擴(kuò)張p6階群的Φ37(16)家族為L(zhǎng)A-群

班桂寧 陳科成 聶婷婷

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧530004)

擴(kuò)張p6階群的Φ37(16)家族為L(zhǎng)A-群

班桂寧 陳科成 聶婷婷

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧530004)

首先運(yùn)用群的擴(kuò)張理論對(duì)p6階群的Φ37(16)家族進(jìn)行擴(kuò)張,得到一類(lèi)新的p-群,然后給出了它們的一些性質(zhì),最后驗(yàn)證了擴(kuò)張得到的群是LA-群.

有限p-群;LA-猜想;LA-群;群的擴(kuò)張;自由群

0 引言

時(shí)至今日,有限p-群與群的自同構(gòu)[1]已經(jīng)成為群論的基本概念.在有限非交換p-群中有一類(lèi)特殊的有限p-群稱之為L(zhǎng)A-群,其具體定義是:p-群G的階能整除其自同構(gòu)Aut(G)的階,即＞p2.俞曙霞與班桂寧教授在LA-群的研究上得到了大量有價(jià)值的結(jié)論,具體可參看參考文獻(xiàn)[2]-[5].本文將根據(jù)Rodney James關(guān)于p2-p6階的分類(lèi)[6],針對(duì)p6階群的Φ37家族進(jìn)行群的有效擴(kuò)張.基于所得的擴(kuò)張形式,運(yùn)用自由群理論證明擴(kuò)張形式構(gòu)成群.對(duì)新得到的p-群進(jìn)行研究,得到新群的中心及中心群列等一些基本性質(zhì).最后利用中心內(nèi)自同構(gòu)的方法證明新群是LA-群.

1 基本公式與引理

公式1[7]設(shè)G是群,a,b,c∈G.則有

公式2[7]設(shè)G是群,a,b∈G且[a,b]∈Z(G),又設(shè)n是正整數(shù).則有

公式3[7]設(shè)G是亞交換群,a,b∈G,m≥2,i,j是正整數(shù),則

引理1[7]設(shè)G是有限p-群,若c(G)＜p,則G正則.

引理2[7]設(shè)G是有限群,則G的全體中心內(nèi)自同構(gòu)組成Aut(G)的子群,并且它和Z(G/Z(G))是同構(gòu)的.

引理3[8]設(shè)G是PN-群,G/G′和Z(G)的不變型分別為m1≥m2≥…≥mt≥1和k1≥k2≥…≥ks≥1,則|Ac(G)|=pa,其中

2 定理及其證明

定理1 設(shè):G=〈α,α1,α2,α3,α4,α5|[α1,α]=α2,[α2,α]=α3,[α3,α]=α4,[α2,α3],可證當(dāng)G滿足條件t1≥t2≥t3≥t4≥t5,t≥t2,t≥t3,t≥t4時(shí)G構(gòu)成一個(gè)P-群,同時(shí)在這種擴(kuò)充的情況下也必須滿足t1≥t2≥t3≥t4≥t5,t≥t2,t≥t3,t≥t4.所以用群的表示方法可以直觀記作:

證明:

(I)如果G已經(jīng)是滿足群的條件,[α1,α]=α2,[α2,α]=α3,[α3,α]=α4,[α2,所以:

α5,α1α4=.為了找出t,ti(1≤i≤5)的關(guān)系,做以下一系列的共軛作用,利用上面的公式1,公式2,通過(guò)簡(jiǎn)單的群的計(jì)算,可以得出以下的形式:

o(α)=pt,o(α1)=pt1,o(α2)=pt2,o(α3)=pt3,o(α4)=pt4,o(α5)=pt5,最后通過(guò)比較上面的各個(gè)大小關(guān)系,得到:t1≥t2≥t3≥t4≥t5,t≥t2,t≥t3,t≥t4.

(II)G的存在性:

其中pt2階循環(huán)群F=＜s1＞.τ作用在N上,我們定義為上述映射,根據(jù)條件

參考文獻(xiàn):

[1]Flynn J,MacHale D,O’Brien E A,et al.Finite groups whose automorphism groups are 2-groups[J]. Proc Roy Irish Acad Sect A,1944,94(2):137-145.

[2]Yu SX,Ban G N,Zhang JS.Mininal p-group with automorphism groups of order[J].Alg Colloq,1966,3 (2):97-106.

[3]俞曙霞,班桂寧.具有循環(huán)中心和小中心商的有限p-群[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1993,18 (3):15-23.

[4]Gunning Ban,Jinsong Zhang and Shuxia Yu.The lower bound for the order of the automorphism groups[J]. Proc.Roy.Irish Acad.Vol.A,1996,96(2):159-167.

[5]Ban Guining,Chen Liying,Zhou Yu.A new series of LA-groups[J].JGuangxi Teachers Education University,2007,24(4):5-7.

[6]Rodney James,The groups of order p6(p an odd prime)[J].Math.Comput.1980,34:613-637.

[7]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上,下)[M].(第二版)北京:科學(xué)出版社,2001.

[8]Exarchakos.T.LA-groups[J].JMath Soc Japan,1981,33(2):185-190.

Extending the Order of p6-group of Thirty-seventh Family Group as LA-group

Ban Guining Chen Kecheng Nie Tingting

(School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning,Guangxi530004)

When we extended the order of p6-group ofΦ37(16)group and used the extension theory of group,a new series of p-groupswere obtained.Then some propertieswere given.Eventually itwas proved that the groups are new LA-groups.

finite p-group;LA-conjecture;LA-group;extension theory of group;free group

O152

A

1008-293X(2015)08-0011-07

(責(zé)任編輯 王海雷)

10.16169/j.issn.1008-293x.k.2015.08.02

2015-05-26

廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目“群、圖及其在網(wǎng)絡(luò)上的應(yīng)用”.

班桂寧(1962-),男,廣西南寧人,博士,教授,主要研究方向?yàn)槿赫摗⒖刂评碚摵涂刂乒こ?