MV-代數(shù)的(→,⊕)-微分

王軍濤，辛小龍，賀鵬飛

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

MV-代數(shù)的(→,⊕)-微分

王軍濤，辛小龍*，賀鵬飛

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

在MV-代數(shù)上引入了(→,⊕)-微分,研究了MV-代數(shù)(→,⊕)-微分的性質(zhì)。定義并研究了正則(→,⊕)-微分,并討論了MV-代數(shù)的布爾中心上的(→,⊕)-微分的一些性質(zhì)。給出了中心主微分的概念,用中心主微分討論了(→,⊕)-微分與MV-代數(shù)其他微分之間的關(guān)系。并用中心主微分的不動點之集刻畫了Boole代數(shù)。最后, 定義并研究了微分MV-代數(shù)的微分理想, 并討論了正則微分MV-代數(shù)所有的微分理想組成的集合ID(A)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

MV-代數(shù)；(→,⊕)-微分；微分理想；布爾代數(shù)；Heyting格

MV-代數(shù)在文獻[1]提出后，不少學(xué)者對MV-代數(shù)的性質(zhì)進行了研究，得到了一些重要的結(jié)論[2-3]。微分理論來源于分析學(xué)，將它引入到代數(shù)系統(tǒng)中有助于研究代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。一些學(xué)者在環(huán)和近似環(huán)上研究了微分算子的性質(zhì)[4-5]。2004年文獻[6]將環(huán)上的微分算子理論引用到BCI-代數(shù)中，得到了一些重要的結(jié)果。2008年文獻[7]將微分算子的理論應(yīng)用到格上，并利用保序微分算子刻畫了模格、分配格。2013年文獻[8]深入研究了MV-代數(shù)上的(⊙,⊕)-微分和(?,⊙)-微分，并刻畫了保序(⊙,⊕)-微分。

本文在MV-代數(shù)上引入了(→,⊕)-微分的概念, 研究了MV-代數(shù)(→,⊕)-微分的一些性質(zhì)。定義并研究了正則(→,⊕)-微分,并討論了MV-代數(shù)的布爾中心上的(→,⊕)-微分的一些性質(zhì)。進一步,給出了中心主微分的概念, 并用中心主微分的不動點之集刻畫了Boole代數(shù)。最后,定義并研究了MV-代數(shù)的微分理想,得到了若d是A的冪等正則微分,則(ID(A),∧,∨,→,?,A)是一個Heyting格,其中ID(A)是微分MV-代數(shù)的所有微分理想的集合。

1 預(yù)備知識

定義1[2]一個MV-代數(shù)是(2,1,0)型代數(shù)(A,⊕,*,0)滿足下列公理：?x、y、z∈A,

(MV1)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z;

(MV2)x⊕y=y⊕x;

(MV3)x⊕0=x;

(MV4)x**=x;

(MV5)x⊕0*=0*;

(MV6) (x*⊕y)*⊕y=(y*⊕x)*⊕x。

在MV-代數(shù)A中記0*=1并定義二元運算⊙、∧、∨、→、?如下：

x⊙y=(x*⊕y*)*;x∨y=(x⊙y*)⊕y;x∧y=x⊙(x*⊕y);x→y=x*⊕y;x?y=x⊙y*。

顯然,(A,⊙,1)是一個可換含幺半群，且(A,∧,∨,0,1)是有界分配格。在MV-代數(shù)中定義偏序關(guān)系“≤”為x≤y當且僅當x∧y=x,定義x*=x→0。若A中任意兩元素都存在偏序關(guān)系，則稱A是線性序的。另外，稱B(A)={x∈A|x⊕x=x}={x∈A|x⊙x=x}為A的布爾中心，則(B(A)，⊕,*,0)是一個布爾代數(shù)。

定理1[2]設(shè)A是MV-代數(shù)，則下列結(jié)論成立：?x、y、z∈A,

(1)x⊕x*=1,x⊙x*=0;

(2) 若x≤y當且僅當x⊙y*=x?y=0當且僅當x→y=1;

(3) 若x≤y,則y→z≤x→z,z→x≤z→y;

(4)x⊙y≤x∧y≤x,y≤x∨y≤x⊕y;

