一般對(duì)偶框架下基于lp(0
2015-06-09 20:27:34吳焚供張然然覃耀海鐘彭洪
吳焚供，張然然，覃耀海，鐘彭洪
(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510303)
?
一般對(duì)偶框架下基于lp(0吳焚供，張然然，覃耀海，鐘彭洪
(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510303)
壓縮感知理論指出，只要信號(hào)是可壓縮的或稀疏的，就能以較低的頻率采樣信號(hào)，并能高概率的重構(gòu)該信號(hào)。在實(shí)際的應(yīng)用中, 許多信號(hào)只能在某些框架下具有稀疏表示，而無(wú)法在正交基下獲得稀疏表示。針對(duì)這一類(lèi)信號(hào)的恢復(fù)，一般采取的是l1-analysis方法。近期有些相關(guān)研究考慮了一般對(duì)偶框架下基于l1-analysis方法的信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題，在比前期l1-analysis方法更弱的條件下得到了更好的恢復(fù)結(jié)果。受此啟發(fā)，我們考慮了一般對(duì)偶框架下，基于lp(0壓縮感知；信號(hào)恢復(fù)；框架；對(duì)偶框架；l1-analysis
壓縮感知所考慮的問(wèn)題是如何將一個(gè)高維稀疏信號(hào)從數(shù)目不大的一組測(cè)量數(shù)據(jù)
y=Af+z
中恢復(fù)出來(lái)，其中A是m×n的測(cè)量矩陣，且m<一般情況下，考慮的信號(hào)f是在一組正交基下具有稀疏的 (或近乎稀疏的)表示，或者更一般的
情況，f本身便是稀疏的 (或近乎稀疏的)。如果測(cè)量矩陣A滿(mǎn)足限制等距性質(zhì)(RestrictedIsometryproperty)的條件(參考文[6-11])，則稀疏信號(hào)f可以通過(guò)求解如下的lp-最小化問(wèn)題
得到精確的 (或者誤差很小的) 恢復(fù)，這里p∈(0,1]。向量u∈Rn的lp-范數(shù)定義為
然而在信號(hào)處理的實(shí)際應(yīng)用中，越來(lái)越多的情況所涉及的信號(hào)f是在一個(gè)框架 (或過(guò)完備字典) 下是稀疏的，而不是在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下稀疏的。我們說(shuō)矩陣D∈Rn×d(n
本文中我們要研究的信號(hào)f就是在某個(gè)框架D下是稀疏的。即f=Dx,x∈Rd為稀疏向量。此時(shí)對(duì)f的相應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)變成
y=ADx+z
由于x是稀疏的，一種直接恢復(fù)f的方法很自然的被考慮到，即l1-synthesis(參考文[12-14])。該方法首先通過(guò)求解如下的l1-最小化問(wèn)題
另外一種可以代替l1-synthesis的方法是l1-analysis(參考文[14,18-19])。這個(gè)方法是通過(guò)求解如下l1最小化問(wèn)題：
(1)
(2)
(3)
(4)
受文[20]的啟發(fā)，考慮了一般對(duì)偶框架下，基于lp(0
(5)
采用新的方法，并得到了相應(yīng)的理論結(jié)果。
1 記號(hào)與定義
另記T01=T0∪T1，D*h(t)表示D*h的第t個(gè)元素。
下面對(duì)本文中常用到的概念給出具體的定義。
定義2[22]設(shè)測(cè)量矩陣A∈Rm×n，稱(chēng)A滿(mǎn)足常數(shù)為γs∈(0,1)的s階RIP性質(zhì)，如果對(duì)所有的s階稀疏的信號(hào)v，總成立
定義3[14]設(shè)D∈Rn×d為一框架，Σs為Rd中所有s階稀疏的向量之集，測(cè)量矩陣A滿(mǎn)足常數(shù)為δs的D-RIP性質(zhì)，是指
對(duì)所有的u∈Σs都成立。
2 引理和主要結(jié)果
在給出主要結(jié)果前，我們先給出如下兩個(gè)有用的引理。
抓好做實(shí)企業(yè)基層思想政治工作是一門(mén)大學(xué)問(wèn)，如何靈活應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢?duì)確保思想政治工作的實(shí)效性至關(guān)重要。毛澤東曾以“過(guò)河”是用“橋”或“船”的問(wèn)題作過(guò)生動(dòng)比喻，深刻地說(shuō)明了工作方式方法的重要性。
兩邊開(kāi)p次方后再平方，得
對(duì)t∈Tj求和，得
兩邊開(kāi)平方再乘p次方，得
對(duì)全體的j∈{1,2,…,l-1}求和，有
則問(wèn)題 (5) 的解與原始信號(hào)滿(mǎn)足
其中C1,C2為常數(shù)。
(7)
因?yàn)?/p>
由引理1可得
結(jié)合引理2，有
(8)
(9)
結(jié)合(7)-(9)式，可得
其中
證完。
[1]CANDSEJ,TAOT.Nearoptimalsignalrecoveryfromrandomprojections:Universalencodingstrategies? [J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2006, 52: 5406-5425.
