一種TBM推進(jìn)機(jī)構(gòu)的多柔體動(dòng)力學(xué)建模及仿真

王雙華，徐尤南，余偉，黃林昕，陳淑平，鄧文強(qiáng)

(1.華東交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西南昌 330013;2.江西現(xiàn)代技師學(xué)院，江西南昌 330013)

0 前言

推進(jìn)系統(tǒng)是TBM掘進(jìn)作業(yè)的核心，掘進(jìn)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)直接決定裝備的位姿調(diào)整能力、承載能力和對(duì)突變載荷的順應(yīng)能力，而機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析是機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及減振的基礎(chǔ)［1］，因此，對(duì)推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方面的研究顯得尤為重要。

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，新一代機(jī)器人正向著高速化、精密化和輕型化的方向飛速發(fā)展，傳統(tǒng)的將機(jī)器人視為剛體系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法已顯得愈加不適用。近二十年，涉及構(gòu)件及關(guān)節(jié)彈性影響的柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析與振動(dòng)控制問(wèn)題已受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［2］。機(jī)械系統(tǒng)關(guān)鍵構(gòu)件在空間運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的彈性變形，它不僅影響了機(jī)構(gòu)的軌跡精度和定位精度，破壞系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和可靠性，同時(shí)降低了工作效率和整機(jī)的使用壽命［3］。液壓缸剛度具有時(shí)變特性，推進(jìn)機(jī)構(gòu)缺乏有效動(dòng)力學(xué)模型，國(guó)內(nèi)外研究推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)考慮機(jī)構(gòu)的柔性又較少，因此建立柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，具有實(shí)際意義。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)柔性多體系統(tǒng)開(kāi)展了不少研究，陸佑方［4］繼承了Shabana的思想，著重研究了柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)與控制;黃文虎、邵成勛［5］對(duì)柔性機(jī)械臂的建模、仿真及逆動(dòng)力學(xué)等問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究;LEE等［6］采用Langrange方程并借助張量表示法建立Stewart平臺(tái)的彈性動(dòng)力學(xué)模型。張緒平［7］采用假設(shè)模態(tài)法建立3-PRR機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型和實(shí)驗(yàn)研究。吳德隆等［8］對(duì)空間伸展機(jī)構(gòu)從動(dòng)力學(xué)理論、試驗(yàn)和數(shù)值仿真等方面進(jìn)行了深入研究。雖然目前的研究成果很多，但由于柔性多體系統(tǒng)的復(fù)雜性，在準(zhǔn)確建模和數(shù)值方法等一些基本問(wèn)題，仍需要系統(tǒng)深入的研究［9］。在研究機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，借助于計(jì)算機(jī)仿真是十分有意義的。但是大多數(shù)有關(guān)動(dòng)力學(xué)方面的教科書較少涉及到計(jì)算機(jī)仿真［10］。計(jì)算機(jī)建模方法是一種非常高效的建模方法，但在并聯(lián)機(jī)器人領(lǐng)域并沒(méi)有引起足夠的關(guān)注和討論。其可以將動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)內(nèi)的仿真模型，運(yùn)用仿真模型可以高效輕松的驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型和進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析［11］。因此，本文作者提出一種利用Matlab中Simulink可視化仿真工具對(duì)TBM推進(jìn)機(jī)構(gòu)建立動(dòng)力學(xué)仿真模型的方法。

文中以典型推進(jìn)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象如圖1所示，推進(jìn)機(jī)構(gòu)的12根驅(qū)動(dòng)桿均由球鉸、缸體和活塞桿組成，缸體和活塞桿通過(guò)球鉸分別與TBM前體切口環(huán)和支撐環(huán)相連，考慮連桿為柔性，動(dòng)平臺(tái)和關(guān)節(jié)為剛性，忽略關(guān)節(jié)處的摩擦和間隙。建立了Lagrange方程及力平衡方程，因考慮了液壓缸各部分的質(zhì)量分布，以致方程中的質(zhì)量子矩陣為非對(duì)角陣，這將帶來(lái)計(jì)算上的困難，建立狀態(tài)空間方程使問(wèn)題得到解決，把微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程，計(jì)算出系數(shù)矩陣，巧妙利用Simulink模塊中的狀態(tài)空間子模塊，便可求出想要的輸出量。利用所建的方程搭建Simulink仿真模型，給定動(dòng)平臺(tái)位姿及微觀姿態(tài)便求解出液壓缸所需的力及連桿各部分的動(dòng)態(tài)變化，為以后研究機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及振動(dòng)控制創(chuàng)造一定條件。

圖1 推進(jìn)機(jī)構(gòu)組成簡(jiǎn)圖

1 推進(jìn)機(jī)構(gòu)每條支鏈多柔體動(dòng)力學(xué)方程建立過(guò)程

1.1 液壓缸剛度分析

首先對(duì)單個(gè)液壓缸支鏈進(jìn)行分析，計(jì)算其剛度為下節(jié)建立動(dòng)力學(xué)方程奠定基礎(chǔ)，單個(gè)液壓缸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 液壓缸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