(5)x∨y=(y→x)→x=(x→y)→y;

(6) 若x≤y當且僅當y*≤x*;

(7)x⊕y=y當且僅當x⊙y=x;

(8) (x?y)⊕y=x∨y,x?(x?y)=x∧y;

(9) (x?z)?y=(x?y)?z;

(10)x∧(y⊕z)=(x⊕z)∧(x⊕y)。

定理2[2]設(shè)A是MV-代數(shù)，則下列結(jié)論等價：

(1)x∈B(A);

(2)x⊕y=x∨y,?y∈A;

(3)x⊙y=x∧y,?y∈A。

定義2[1]設(shè)A是MV-代數(shù)，I是A的子集，若I滿足以下條件：?x、y∈A,

(1) 0∈I;

(2) 若x∈I,y∈A，且x≤y,則x∈I；

(3) 若x、y∈I，則x⊕y∈I。

則稱I是A的理想。

定義3[9]設(shè)A是MV-代數(shù)，F(xiàn)是A上的子集，若F滿足以下條件：?x、y∈A,

(1) 1∈F;

(2) 若x∈F,y∈A且x≤y,則y∈F;

(3) 若x、y∈F，則x∧y∈F。

則稱F是A的格濾子。另外，如果A的格濾子F滿足：

(4)?x、y∈F,若x∨y∈F,則x∈F,或y∈F。

則稱F是A的格素濾子。?α∈A,(a]表示由a生成的濾子，稱(a]為主濾子，容易驗證(a]={x∈A|x≥a}。

定義4[10]設(shè)P是偏序集，P上的二元運算⊕和?互為余伴隨，若以下條件成立：

(1) ⊕:P×P→P是單調(diào)遞增的；

(2) ?:P×P→P是關(guān)于第一變量不減，關(guān)于第二變量不增；

(3)c≤a⊕b當且僅當c?b≤a,a、b、c∈P。

定義5[11]設(shè)(L,∧,∨,→,0,1)為有界格，→為L上的二元運算。(L,∧,∨,→,0,1)是Heyting格，如果下列條件成立：x∧y≤z當且僅當x≤y→z,x、y、z∈L。

取健康小鼠，sc 0.2 mL苯甲酸雌二醇注射液（0.5 mg/mL），每2天1次，共3次。6 d后采用無菌PBS溶液灌洗小鼠陰道3次，將無菌石蠟油涂抹5號頭皮針硅膠管，隨后緩慢插入小鼠陰道約1.5 cm處，向陰道內(nèi)接種大腸桿菌（1×109 cfu/mL）及金黃色葡萄球菌（1×109 cfu/mL）混合菌液，接種4 d后采集陰道分泌物涂片，進行革蘭染色鏡檢，考察金黃色葡萄球菌及大腸桿菌感染情況，確定BV模型是否成功（當小鼠陰道明顯充血、紅腫并伴有大量膿性分泌物時，取分泌物涂片，鏡下可見大量的感染菌和壞死細胞，表明小鼠BV模型制備成功[8-9]）。

定義6[3]設(shè)A是一個MV-代數(shù)，d:A→A是映射。若d滿足:?x、y∈A，

d(x⊙y)=(d(x)⊙y)⊕(x⊙d(y))，

則稱d是A的(⊙,⊕)-微分。

定義7[8]設(shè)A是一個MV-代數(shù)，d:A→A是映射。若d滿足：?x、y∈A,

d(x?y)=(d(x)?y)⊙(x?d(y)),

則稱d是A的(?,⊙)-微分。

2 MV-代數(shù)上的(→,⊕)-微分

本文引入了MV-代數(shù)的(→,⊕)-微分，并研究它的一些重要性質(zhì)。

定義8設(shè)A是一個MV-代數(shù),d:A→A是映射。若d滿足：?x、y∈A,

則稱d是A的(→,⊕)-微分，(A,d)為微分MV-代數(shù)。簡記d(x)=dx。

例1設(shè)A是一個MV-代數(shù)，定義映射d:A→A為dx=1,?x∈A，則容易驗證d為(→,⊕)-微分，稱d為平凡(→,⊕)-微分。

例2設(shè)A={0,a,b,1},其中0≤a≤b≤1。二元運算⊕和*如下：

容易驗證(A,⊕,*,0,1)是MV-代數(shù)。定義映射d:A→A如下：d0=b,da=db=d1=1,則d是A的(→,⊕)-微分。定義d1:A→A為d10=a,da=a,d1b=d11=b。由于d1(1→b)=d1b=b,(d11→b)⊕(1→d1b)=1≠b，因此d1不是A的(→，⊕)-微分。