[2]CANDSEJ,ROMBERGJ,TAOT.Robustuncertaintyprinciples:exactsignalreconstructionfromhighlyincompletefrequencyinformation[J].IEEETransactiononInformationTheory, 2006, 52: 489-509.
[3]CANDSEJ.Compressivesampling[J].InternationalCongressMathematicians, 2006, 3: 1433-1452.
[4]DONOHODL.Compressedsensing[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2006, 52: 1289-1306.
[5]DONOHODL,ELADM,TEMLYAKOVVN.Stablerecoveryofsparseovercompleterepresentationsinthepresenceofnoise[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2006, 52: 6-18.
[6]CHARTRANDR,STANEVAV.Restrictedisometrypropertiesandnonconvexcompressivesensing[J].InverseProblem, 2008, 24: 035020.
[7]FOUCARTS,LAIMJ.Sparsestsolutionsofunderdeterminedlinearsystemsvialq-minimization for 0[8]SAABR,CHARTRANDR,YILMAZO.Stablesparseapproximationsvianonconvexoptimization[C]∥IEEEInternationalConferenceonAcoustics,SpeechandSignalProcessing, 2008: 3885-3888.
[9]SHENY,LIS.Restrictedp-isometrypropertyanditsapplicationfornonconvexcompressivesensing[J].AdvancesinComputationalMathematics, 2012, 37(3): 441-452.
[10]DAVIESME,GRIBONVALR.Restrictedisometryconstantswherelpsparserecoverycanfailfor0[11]CANDSEJ.Therestrictedisometrypropertyanditsimplicationsforcompressedsensing[J].ComptesRendusMathematique, 2008, 346(9/10): 589-592.
[12]CHENSS,DONOHODL,SAUNDERSMA.Atomicdecompositionbybasispursuit[J].SIAMReview, 2001, 43: 129-159.
[13]ELADM,MILANFARP,RUBINSTEINR.Analysisversussynthesisinsignalpriors[J].InverseProblem, 2007, 23: 947-968.
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[15]RAUHUTH,SCHNASSANDK,VANDERGHEYNSTP.Compressedsensingandredundantdictionaries[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2008, 54: 2210-2219.
[16]TROPPJA.Greedisgood:Algorithmicresultsforsparseapproximation[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2004, 50: 2231-2242.
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[20]LIUY,MIT，LIS.Compressedsensingwithgeneralframesviaoptimal-dual-basedl1-analysis[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2012, 58(7): 4201-4214.
[21] 曲文長(zhǎng)，何友，劉衛(wèi)華，等. 框架理論及應(yīng)用[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社, 2009.
[22]CANDSEJ,TAOT.Decodingbylinearprogramming[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2005, 51: 4203-4215.
Stable Signal Recovery with Dual Frames vialp-Minimization for0WUFengong,ZHANGRanran,QINYaohai,ZHONGPenghong
(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou 510303, China)
The theory of compressed sensing points out that, sparse (or compressible) signals can be reconstructed with high probability by lower sampling frequency. In more and more practical applications, many signals are sparse or approximately sparse in terms of some frames rather than orthonormal bases. In such settings, one approach to recover the signals is known asl1-analysis.Somerecentstudyusingalternativedualframesasanalysisoperators,andprovideaweakerconditionthanexistingresultsintheliterature.Inspiredbythis,therecoveryofsuchkindofsignalswithgeneraldualframevialp-minimization(0compressed sensing; signal recovery; frame; dual frame;l1-analysis
