兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力分析和計算

康玉寬 李眾立

(西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院 四川綿陽 621000)

?

兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力分析和計算

康玉寬 李眾立

(西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院 四川綿陽 621000)

通過建立數(shù)學(xué)模型，運用電磁場理論、數(shù)值計算方法、微積分知識推導(dǎo)出兩通電圓柱形螺線管間互感，進一步運用虛功原理推導(dǎo)出兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力的表達式，著重分析和研究了兩同軸通電等大的圓柱形螺線管間電磁作用力的計算方法和思想。利用Matlab數(shù)學(xué)軟件對實際的等大的兩個同軸圓柱形螺線管電磁感線分布情況進行了模擬，進一步驗證計算結(jié)果的正確性，并模擬了部分電磁作用力和變量的關(guān)系圖像。

電磁作用力 互感 虛功原理 關(guān)系圖像 電磁舉升系統(tǒng)

隨著新能源概念的提出，電能的有效利用在各個領(lǐng)域都有了新的發(fā)展，作為電能應(yīng)用的載體之一的電磁能應(yīng)用尤為突出，自上海磁懸浮列車通車運行成功以來，人們對電磁能的研究再次達到新的高峰。分析研究兩同軸通電螺線管間電磁作用力計算方法，在實際問題和技術(shù)應(yīng)用中有著重要的理論和工程價值。

在工程自卸車的舉升系統(tǒng)中，由于液壓舉升系統(tǒng)技術(shù)成熟、實用性較強，所以應(yīng)用較為普遍，但是隨著石油能源不斷枯竭，加之液壓舉升系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，在未來的一段時間內(nèi)，電磁舉升系統(tǒng)將逐漸取代液壓舉升系統(tǒng)在工程自卸車舉升系統(tǒng)中的地位。因此，對兩同軸通電螺線管間電磁作用力的研究就尤為重要。雖然實際應(yīng)用中有一些經(jīng)驗計算或者近似估計也能滿足一般工程要求，但是這些由經(jīng)驗得來的估算結(jié)果在很大程度上不能有效控制計算的精確度，而且不能滿足特殊的工程要求。

1 模型建立

1.1 通電圓柱形螺線管的自感

我們可以將通電圓柱形螺線管看成由許多同軸通電圓環(huán)組成，通過分析兩平行通電圓環(huán)互感來推導(dǎo)通電圓柱形螺線管的自感。首先由紐曼公式推導(dǎo)兩平行通電圓環(huán)互感，再根據(jù)微積分原理取圓柱形螺線管的微分單元，求解兩微分單元間的互感。最后在整個圓柱形螺線管上求積分，就可以準(zhǔn)確求得圓柱形螺線管的自感。

(1)

(2)

圖1 圓柱形螺線管Fig.1 Cylindrical solenoid

1.2 兩通電圓柱形螺線管的互感

分別在兩通電圓柱形螺線管上微分單元dZ1和dZ2,同求單個通電圓柱形螺線管的自感的微積分方法，再利用數(shù)值計算方法化簡，進而求解兩通電圓柱形螺線管的互感。設(shè)兩圓柱形螺線管尾端和前端間距為b，半徑分別為R1，R2,在微分單元dZ1和dZ2上分別均勻地繞有線圈m，n匝，磁導(dǎo)率為μ。基本尺寸如圖2所示。則兩通電圓柱形螺線管的互感為[3]：

(3)

圖2 圓柱形螺線管Fig.2 Cylindrical solenoid

1.3 兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力計算

兩通電圓柱形螺線管間電磁作用力滿足牛頓第三定律，該電磁作用力僅有沿軸方向上的分量。

由電磁場理論可知，該系統(tǒng)的場能為[4-6]：

W=I1I2M

(4)

I1，I2分別是兩通電圓柱形螺線管的電流，M是兩通電圓柱形螺線管的互感。載流體系在外磁場中的受力計算沿軸方向上的分量應(yīng)用虛功原理則有

(5)

(6)

至此，討論兩同軸通電等大的圓柱形螺線管間電磁作用力，即R1=R2=R。

其中：

{h1∈(0,b),h2∈(b,c),h3∈(b,a+b),

h4∈(0,b),i=1,2,3,4}

(7)

完全橢圓積分[7-8]的導(dǎo)數(shù)分別為：

(8)

(9)

則：

(10)

(11)

(12)

(8)式和(9)式代入(12)式化簡得：

(13)

將(7)代入(13)化簡得[9-10]：

(14)