注1例2中的(→,⊕)-微分d,由于d(a⊙b)=d0=b,(d(a)⊙b)⊕(a⊙d(b))=1≠b，因此d不是A的(⊙,⊕)-微分。又d(a?b)=b,(d(a)?b)⊙(a?d(b))=0≠b。故d不是A的(?,⊙)-微分。

命題1設(shè)d是MV-代數(shù)A的(→,⊕)-微分，則下列結(jié)論成立：?x、y∈A,

(1)d1=1;

(2)dx=x⊕dx;

(3)x≤dx;

(4)x≤y,蘊含dx≤dy;

(5)dx→y≤x→dy;

(6)dx→dy≤d(x→y)。

證明(1)d1=d(1→1)= (d1→1)⊕(1→d1)=1。

(2)dx=d(1→x)=(d1→x)⊕(1→dx)=x⊕dx。

(3) 根據(jù)(2)知x≤x⊕dx=dx。

(4) 若x≤y，則y=x∨y，因此

dy=d(x∨y)=d((y→x)→x)=d((y→x)→x)⊕((y→x)→dx)≥ (y→x)→dx≥1→dx=dx。

(5) 由定理1(3)和(3)可得。

(6) 由定義8，定理1(3)和(3)可得。

定義9設(shè)d是MV-代數(shù)A的(→,⊕)-微分。若d0=0,則稱d為MV-代數(shù)A的正則(→,⊕)-微分。

例3設(shè)A是例2中的MV-代數(shù)，定義映射d:A→A為d0=0,da=a,db=d1=1,容易驗證d是A的正則(→,⊕)-微分。

命題2設(shè)d是MV-代數(shù)A的正則(→,⊕)-微分，則下列結(jié)論成立：?x、y∈A,

(1) (dx)*≤dx*;

(2)d(x⊕y)≤dx⊕dy;

(3)dx?dy≤d(x?y)。

證明(1) 根據(jù)命題1(6)和d0=0可得。

(2) 由定義8，命題1(2)和(1)知d(x⊕y)=d(x*→y)=(d(x*)→y)⊕(x*→dy)≤(d(x)*→y)⊕(x*→dy)=dx⊕y⊕x⊕dy=(dx⊕x)⊕(dy⊕y)=dx⊕dy。因此,d(x⊕y)≤dx⊕dy。

(3) 由定理1(8)，命題1(4)和(2)可知dx≤d((x?y)⊕y)≤d(x?y)⊕dy。從而

dx?dy≤d(x?y)。

下面討論MV-代數(shù)A布爾中心上的(→,⊕)-微分的一些性質(zhì)，并給出了MV-代數(shù)A布爾中心上的(→,⊕)-微分的等價刻畫。

命題3設(shè)d是MV-代數(shù)A的(→,⊕)-微分。則以下結(jié)論成立：?x、y∈B(A)，

(1)d(B(A))?B(A);

(2)d(x→y)=(d(x)→y)∨(x→d(y);

(3)d(x→y)=dx→dy;

(4)d(x∨y)=dx∨dy;

(5) 若d0=0,dx*=(dx)*;