［12］中公式:

式中:Ec表示缸體與活塞的彈性模量 (取2.1×105MPa)，El表示液壓油的彈性模量 (1 000 MPa)，kqi是第i個(gè)推進(jìn)缸的剛度。由于球副兩端分別與定平臺(tái)和支平臺(tái)相固結(jié)，且l5、l6相對(duì)較小，式中對(duì)其略去不計(jì)。

推進(jìn)缸結(jié)構(gòu)尺寸［12］見(jiàn)表1。

表1 2×6-SPS型推進(jìn)缸結(jié)構(gòu)尺寸 mm

1.2 動(dòng)力學(xué)方程的建立

對(duì)單個(gè)液壓缸將圖2模型簡(jiǎn)化為柔性體模型如圖3所示。

圖3 單個(gè)液壓缸柔體模型

根據(jù)圖3模型，對(duì)其受力分析，考慮各構(gòu)件質(zhì)量均勻分布，利用拉格朗日方程，求得動(dòng)力學(xué)方程:

式中:Mi、Ki、Fi分別表示液壓缸的單元質(zhì)量陣、剛度陣與力向量，F(xiàn)i作用方向與X3一致。分別表示為

圖4為所建立的機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系模型。

圖4 2×6-SPS推進(jìn)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系建立簡(jiǎn)圖

根據(jù)矢量法，可導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)學(xué)基本方程:

式中:H為速度逆雅可比矩陣，q為關(guān)節(jié)變量，各分支長(zhǎng)度組成的列向量，X為廣義位移，若給定動(dòng)平臺(tái)(宏觀)位置與姿態(tài)X(ΔX)，根據(jù)式 (3)即可求出關(guān)節(jié)變量作為后文所述狀態(tài)方程的輸入變量。

根據(jù)式 (2)可知:

根據(jù)上式可以分別提取一方程組與每個(gè)液壓缸支鏈驅(qū)動(dòng)力求解表達(dá)式:

根據(jù)式 (5)計(jì)算τi，得到壓力波動(dòng)方程的響應(yīng)。

1.3 建立狀態(tài)空間方程

由于式 (4)為二階耦合微分方程組，利用Simulink基本運(yùn)算模塊很難求解，巧妙運(yùn)用其中的狀態(tài)空間模塊將其轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程使問(wèn)題得到解決，狀態(tài)空間表示法即為一種將物理系統(tǒng)表示為一組輸入、輸出及狀態(tài)的數(shù)學(xué)模式，而輸入、輸出及狀態(tài)之間的關(guān)系可用許多一階微分方程來(lái)描述。由于采用矩陣表示，當(dāng)狀態(tài)變量、輸入變量或輸出變量的數(shù)目增加時(shí)，并不增加系統(tǒng)描述的復(fù)雜性，而且，狀態(tài)空間法是時(shí)間域方法，所以很適合用計(jì)算機(jī)計(jì)算。

將式 (4)改寫為:

則狀態(tài)空間方程為:

式中:A為系統(tǒng)矩陣，B為控制矩陣，C為輸出矩陣，D為直接輸出矩陣。為此，式中要先定義好控制變量與狀態(tài)變量。建立狀態(tài)方程為后續(xù)利用Matlab/Simulink仿真計(jì)算奠定基礎(chǔ)。針對(duì)式 (4)可寫成以下形式:

求解得:

2 推進(jìn)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真模型建立

根據(jù)上節(jié)單個(gè)液壓缸多柔體動(dòng)力學(xué)方程的建立，采用Matlab/Simulink工具箱中的模塊可對(duì)整個(gè)推進(jìn)機(jī)構(gòu)搭建動(dòng)力學(xué)求解模型，利用基本運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解出的逆雅克比矩陣H，計(jì)算出單個(gè)液壓缸中與切口環(huán)連接構(gòu)件的波動(dòng)位移，給定動(dòng)平臺(tái)位置與姿態(tài)，仿真活塞桿、液壓油部分位移大小及液壓缸所受驅(qū)動(dòng)力的大小，從而為以后深入分析機(jī)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)性能影響規(guī)律奠定基礎(chǔ)。

推進(jìn)機(jī)構(gòu)多柔體動(dòng)力學(xué)仿真模型一如圖5所示，用來(lái)求解狀態(tài)方程各系數(shù)矩陣，主要分為五大模塊，TBM前體切口環(huán) (動(dòng)平臺(tái))位姿模塊、固定結(jié)構(gòu)參數(shù)及后序模塊所需的變參數(shù)構(gòu)成的模塊可形象稱之為‘?dāng)?shù)據(jù)記憶’模塊、動(dòng)平臺(tái)與固定平臺(tái)各鉸接點(diǎn)坐標(biāo)組成的模塊、關(guān)節(jié)變量、逆雅克比矩陣求解模塊及狀態(tài)方程系數(shù)模塊，只需選擇關(guān)節(jié)變量構(gòu)成矩陣中的每個(gè)數(shù)值即可求解推進(jìn)機(jī)構(gòu)中每根支鏈建立的狀態(tài)方程中系數(shù)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)仿真。

