。

3 各公式的計(jì)算與比較

四個(gè)公式即歐盟公式、蘇氏公式、劉氏公式及本文張氏公式計(jì)算對稱螺紋都是正確的。對于非對稱螺紋只有歐盟公式是近似計(jì)算，有一定的計(jì)算誤差，其余三個(gè)公式都是正確的。現(xiàn)以多頭螺紋計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 各公式計(jì)算多頭鋸齒螺紋的M值結(jié)果對照表 mm

*由張成悌和劉遠(yuǎn)模分別按文獻(xiàn)[8]編程，計(jì)算結(jié)果一致。

各公式比較的結(jié)論：

1)文獻(xiàn)[1]的徐孝恩公式：由于計(jì)算精度較低，現(xiàn)在已經(jīng)被淘汰。

2)其余四公式對于對稱牙型的各種內(nèi)、外螺紋都能得到一致的計(jì)算結(jié)果。歐盟公式對于Tr28×64(P8)多頭梯形內(nèi)螺紋等更大螺旋角的螺紋受到限制而無法運(yùn)算(系指劉遠(yuǎn)模按歐盟公式編程)。

3)對于不對稱牙型的內(nèi)、外螺紋，歐盟公式還是一種近似計(jì)算,用于對稱牙型螺紋因制造公差造成的不對稱，其計(jì)算精度還是足夠的。對于單頭鋸齒外螺紋歐盟公式的計(jì)算誤差最大不超過8μm，對于單頭鋸齒內(nèi)螺紋歐盟公式的計(jì)算誤差一般不會(huì)超過10～14μm，特殊情況也不會(huì)超過30μm。對于多頭鋸齒螺紋歐盟公式的計(jì)算誤差可達(dá)到100～200μm以上。所以這個(gè)公式不能用于多頭鋸齒螺紋的計(jì)算。歐盟公式因?yàn)樵谟?jì)算中輔助角只有一個(gè)θ角，而不是分為左右兩側(cè)有關(guān)。在多頭鋸齒螺紋計(jì)算中產(chǎn)生較大誤差也是很自然的。劉、張、蘇公式可以適用于一切單頭鋸齒內(nèi)、外螺紋和絕大多數(shù)多頭鋸齒內(nèi)、外螺紋，在無法求得最佳針(球)徑時(shí)，仍然可以找到適當(dāng)?shù)尼?球)徑用于計(jì)算。

4)劉、張、蘇公式在表達(dá)形式上是不一樣的，推導(dǎo)過程也不一樣，分析問題的著眼點(diǎn)也不相同，而在螺紋各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的計(jì)算結(jié)果是一致的，說明三個(gè)公式都是正確的。本文作者公式在表達(dá)形式上簡單、幾何關(guān)系明晰，公式與圖形可以對照，容易為讀者所接受。作者軟件還在發(fā)生M值小于螺紋外徑時(shí)及發(fā)生干涉時(shí)給出警示及避免干涉的方法；劉氏公式結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，很難讓讀者理解其推導(dǎo)過程；蘇氏公式用三種不同的公式解決對稱螺紋的M和d2的計(jì)算、非對稱螺紋求d2的計(jì)算、非對稱螺紋求M值的計(jì)算。其計(jì)算非對稱螺紋求d2的公式比較突出、新穎，應(yīng)用此公式仍然可以編程逆算M值，但其公式有部分幾何關(guān)系不是很清晰。

4 對JJF 1345—2012及GB/T 28703—2012的評價(jià)

1)JJF 1345-2012圓柱螺紋量規(guī)校準(zhǔn)規(guī)范[2](以下簡稱規(guī)范)基本采用了歐盟關(guān)于用機(jī)械檢測圓柱螺紋量規(guī)中徑的指南(EA-10/10)[3]的內(nèi)容。在螺紋測量方面實(shí)現(xiàn)與歐盟先進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)直接對接。

2)GB/T 28703—2012圓柱螺紋檢測方法[6](以下簡稱方法)在計(jì)算公式方面采用國內(nèi)專家的公式[7]達(dá)到了國際先進(jìn)水平，在螺紋測量方面開創(chuàng)了國家標(biāo)準(zhǔn)與規(guī)范的先河。計(jì)算結(jié)果表明我國在螺紋中徑測量計(jì)算方面處于國際領(lǐng)先地位。

3)規(guī)范與方法在螺紋測量領(lǐng)域開創(chuàng)了計(jì)算機(jī)應(yīng)用的新時(shí)代。

4)規(guī)范與方法均介紹了量針法及量球法(雙球測頭)用于測量內(nèi)、外螺紋中徑，以及先進(jìn)的二維輪廓掃描法。規(guī)范與方法均沒有介紹掛鉤量球法測量內(nèi)螺紋中徑，即臥式光學(xué)計(jì)或萬能測長儀用掛鉤測量內(nèi)螺紋的方法。而國內(nèi)仍然有大量用戶使用著該方法。不知是考慮不周或想淘汰該方法。