(6) 若d0=0,d(x∧y)=dx∧dy。

證明(1) 設(shè)x∈B(A)。由命題1(2)和定理2可知d(x)=d(x⊙x)=(x⊙x)⊕dx=dx∨(x⊙x)=(dx∨x)⊙(dx∨x)=(dx⊕x)⊙(dx⊕x)。因此,

dx=dx⊙dx。

(2) 設(shè)x、y∈B(A)。由(1)和定理2(2)可知

d(x→y)=(d(x)→y)⊕(x→d(y))= (d(x)→y)∨(x→d(y))。

(3) 由(2)和命題1(6)可得

d(x→y)=dx→dy。

(4) 由(3)和定理1(5)可知d(x∨y)=d((y→x)→x)=d(y→x)→dx=(dy→dx)→dx=dx∨dy，從而d(x∨y)=dx∨dy。

(5) 由(3)和d0=0可知

d(x→0)=dx→d0=(dx)*。

(6) 由(4)和(5)可得d(x∧y)=dx∧dy。

推論1設(shè)d是MV-代數(shù)A上的一個映射。則以下結(jié)論等價。

(1)d是B(A)上的(→,⊕)-微分；

(2)d(x→y)=x→dy,?x、y∈B(A)。

證明(1)?(2)由命題1(5)和3(2)可得。

(2)?(1)假設(shè)d是B(A)上的映射且滿足?x、y∈B(A)，d(x→y)=x→dy。則d1=d(1→d1)=d1→d1=1。又1=d1=d(x→x)=x→dx，因此?x∈B(A)，x≤dx。由定理1(3)可知dx→y≤x→dy。因此

d(x→y)=x→dy=(dx→y)⊕(x→dy)。

設(shè)A是MV-代數(shù)。d:A→A是一個映射。定義Fd(A)={x∈A|dx=x}。

命題4設(shè)d是MV-代數(shù)A的(→,⊕)-微分。則Fd(A)?B(A)。

證明設(shè)x∈Fd(A)。由命題1(2)可知dx=x⊕dx，所以x⊕x=x,因此x∈B(A)。

注2命題4的逆命題一般不成立。

例4設(shè)A是例2中的MV-代數(shù)，定義A上的映射d為d0=da=d1=0,db=1。則容易驗證Fd(A)={0}?{0,1}=B(A)，但是d不是A上的(→,⊕)-微分，因為

d(1→a)=da=0≠a=(d1→a)⊕(1→da)。

定理3設(shè)A是MV-代數(shù)，則以下結(jié)論等價。

(1)A是Boole代數(shù)；

(2) 恒等映射是(→,⊕)-微分。

證明(1)?(2)假設(shè)A是Boole代數(shù)且d是A上的恒等映射，則d(x→y)=x→dy。由推論1可知，d是Boole代數(shù)A的(→,⊕)-微分。

(2)?(1)假設(shè)恒等映射d是A上的(→,⊕)-微分。由命題4可知A=Fd(A)?B(A)，因此A是Boole代數(shù)。

由定理3可知，若A是Boole代數(shù)，則恒等映射是A的(→,⊕)-微分。下面這個定理給出了Boole代數(shù)上的恒等(→,⊕)-微分的等價刻畫。

定理4設(shè)d是Boole代數(shù)A上的(→,⊕)-微分，則以下結(jié)論等價。

(1)d是恒等映射；

(2)x→dy=dx→y;

(3)d是單射。

證明(1)?(2)顯然。

(1)?(3)顯然。

(2)?(1)假設(shè)?x、y∈A,x→dy=dx→y。由推論1可知dx=d(1→x)=1→dx=d1→x=1→x=x。因此d是恒等映射。

(3)?(1)假設(shè)d是單射。?x∈A,d(dx→x)=dx→dx=1=d1，因此dx→x=1，即dx≤x。根據(jù)命題1(3)得dx=x,?x∈A。

命題5設(shè)A是MV-代數(shù)，a∈A，定義da:A→A為?x∈A,da(x)=a⊕x,若da(A)?B(A)，則da是A的(→,⊕)-微分。

證明由定義1、定理2知?x、y∈A,(dax→y)⊕(x→da(y))=((da(x))*⊕y)⊕(x*⊕day)=((da(x))*⊕x*)⊕(day⊕y)=(da(x))*∨x*)⊕(day∨y)=x*⊕day=a⊕(x→y)=da(x→y)。由定義8知，da是A的(→,⊕)-微分。

注3由于da是MV-代數(shù)A的布爾中心上的(→,⊕)-微分。稱da為MV-代數(shù)A的中心主微分。

命題6設(shè)A是MV-代數(shù)。則存在A上的自映射ga(y)=y?a使得(da,ga)是A上的一對余伴隨。

證明顯然⊕是單調(diào)不減的，?關(guān)于第一變量不增，關(guān)于第二變量不減并且?x、y、a∈A，若y≤x⊕a?x≥y?a。由定義4可知(da,ga)是A上的一對余伴隨對。

