基于內部級數法的高均勻度磁傳感器標定裝置設計

金 多，程德福，王言章，周志堅

(吉林大學儀器科學與電氣工程學院，吉林長春 130061)

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基于內部級數法的高均勻度磁傳感器標定裝置設計

金 多，程德福，王言章，周志堅

(吉林大學儀器科學與電氣工程學院，吉林長春 130061)

在對磁傳感器進行標定時，Maxwell線圈在磁梯度場均勻度要求高且對線圈空間尺寸有嚴格限制時并不適用，針對這個問題設計了一種具有高均勻度的磁梯度線圈作為磁傳感器標定裝置。應用內部級數法對單個軸對稱線圈產生的磁場進行數理分析，進而得到其磁場梯度分布的一般特性，在此基礎上計算出高均勻度磁梯度線圈的結構參數與均勻度。對線圈模型進行仿真分析并完成了磁梯度線圈裝置的設計和制作。最后，根據仿真結果與實際測量得到的數據，驗證了設計的正確性。

磁傳感器；內部級數法；均勻度；標定；仿真

0 引言

在磁法勘探領域，與傳統(tǒng)的磁場測量相比，磁梯度測量有著顯著的優(yōu)勢，如對磁分辨率高，基本不受地磁日變和正常場等因素的影響等[1-2]，磁梯度測量已在航空磁測、海洋磁測及井中磁測等領域得到廣泛的應用[3-4]。而在磁傳感器研制過程中，可通過標定的方法來檢測其磁梯度測量的性能指標，一般選擇磁梯度線圈作為標定裝置。

在現有的磁梯度線圈裝置中，最常見的是Maxwell線圈，它和Helmholtz線圈的設計方法類似，區(qū)別僅僅是電流的方向和線圈半徑與間距的關系[5]，Helmholtz線圈可以產生一定均勻度的均勻磁場，而Maxwell線圈則可以產生均勻磁梯度場。但是Maxwell線圈所產生的磁梯度場的均勻度不高，在對均勻度要求高的場合下，只能通過增大線圈的幾何尺寸來滿足要求。顯然，這樣不僅在制作線圈與實際應用時非常不便，而且在對線圈空間尺寸有嚴格限制時，Maxwell線圈已經不能滿足設計要求。針對這個問題，提出了一種高均勻度磁梯度線圈的設計方法，該方法采用內部級數法[6]，即將線圈的磁場梯度展開成級數形式，計算出線圈的幾何尺寸和電流大小使級數的系數變?yōu)榱?，從而顯著提高均勻磁梯度場的均勻度。

1 單個軸對稱線圈的磁場梯度分析

無論磁場線圈的結構如何變化，其基本單元都是單個軸對稱圓環(huán)線圈，所以首先應分析單個圓環(huán)線圈的磁場梯度分布情況，以此為基礎來設計高均勻度磁梯度線圈裝置。

根據電磁場理論可知，在沒有電流存在的區(qū)域，必定存在標量磁位Um，并且其滿足拉普拉斯方程

▽Um=0

(1)

通過解拉普拉斯方程，可以得到線圈在中心點附近的磁場強度的級數形式[7]：

(2)

(3)

式中：r和θ為球坐標分量;Hz和Hρ分別為磁場強度的軸向分量和徑向分量;Pn為n階勒讓德多項式。

由上式可知軸對稱線圈產生的磁場有軸向分量磁場Hz(r,θ)與徑向分量磁場Hρ(r,θ)，并且在原點附近軸向分量磁場遠大于徑向分量磁場。根據勒讓德多項式的性質︱Pn(cosθ)︱≤1，可知軸向分量磁場又以線圈軸線上的軸向分量磁場變化最快，所以在分析磁場梯度的均勻度時，只需分析其軸線上的磁場梯度變化。

在線圈的軸線上，即θ=0，r=Z處，線圈的軸向分量磁場強度為

(4)

可以看出式(4)實際上就是線圈在它軸線上的磁場強度H(0，0，Z)在中心點附近的泰勒展開式。而泰勒系數的表達式

(5)

對于單個軸對稱圓環(huán)線圈，可以得到系數An的表達式[8]：

(6)