5)規(guī)范與方法在介紹量球法(雙球測頭)時(shí)均介紹用標(biāo)準(zhǔn)光面環(huán)規(guī)來校準(zhǔn)雙球測頭的尺寸。這種方法校準(zhǔn)雙球測頭的尺寸只能用于光滑內(nèi)孔尺寸的測量。測量內(nèi)螺紋時(shí)要用相應(yīng)牙型角的側(cè)塊與量塊組成標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)尺寸校準(zhǔn)雙球測頭的尺寸；測量外螺紋時(shí)要用相應(yīng)牙型角的側(cè)塊與量塊組成標(biāo)準(zhǔn)外尺寸或帶相應(yīng)牙型角V型槽的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)校準(zhǔn)雙球測頭的尺寸。用錯(cuò)校準(zhǔn)方法會(huì)帶來較大的校準(zhǔn)誤差。特別是對于高精度螺紋量規(guī)的測量是不可忽視的。作者在萬能測長儀用掛鉤法測量內(nèi)螺紋時(shí)用環(huán)規(guī)校零還是用V型側(cè)塊及量塊校零曾論及這個(gè)問題[12]。

6)在計(jì)算最佳量針尺寸方面，規(guī)范與歐盟規(guī)范一致，是采用軸向近似公式。方法在附錄中給出的對稱牙型螺紋量針最佳直徑經(jīng)校核都是在中徑處接觸。建議按這些尺寸修改量針標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的量針名義尺寸。

7)規(guī)范與方法終于把在過去螺紋檢測方面的規(guī)范及標(biāo)準(zhǔn)中出現(xiàn)的不負(fù)責(zé)任的“螺紋環(huán)規(guī)檢驗(yàn)發(fā)生爭議時(shí)，只要判定環(huán)規(guī)為合格的校對塞規(guī)經(jīng)檢驗(yàn)是合格的，該環(huán)規(guī)判為合格。”字句刪除掉了。

8)在確定測量不確定度時(shí)，取k=2，即U95。應(yīng)該遵守GB/T 18779.1—2002關(guān)于產(chǎn)品合格判定的規(guī)則(見圖3)。不確定區(qū)由在公差邊界處加、減一個(gè)擴(kuò)展不確定度構(gòu)成。另外包含因子取k=3更好。

圖3 合格區(qū)、不合格區(qū)、不確定區(qū)與生產(chǎn)公差的關(guān)系圖

5 結(jié)束語

規(guī)范和方法取得了很大的成就，但是美中不足的是規(guī)范與方法沒有完全協(xié)調(diào)一致。今后建議標(biāo)準(zhǔn)與規(guī)范成立統(tǒng)一的兩個(gè)起草小組，重大技術(shù)問題統(tǒng)一討論，確定其修改內(nèi)容,然后再分頭起草。修改時(shí)要廣泛聽取社會(huì)上各方面的意見，使標(biāo)準(zhǔn)與規(guī)范取得更好的社會(huì)效益。

感謝劉遠(yuǎn)模先生提供的計(jì)算軟件。

[1] 徐孝恩,編著.螺紋檢驗(yàn)與測量.北京：中國計(jì)量出版，長度計(jì)量測試叢書14分冊:150～166

[2] 王為農(nóng),等.JJF 1345—2012圓柱螺紋量規(guī)校準(zhǔn)規(guī)范.中國質(zhì)檢出版社,2012

[3] EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical ProbingEA-10/10，P10，P20

[4] M.Kochsiek und J.Lerch，“Zur Ermittlung von Bestimmungsgr?ssen an Gewinden”，PTB-Bericht PTB-Me-4 (1974).

[5] G.Berndt，“Die Anlagekorrekturen bei der Bestimmung des Flankendurchmessers von symmetrischen und unsymmetrischen Aussen- und Innengewinden nach der Dreidrahtmethode oder mittels zweier Kugeln”，Zeitschrift für Instrumentenkunde 60 (1940)：141ff，177ff，209ff，237ff，272ff

[6] 蔡明鋼,等.GB/T 28703—2012圓柱螺紋檢測方法.中國質(zhì)檢出版社,2012

[7] 蘇宗康.非對稱螺紋精密測量的誤差研究.實(shí)用測試技術(shù)，1999(6):29-31

[8] 蘇宗康.非對稱阿基米德螺紋的精密測量.計(jì)量技術(shù),1995.(2):6-9

[9] 張成悌.一種簡單準(zhǔn)確的螺紋、蝸桿M值的計(jì)算方法.計(jì)量技術(shù),2001 (11)

[10] 劉遠(yuǎn)模.螺紋單一中徑的三針和量球法測量.計(jì)量技術(shù)，2014(2)

[11] 劉遠(yuǎn)模.量針測量螺紋斜置誤差的公式討論.計(jì)量技術(shù),2009(2)

[12] 張成悌.螺紋環(huán)規(guī)單一中徑比較測量中的若干問題[J].計(jì)量技術(shù)，2006(06):37-39

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.2.13