命題7設(shè)A是MV-代數(shù)。則ga是(?,⊙)-微分當且僅當ga?B(A)。

證明設(shè)ga(A)?B(A)。設(shè)x、y∈A，由定理1(9)和2知(gax?y)⊙(x?ga(y))=((ga(x))⊙y*)⊙(x⊙(gay)*)=((ga(x))⊙x)⊙((gay)*⊙y*)=(ga(x)∧x)⊙((gay)*∧y*)=gax⊙(y)*=ga(x)?y=(x?a)?y=(x?y)?a=ga(x?y)。由定義7可知ga是MV-代數(shù)的(?,⊙)-微分。

反之，若ga是A的(?,⊙)-微分。則x?a=ga(x)=ga(x?0)=(ga(x)?0)⊙(x?ga(0))=(x?a)⊙(x?a)。即ga(A)?B(A)。

命題8設(shè)A是MV-代數(shù)。則ga是(⊙,⊕)-微分如果ga(A)?B(A)。

證明設(shè)ga(A)?B(A)。設(shè)x、y∈A,ga(x⊙y)=((x⊙y)?a)⊕((x⊙y)?a)=((x?a)⊙y)⊕((x?a)⊙y)=(gax⊙y)⊕(x⊙gay)。由定義6可知ga是(⊙,⊕)-微分。

引理1[8]設(shè)d是MV-代數(shù)A的(⊙,⊕)-微分，則下列結(jié)論等價：

(1)d是保序的；(2)dx=x⊙d1。

命題9(1) 設(shè)A是MV-代數(shù)，d是A上的保序(⊙,⊕)-微分。若存在A上的自映射f滿足fA?B(A),且(d,f)是A上的一對余伴隨對，則f是A上的(→,⊕)-微分。

證明由命題5、6、8可證。

(2) 設(shè)A是Boole代數(shù)，g分別是A上的(?,⊙)-微分，若存在A上的自映射f滿足(g,f)是A上的余伴隨對。則f是A上的(→,⊕)-微分。

證明由命題5、6、7可證。

定理5設(shè)d是MV-代數(shù)A上的正則(→,⊕)-微分，則以下結(jié)論等價。

(1)A是Boole代數(shù)；

(2)Fd(A)是A的格濾子。

證明(1)?(2)假設(shè)A是Boole代數(shù)且d是A上的正則(→,⊕)-微分。由命題3(6)可得d(x∧y)=dx∧dy。若x、y∈Fd(A)，則dx=x,dy=y,從而d(x∧y)=dx∧dy=x∧y，則x∧y∈Fd(A)。下面證明Fd(A)是A的上集。若x∈Fd(A),y∈A且x≤y，則dy=d(x∨y)=d((y→x)→x)=(d(y→x)→x)⊕((y→x)→dx)≤((y→x)→x)⊕((y→x)→x)=y⊕y=y,從而dy≤y。另一方面，由命題1(3)知y≤dy，故y=dy因此Fd(A)是A的格濾子。

(2)?(1)假設(shè)fd(A)是A的格濾子。由正則(→,⊕)-微分的定義可知0∈Fd(A)。從而Fd(A)=A。由命題4知A?B(A)，故A是Boole代數(shù)。

定理6設(shè)d是A上的(→,⊕)-微分，則以下結(jié)論等價：

(1)A是Boole代數(shù)；

(2) 每一個主中心微分da滿足Fda(A)=(a]。

證明(1)?(2)設(shè)A是Boole代數(shù)，則?x∈A,x⊕x=x成立。由于da(a)=a⊕a=a，則a∈Fda(A)。根據(jù)定理5得Fda是A的上集，因此對任意a≤x，有x∈Fda(A)，從而(a]?fda(A)。另一方面，設(shè)x∈Fda(A)，則da(x)=x=a⊕x≥a∨x≥a。從而x=a∨x,即a≤x。這就證明了x∈(a]。因此，F(xiàn)da(A)=(a]。