式中：R為圓環(huán)線圈的半徑；I為線圈電流；β為線圈圓心在軸線上的坐標與線圈半徑之比；Ln(β) 為圓環(huán)線圈的磁場系數。

同時可以得到單個軸對稱圓環(huán)線圈軸線上磁場梯度的表達式：

(7)

磁場梯度的均勻度定義為一定半徑球面上的磁場梯度相對于圓心點的磁場梯度的相對變化量，這個變化量越小，磁梯度線圈所具有的均勻度越高。均勻度表達式為

(8)

式中r為球形均勻區(qū)域的半徑。

2 高均勻度磁梯度線圈設計

通過對單個軸對稱線圈的磁場梯度分析，將磁場梯度用級數的形式表達，由式(7)可知，磁場系數L1(β)決定了線圈在它中心點的磁場梯度大小，而其余磁場系數Ln(β)(n=2,3,4,…)則決定了線圈在中心附近各點的磁場梯度相對于中心點磁場梯度的偏離程度。所以為了得到更高的均勻度，在設計線圈裝置時應盡可能使磁場系數L2(β)=L3(β)=L4(β)=…=Ln(β)=0，可通過兩對圓環(huán)線圈按一定參數關系組合的方式來實現。

圖1為高均勻度磁梯度線圈結構圖，該系統(tǒng)由兩對關于xOy平面對稱的圓環(huán)線圈組成，線圈半徑分別為R1、R2，線圈中的電流分別為I1、I2，電流方向相反，線圈圓心位于z軸上，并且線圈圓心與坐標原點的距離分別為a1、a2。由圓環(huán)線圈的磁場系數特性可知，其奇次項系數是關于β的奇函數，由于兩對圓環(huán)線圈關于xOy平面對稱且電流方向相反，所以線圈系統(tǒng)中將不存在偶次項，對于整個線圈系統(tǒng)，其磁場梯度表達式為

(9)

式中：β1=a1/R1;β2=a2/R2。

圖1 高均勻度磁梯度線圈結構圖

為使線圈系統(tǒng)具有高均勻度的磁場梯度，應選擇合適的線圈結構參數，即磁場系數表達式中的4個未知數I1/I2、R1/R2、β1與β2，使其磁場系數為零。設I1=I2，在此條件下求解磁場系數的方程組可以得到線圈系統(tǒng)的其余3個結構參數關系：

(10)

式(10)為非線性方程組，無法獲得解析解，應用Matlab里的fsolve函數可求得方程組的數值解。它的求解方式為：[x,fval]= fsolve(fun,x0,options)。其中，fun是用于定義需求解的非線性方程組的函數文件名，x0是變量初值，options用于對優(yōu)化參數的設置。通過求解可以得到：β1=0．539 3，β2=1．513 1，R1/R2=1．635 5。同理，可以分別在R1=R2，a1=a2即β1/β2=R2/R1的條件下分別計算出高均勻度磁梯度線圈的結構參數關系，同時根據式(8)可以得到在不同結構參數關系下線圈系統(tǒng)的均勻度，如表1所示。通過以上分析可知，如果繼續(xù)增加圓環(huán)線圈，線圈系統(tǒng)理論上將具有更高的均勻度。但是由于內部級數法本身的局限性，實際上均勻度并不能達到理論計算值。

表1 不同條件下高均勻度磁梯度線圈的結構參數與均勻度

3 實驗驗證

項目要求磁傳感器標定裝置可以在邊長為15cm的正方體空間范圍內產生100pT/m的磁場梯度，精度為0．1%，同時要求裝置占用的空間在邊長為70cm的正方體范圍內。根據設計要求與均勻度的定義可計算出均勻磁梯度場應在r=11 cm的球形空間范圍內，如果采用Maxwell線圈作為標定裝置，根據其均勻磁場梯度表達式[9]

(11)

與均勻度表達式

(12)

可以計算出Maxwell線圈的直徑應為90．8 cm。顯然，已經超過設計要求的空間范圍，不能滿足設計要求。由表1可知，在R1=R2的線圈結構參數關系下，線圈的均勻度最高，并且相對于a1=a2與I1=I2這兩種線圈結構，加工制作簡單，結構穩(wěn)定，應用方便。如采用這種結構的線圈作標定裝置，根據設計的要求可以計算出線圈參數：R1=R2=28 cm；I1=1．65 μA；I2=12．29 μA；a1=12．2 cm；a2=33．3 cm。可見，線圈的結構參數符合磁傳感器標定裝置的尺寸要求。