圖5 狀態(tài)方程系數(shù)矩陣仿真求解模型

值得注意的是，圖5模型中的Data Store Memory模塊即為記憶數(shù)據(jù)模塊，程序運(yùn)行時(shí)便可自動(dòng)讀取數(shù)據(jù)，編寫程序時(shí)還需注意進(jìn)行矩陣運(yùn)算的模塊，其參數(shù)的維數(shù)要設(shè)置一致以便求解。在此模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步編制求解每個(gè)液壓缸柔體模型中所求輸出量 (活塞桿及液壓油部分構(gòu)件的變形大小)模塊及液壓缸所需驅(qū)動(dòng)力大小的程序，其模型見(jiàn)圖6。

圖6 推進(jìn)機(jī)構(gòu)各支鏈中X1，X2及所受驅(qū)動(dòng)力仿真計(jì)算模型

圖6模型根據(jù)式 (5)、(8)在圖5模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步編寫Simulink仿真模型求解柔體模型中X1，X2及液壓缸支鏈所需驅(qū)動(dòng)力的大小，實(shí)現(xiàn)Simulink計(jì)算機(jī)仿真，把計(jì)算結(jié)果存于工作空間以便繪制所需圖形，更直觀地發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。

3 實(shí)例分析

利用模型圖5、圖6，對(duì) Simulink工具箱中的Simulation-Configuration Parameters中的仿真時(shí)間、步長(zhǎng)等進(jìn)行合理設(shè)置，給定動(dòng)平臺(tái) (宏觀)位置與姿態(tài)X即 ［0，0，8 250/2，0，0，0］，計(jì)算逆雅可比矩陣H，設(shè)定動(dòng)平臺(tái) (微觀)位置與姿態(tài)dX=［sin(5πt)，sin(5πt)，sin(5πt)，0.1sin(5πt)，0.1sin(5πt)，-0.1sin(5πt)］T，計(jì)算推進(jìn)機(jī)構(gòu)單個(gè)液壓缸柔性體模型中構(gòu)件3的位移X3，接著根據(jù)前文公式通過(guò)仿真計(jì)算輸出變量，仿真結(jié)果如圖7、8所示。

圖7 單個(gè)液壓缸構(gòu)件1、2位移變化圖

圖8 單個(gè)液壓缸所受驅(qū)動(dòng)力變化圖

圖7、圖8是針對(duì)單個(gè)液壓缸的仿真結(jié)果圖，通過(guò)仿真，從圖中看出活塞桿、液壓油部分位移的變化相差較大，單個(gè)液壓缸所受驅(qū)動(dòng)力的大小隨X3發(fā)生周期性變化，這為總結(jié)力與運(yùn)動(dòng)傳遞規(guī)律及進(jìn)行機(jī)構(gòu)尺度綜合提供基礎(chǔ)。圖9是改變動(dòng)平臺(tái)的球鉸分布方向角-小組間夾角，繪制的液壓缸中活塞桿及液壓油部分構(gòu)件的位移變化圖，幅值隨著動(dòng)平臺(tái)球鉸小組間夾角的增大而增大。

圖9 改變動(dòng)平臺(tái)球鉸夾角X1，X2位移變化圖

圖10是改變動(dòng)平臺(tái)半徑液壓缸所受驅(qū)動(dòng)力在不同行程下的幅值變化圖，從圖中看出隨著動(dòng)靜平臺(tái)距離的增大，液壓缸所受驅(qū)動(dòng)力越小，驗(yàn)證了多柔體動(dòng)力學(xué)方程建立的有效性。

圖10 不同動(dòng)平臺(tái)半徑及位置缸體所受驅(qū)動(dòng)力幅值變化圖

4 結(jié)論

考慮了活塞桿、液壓缸的柔性變化，建立了2×6-SPS推進(jìn)機(jī)構(gòu)多柔體動(dòng)力學(xué)模型，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、拉格朗日方程，建立了推進(jìn)機(jī)構(gòu)多柔體動(dòng)力學(xué)仿真模型，通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證了所建方程的有效性，同時(shí)改變了動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)小組間夾角，得出隨著角度的增大，液壓缸中活塞桿及液壓油部分位移幅值就越大;改變動(dòng)平臺(tái)半徑及動(dòng)靜平臺(tái)間距離，得出在一定范圍內(nèi)動(dòng)平臺(tái)半徑越小，距離越大，機(jī)構(gòu)所受驅(qū)動(dòng)力越小。文中的研究為總結(jié)機(jī)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)性能影響規(guī)律、機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定一定基礎(chǔ)。在求解耦合方程組時(shí)巧妙利用了Simulink工具箱中的狀態(tài)空間模塊使問(wèn)題得到解決，實(shí)現(xiàn)指定參數(shù)的Simulink動(dòng)態(tài)仿真，為建立其他種類機(jī)械系統(tǒng)的多柔體動(dòng)力學(xué)仿真模型提供方便。

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