(2)?(1) 由(2)知?a∈A,Fda(A)=(a]，由于a∈(a]，則a∈Fda(A)，從而有a⊕a=da(a)=a,?a∈A成立，即A是一個Boole代數(shù)。

3 微分MV-代數(shù)的微分理想

這一節(jié)，定義并研究微分MV-代數(shù)的微分理想，并討論MV-代數(shù)的正則微分同余和正則微分理想之間的關(guān)系。最后，討論了微分MV-代數(shù)所有的微分理想組成的集合ID(A)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

性質(zhì)1[1]設(shè)A是MV-代數(shù)，?≠X?A⊕記〈X〉={a∈A|a≤x1⊕x2…xn,xi∈X,i=1,…,n}。則〈X〉是包含X的最小理想，稱之為由X生成的理想。

若I是A的理想且x∈A，則〈I∪{x}〉={a∈A|c⊕xn≥a,?c∈I,n∈N}。

定理7[1]若I是MV-代數(shù)的理想。定義xRy當且僅當x?y⊕y?x∈I。則R是MV-代數(shù)A上的同余關(guān)系。

所有的同余等價類記為A/I，即A/I={[x]|x∈A}，其中[x]={y∈A|xRy}。定義+和*如下：

[x]+[y]=[x⊕y],[x]*=[x*]。

則(A/I,+,*,[0],[1])是一個MV-代數(shù)。

定義10設(shè)d是MV-代數(shù)A上的(→,⊕)-微分。I是MV-代數(shù)的理想，則I稱為微分MV-代數(shù)的微分理想若dI?I。

記微分MV-代數(shù)的所有微分理想組成的集合為ID(A)。

例5設(shè)A={0,a,b,1}。二元運算⊕和*如下：

容易驗證(A,⊕,*,0,1)是MV-代數(shù)。定義映射d:A→A如下：d0=da=a,db=d1=1,則d是A的(→,⊕)-微分。顯然{0,a}是微分MV-代數(shù)的微分理想。雖然{0,b}是MV-代數(shù)的理想，但不是微分MV-代數(shù)的微分理想，因為db=1?{0,b}。

命題10設(shè)d是MV-代數(shù)A的正則(→,⊕)-微分，x∈Fd(A)，I是MV-代數(shù)的理想。則〈x∪I〉是微分MV-代數(shù)的微分理想。

證明若z∈〈a∪I〉，則存在y∈I使得z≤x?y。由命題1(4)和命題2(2)知dz≤d(x⊕y)≤dx⊕dy=x⊕dy，又dy∈I，因此dz?〈x∪I〉。

定理8設(shè)d是MV-代數(shù)A的冪等正則(→,⊕)-微分，I是MV-代數(shù)的理想，則I是微分MV-代數(shù)的正則微分理想當且僅當I=(I∩Fd(A)]。

證明一方面，假設(shè)d是MV-代數(shù)A的冪等正則(→,⊕)-微分且I是A的微分理想。x∈I,則dx∈I。從而dx∈I∩Fd(A)。由命題1(3)知x≤dx，所以x∈(I∩Fd(A)]。

反之，若x∈(I∩Fd(A)]。則存在y∈I∩Fd(A)，使得x≤y。由命題3.2(4)知dx≤dy=y，所以x∈I。

定義11設(shè)d是MV-代數(shù)A的(→,⊕)-微分。A上的同余關(guān)系R被稱為微分同余若?x、y∈A,xRy當且僅當dxRdy。

記微分MV-代數(shù)的所有微分同余組成的集合為CD(A)。

定理9設(shè)d是MV-代數(shù)A的冪等正則(→,⊕)-微分，則ID(A)和CD(A)之間存在一個一一對應(yīng)。

考慮下面的映射：

g:ID(A)→CD(A),I→ΘI

h:CD(A)→ID(A),Θ→[0]Θ

設(shè)d是MV-代數(shù)A上的冪等正則(→,⊕)-微分。?x、y∈A,(x,y)∈Θ?(x?y)⊕(y?x)∈I，因為I是MV-代數(shù)一個微分理想，因此d(x?y),d(y?x)∈I。由命題2(3)知dx?dy,dy?dx∈I，因此(dx,dy)∈Θ。從而，ΘI是微分MV-代數(shù)的一個正則微分理想。