3．1 模型仿真

根據以上分析所得到的線圈參數，可對線圈參數模型仿真。仿真實驗采用COMSOL Multiphysics仿真軟件[10]。仿真過程主要包括全局定義、模型設置、求解與后處理。在全局定義中設置線圈中的電流參數。在模型設置中根據線圈的結構參數按照1∶1的比例繪制三維線圈模型，同時構建模型的求解區(qū)域。模型建立之后進行網格劃分，根據計算機性能合理地設置網格大小，一般網格劃分越小、密度越大時，仿真結果具有更高的準確性。以上過程完成之后可以對模型進行求解。

為分析線圈模型所產生的均勻磁梯度場，在仿真得到線圈的磁場分布情況后，在線圈軸線上以坐標原點為起點，沿z軸正方向取11 cm長的直線，分析這條直線上的磁場梯度變化情況，如圖2所示。在理論計算時線圈中的電流為線電流，而仿真過程中由于線圈繞組截面的影響，仿真所得磁場梯度值小于理論值。并且由于內部級數法的局限性，距離線圈中心越遠，與理論值誤差越大，但整體誤差在0．1%的精度要求范圍內，這證明設計方法正確。

圖2 線圈軸線上磁場梯度仿真值

3．2 試驗測量

為防止外部環(huán)境磁場的干擾，整個測量過程在屏蔽室中進行，屏蔽室的屏蔽度為60 dB．線圈裝置的供電電源為恒流源，選用6221型直流電流源，其電流精度為0．05%。選用Mag-03MS型三軸磁通門傳感器測量磁場，其測量范圍為-70～70 μT，線性誤差小于0．001 5%．綜合考慮線圈裝置的加工精度與安裝誤差，其總體測量不確定度小于0．1%．測量時傳感器從線圈裝置的中心位置開始，為保證傳感器沿軸線以確定距離移動，采用了專用機構，并且每隔1 cm進行1次磁場測量。對測量結果處理得到軸線上各點的磁場梯度值，如圖3所示。試驗測量的梯度值與理論值誤差在0．1%范圍內，而且測量值與仿真值的變化趨勢相同，距離線圈中心越遠，磁場梯度越小。同時，由于實際測量環(huán)境與線圈裝置制作精度的影響，測量值要小于仿真值。

圖3 線圈軸線上磁場梯度測量值

4 結束語

本文應用內部級數法設計了具有高均勻度的磁梯度線圈裝置，完成了線圈模型的仿真并進行了實際測量，結果表明：線圈裝置可以在邊長為15 cm的正方體空間范圍內產生100 pT/m的磁場梯度，精度優(yōu)于0．1%，可應用于磁傳感器的標定。同時，根據本文的內部級數分析方法，在以后設計不同指標的高均勻度磁傳感器標定裝置時可方便、快捷地確定線圈的各項參數。

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Design of Magnetic Sensor Calibration Device with High Uniformity Based on Internal Series Method

JIN Duo,CHENG De-fu,WANG Yan-zhang,ZHOU Zhi-jian

(College of Instrumentation and Electrical Engineering,Jilin University,Changchun 130061,China)

Maxwell coil cannot calibrate the magnetic sensor when the high uniformity of magnetic gradient is required and the space size is strictly limited．To solve this problem,a magnetic gradient coil with high uniformity was designed as magnetic sensor calibration device．Internal series method was used to analyse the magnetic field that a single axial symmetric coil generated,and the general characteristics of the magnetic gradient field distribution were got．On this basis,the structural parameters and the uniformity of magnetic gradient coil with high uniformity were calculated．Simulation analyses were carried out on the coil model and the design and production of magnetic gradient coil device were finished．Finally,the data obtained from actual measurement and simulation proved the correctness of the design．

magnetic sensor;internal series method;uniformity;calibration;simulation

2014-03-22 收修改稿日期：2014-10-08

TM937．1

A

1002-1841(2015)03-0036-03

金多(1989—)，碩士研究生，主要研究方向為磁傳感器的數字化與標定技術，E-mail:jinduo100000@126．com 程德福(1959—)，教授，博士生導師，主要研究方向為弱信號檢測、地下信息探測儀器，E-mail: chengdefu@jlu．edu．cn