10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.06.009
2015-04-21 基金項(xiàng)目：廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(Yq20145084602)；國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目(11426068)
吳焚供(1980年生)，男；研究方向：最優(yōu)化算法理論；E-mail:wufngong@gdei.edu.cn
TN
A
0529-6579(2015)06-0046-04
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中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)(中英文)2015年6期
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2015-06-09 20:27:34吳焚供張然然覃耀海鐘彭洪
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(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510303)
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一般對(duì)偶框架下基于lp(0 吳焚供，張然然，覃耀海，鐘彭洪 (廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510303) 壓縮感知理論指出，只要信號(hào)是可壓縮的或稀疏的，就能以較低的頻率采樣信號(hào)，并能高概率的重構(gòu)該信號(hào)。在實(shí)際的應(yīng)用中, 許多信號(hào)只能在某些框架下具有稀疏表示，而無(wú)法在正交基下獲得稀疏表示。針對(duì)這一類(lèi)信號(hào)的恢復(fù)，一般采取的是l1-analysis方法。近期有些相關(guān)研究考慮了一般對(duì)偶框架下基于l1-analysis方法的信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題，在比前期l1-analysis方法更弱的條件下得到了更好的恢復(fù)結(jié)果。受此啟發(fā)，我們考慮了一般對(duì)偶框架下，基于lp(0 壓縮感知；信號(hào)恢復(fù)；框架；對(duì)偶框架；l1-analysis 壓縮感知所考慮的問(wèn)題是如何將一個(gè)高維稀疏信號(hào)從數(shù)目不大的一組測(cè)量數(shù)據(jù) y=Af+z 中恢復(fù)出來(lái)，其中A是m×n的測(cè)量矩陣，且m< 一般情況下，考慮的信號(hào)f是在一組正交基下具有稀疏的 (或近乎稀疏的)表示，或者更一般的 情況，f本身便是稀疏的 (或近乎稀疏的)。如果測(cè)量矩陣A滿(mǎn)足限制等距性質(zhì)(RestrictedIsometryproperty)的條件(參考文[6-11])，則稀疏信號(hào)f可以通過(guò)求解如下的lp-最小化問(wèn)題 得到精確的 (或者誤差很小的) 恢復(fù)，這里p∈(0,1]。向量u∈Rn的lp-范數(shù)定義為 然而在信號(hào)處理的實(shí)際應(yīng)用中，越來(lái)越多的情況所涉及的信號(hào)f是在一個(gè)框架 (或過(guò)完備字典) 下是稀疏的，而不是在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下稀疏的。我們說(shuō)矩陣D∈Rn×d(n 本文中我們要研究的信號(hào)f就是在某個(gè)框架D下是稀疏的。即f=Dx,x∈Rd為稀疏向量。此時(shí)對(duì)f的相應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)變成 y=ADx+z 由于x是稀疏的，一種直接恢復(fù)f的方法很自然的被考慮到，即l1-synthesis(參考文[12-14])。該方法首先通過(guò)求解如下的l1-最小化問(wèn)題 另外一種可以代替l1-synthesis的方法是l1-analysis(參考文[14,18-19])。這個(gè)方法是通過(guò)求解如下l1最小化問(wèn)題： (1) (2) (3) (4) 受文[20]的啟發(fā)，考慮了一般對(duì)偶框架下，基于lp(0 (5) 采用新的方法，并得到了相應(yīng)的理論結(jié)果。 另記T01=T0∪T1，D*h(t)表示D*h的第t個(gè)元素。 下面對(duì)本文中常用到的概念給出具體的定義。 定義2[22]設(shè)測(cè)量矩陣A∈Rm×n，稱(chēng)A滿(mǎn)足常數(shù)為γs∈(0,1)的s階RIP性質(zhì)，如果對(duì)所有的s階稀疏的信號(hào)v，總成立 定義3[14]設(shè)D∈Rn×d為一框架，Σs為Rd中所有s階稀疏的向量之集，測(cè)量矩陣A滿(mǎn)足常數(shù)為δs的D-RIP性質(zhì)，是指 對(duì)所有的u∈Σs都成立。 在給出主要結(jié)果前，我們先給出如下兩個(gè)有用的引理。 抓好做實(shí)企業(yè)基層思想政治工作是一門(mén)大學(xué)問(wèn)，如何靈活應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢?duì)確保思想政治工作的實(shí)效性至關(guān)重要。毛澤東曾以“過(guò)河”是用“橋”或“船”的問(wèn)題作過(guò)生動(dòng)比喻，深刻地說(shuō)明了工作方式方法的重要性。 兩邊開(kāi)p次方后再平方，得 對(duì)t∈Tj求和，得 兩邊開(kāi)平方再乘p次方，得 對(duì)全體的j∈{1,2,…,l-1}求和，有 則問(wèn)題 (5) 的解與原始信號(hào)滿(mǎn)足 其中C1,C2為常數(shù)。 (7) 因?yàn)?/p> 由引理1可得 結(jié)合引理2，有 (8) (9) 結(jié)合(7)-(9)式，可得 其中 證完。 [1]CANDSEJ,TAOT.Nearoptimalsignalrecoveryfromrandomprojections:Universalencodingstrategies? 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