反之，若ΘI是微分MV-代數(shù)的一個正則微分同余。顯然[0]Θ是微分MV-代數(shù)的一個微分理想。

顯然gh(ΘI)=ΘI且hg(I)=I，對任意的ΘI∈CD(A)和I∈ID(A)。

定理10設(shè)d是MV-代數(shù)A的冪等正則(→,⊕)-微分，則(ID(A)，∧,∨,→,?,A)是一個Heyting格。

在ID(A)定義二元關(guān)系≤為J≤K當且僅當J?K，并規(guī)定?J、K∈ID(A)，J∧K=J∩K,J∨K={z∈A|z≤j⊕k,dz∈J∩K,j∈J,k∈K}，J→K={z∈A|?j∈J,j∧dz∈K}。

證明容易驗證≤是ID(A)的偏序關(guān)系，J∧K是J、K的下確界。?、A分別是(ID(A),≤)的最小元和最大元。

首先證J∨K是微分MV-代數(shù)的微分理想。顯然0∈J∨K。假設(shè)y∈J∨K且x≤y，下證x∈J∨K。由y∈J∨K可知存在j1∈J,k1∈K，使得y≤j1⊕k1且dy∈J∩K。由J∧K是微分理想且dx≤dy可知dx∈J∩K。從而x∈J∨K。

設(shè)x、y∈J∨K，則存在j1、j2∈J,k1、k2∈K使得a≤j1⊕k1,b≤j2⊕k2且da、db∈J∩K。從而a⊕b≤(j1⊕j2)⊕(k1⊕k2),因為J和K是MV-代數(shù)的微分理想，因此j1⊕j2∈J，k1⊕k2∈K。由命題2(2)和J∩K是微分理想知d(a⊕b)≤d(a)⊕d(b)∈J∩K。因此a⊕b∈J∨K。若x∈J∨K，則存在dj∈J,dk∈K使得dx≤d(j⊕k)≤dj⊕dk且d(d(x))=d(x)∈J∩K。因此J∨K是微分理想。

再證J∨K=〈J∪K〉，即J∨K是J和K的上確界。

顯然J≤J∨K,K≤J∨K,從而J∪K≤J∨K。因此〈J∪K〉≤J∨K。

反之，設(shè)x∈J∨K,則存在j∈J,k∈K使得x≤j⊕k,dx∈J∩K?J∪K?〈J∪K〉。由命題1(2)可知x∈〈J∪K〉。因此J∨K≤〈J∪K〉。故J∨K=〈J∪K〉。

所以(ID(A),∧,∨,?,A)是一個有界格。

再證J→K是微分理想。顯然0∈J→K。假設(shè)y∈J→K且x≤y，則存在j∈J,j∧dy∈K。由命題1(4)可知j∧d(x)∈K。所以x∈K。假設(shè)x、y∈J→K，則j∈J,j∧d(x),j∧d(y)∈K。因此，(j∧d(x))⊕(j∧d(y))∈K。由定理1(10)知j∧d(x⊕y)∈K。因此x⊕y∈J→K。顯然x∈J→K,d(x)∈J→K。因此J→K是微分理想。

最后證(ID(A),∧,∨,→,?,A)是一個Heyting格。只需證J∧K≤L當且僅當J≤K→L。

設(shè)J∧K≤L。設(shè)x∈J則dx∈J。從而?k∈K，k∧d(x)≤d(x),k∧d(x)≤k。因此k∧d(x)∈J∧K≤L。故x∈K→L。所以J≤K→L。

反之，設(shè)J≤K→L。設(shè)x∈J∧K，則x∈K→L。?k∈K，k∧d(x)∈L。令k=x∈K，有k∧dx=x∈L。因此J∧K≤L。

由定義5可知(ID(A),∧,∨,→,?,A)是一個Heyting格。

定理11設(shè)(A,d)是一個微分MV-代數(shù)，I是微分MV-代數(shù)的任意一個微分理想，則(A/I,g)是一個微分MV-代數(shù)。

證明設(shè)d是MV-代數(shù)A的一個(→,⊕)-微分。定義一個映射g:A/I→A/I為g(xI)=d(x)I?x∈A/I。若a、b∈A滿足aI=bI，則a∈bI。因為I是微分MV-代數(shù)的一個微分理想，因此dI?I。從而有da∈d(bI)?(db)I。所以g(aI)=g(bI)。從而映射g是良定的。

設(shè)xI、yI∈A/I,g(xI→yI)=(d(x→y)I。因為d是MV-代數(shù)A上的(→,⊕)-微分。所以(d(x→y)I=((dx→y)⊕(x→dy))I=(g(xI)→yI)⊕(xI→g(yI))。由定義8可知g是微分MV-代數(shù)上的一個(→，⊕)-微分。

5 結(jié)束語

在MV-代數(shù)上引入了(→,⊕)-微分，研究了MV-代數(shù)(→,⊕)-微分的一些性質(zhì)。定義并研究了正則(→,⊕)-微分，并討論了MV-代數(shù)的布爾中心上的(→,⊕)-微分的一些性質(zhì)。進一步，給出了中心主微分的概念，用中心主微分討論了(→,⊕)-微分與MV-代數(shù)其他微分之間的關(guān)系。并用中心主微分的不動點之集刻畫了Boole代數(shù)。最后，定義并研究了微分MV-代數(shù)的微分理想，得到了若d是A的冪等正則微分，則微分MV-代數(shù)所有的微分理想構(gòu)成了一個Heyting格。

[1] Chang C C. Algebraic analysis of many valued logics[J].Transactions of American Mathematical Society, 1958, 88(2): 467-490.

[2] Cignoli R, Dottaviano I D, Mundici D. Algebra foundations of many-valud reasoning[M].Dordrechet: Kluwer Academic Publishers,2000.

[3] Alshehri N O. Derivations of MV-algebras[J].Internation Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2010: 312027.

[4] Posner E. Derivations in prime rings[J].Proceedings of the American Mathematical Society, 1957, 8(6):1093-1100.

[5] Bell H E, Mason G. On derivations in near-rings and near-fields[J].North-Holland Mathematics Studies, 1987, 137:31-35.

[6] Jun Y B, Xin X L. On derivation of BCI-algebras[J].Information Sciences, 2004, 159(3):167-176.

[7] Xin X L, Li T Y,Lu J H. On derivations of lattice[J].Information Sciences, 2008, 178:307-316.

[8] Ghorbani S H, Torkzadeh L, Motamed S. (⊙,⊕)-derivations and (⊙,⊕)-derivations on MV-algebras[J].Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics, 2013, 8: 75-90.

[9] Birkhoof G. Lattice theory[M].New York: American Mathematical Society Colloquium, 1940.

[10] 王國俊. 非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M].北京：科學(xué)出版社, 2000.

[11] 鄭崇友, 樊磊, 崔宏斌．Frame與連續(xù)格[M]．2版．北京：首都師范大學(xué)出版社, 2000．

〔責任編輯 宋軼文〕

On (→,⊕)-derivations of MV-algebras

WANG Juntao, XIN Xiaolong*, HE Pengfei

(School of Mathematics, Northwest University,Xi′an 710127, Shaanxi, China)

The notion of (→,⊕)-derivations on MV-algebras is introduced and some properties of them are discussed.The regular (→,⊕)-derivations and the relationship between (→,⊕)-derivations and others derivations for MV-algebra are determined.Moreover,boolean algebras by the fixed set of principal center (→,⊕)-derivations are characterized.In addition,differential ideal of differential MV-algebras are studied.In particular,algebraic structures of the set ID(A) of all differential ideals on regular differential MV-algebras are researched.

MV-algebra; (→,⊕)-derivation; Boolean algebra; fixed point; differential ideal; Heyting lattice.

06D35

1672-4291(2015)04-0016-06

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.04.144

2014-11-10

國家自然科學(xué)基金(11461025)

王軍濤，男，碩士研究生，研究方向為邏輯代數(shù)與超代數(shù)。E-mail:1105020678@qq.com

*通信作者：辛小龍，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:xlxin@nwu.edu.cn

O153

A