分析表達式(14)可以知道兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力是由4部分組成，而且這4部分的解析表達式格式相同，每一部分對應(yīng)一個h,而且h的取值范圍在表達式(7)中列出。在這里，當(dāng)F為正值時，表示斥力；當(dāng)F為負(fù)值時，表示吸引力。推導(dǎo)得到的結(jié)果是一個級數(shù)解，具體應(yīng)用中只能取級數(shù)的若干項進行近似計算，因此，從這個角度來說，表達式得出的是近似解。

2 計算結(jié)果的數(shù)值分析和圖形模擬

2.1 計算結(jié)果的正確性驗證

應(yīng)用Matlab軟件模擬實際的等大的兩個同軸圓柱形螺線管電磁感線分布情況，進一步驗證計算結(jié)果的正確性，如圖3-圖6所示。

圖3 螺線管中間截面的磁感線分布圖Fig.3 Distribution diagram of magnetic induction lines on solenoid’s middle section

圖4 螺線管中間截面的磁感線趨勢圖Fig.4 Tendency diagram of magnetic induction lines on solenoid’s middle section

圖5 螺線管上下兩個面和中間面的截面圖Fig.5 The sectional views of solenoid’s top and bottom sides and middle part

圖6 螺線管中間截面的磁感線立體圖Fig.6 Space diagram of magnetic induction lines of solenoid’s middle section

利用Matlab軟件計算兩個螺線管的磁感線分布，結(jié)合表達式(14)進行如下分析。圖3為不考慮兩個螺線管電磁相互作用力后螺線管中間截面的磁感線分布圖，圖4為考慮兩個螺線管電磁相互作用力后螺線管中間截面的磁感線趨勢圖，圖中方框代表螺線管的位置。通過圖3、圖4的對比可以知道，考慮兩個螺線管電磁相互作用力后，圖4中磁感線的彎曲程度大于圖3中磁感線的彎曲程度。說明磁感線的排斥力加大，兩個螺線管之間中心區(qū)域磁感應(yīng)強度變小，圖5給出兩螺線管上下兩個面和中間面的截面圖，這個圖從立體的角度說明了兩個螺線管磁感線互斥，且中間磁感應(yīng)強度變小。圖6是圖4的立體圖，當(dāng)兩個管的磁感線相互接近時由于排斥力的作用會使磁感線的方向改變，再次驗證了兩個相對螺線管中心磁感應(yīng)強度變小。綜上分析計算結(jié)果符合實際情況。

2.2 表達式的近似解和變量h的關(guān)系驗證

利用C程序設(shè)計、Matlab數(shù)學(xué)軟件[11]計算并模擬變量作出圖像。兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力由解析表達式(14)可以看出，作用力F與該兩同軸通電圓柱形螺線管間距離h有關(guān)，在其他條件不變的情況下，作用力F隨著h的變化而變化。

圖7 兩圓柱形螺線管間電磁力和距離的仿真圖Fig.7 The simulation diagram of the electromagnetic force and distance between two cylindrical solenoids

由于兩同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力的4部分的解析表達式格式相同，可知兩同軸通電等大的圓柱形螺線管間電磁作用力的其他三部分在距離h不同取值情況下，電磁作用力F和距離h的關(guān)系利用Matlab數(shù)學(xué)軟件模擬的圖形和圖7所示相似,在此不作具體Matlab軟件模擬。

3 結(jié)論

文章有效利用前人在螺線管間互感以及通電平行環(huán)的電磁力計算方面已取得的研究成果,基于磁場的疊加原理,分析研究螺線管的空間磁場分布，理論推導(dǎo)出同軸通電圓柱形螺線管間電磁作用力解析表達式。利用Matlab軟件模擬實際的等大的兩個同軸圓柱形螺線管電磁感線分布情況，進一步驗證了計算結(jié)果符合實際情況。

[1] 於乾英,富知愚.圓柱型螺線管磁體的最佳形狀[J].上海大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2002,8(1)：76-79.

[2] 張永吉.兩個共軸螺線管間互感的計算[J].大學(xué)物理,2000,5(5)：15-20.

[3] 洪正平.共軸密繞串聯(lián)螺線管之間的互感系數(shù)[J].山東師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2005,20(2)：101-102.

[4] 劉成林.大學(xué)物理[M].南京：南京大學(xué)出版社,2014.150-240.

[5] 趙凱華, 陳熙謀.電磁學(xué)，第2版[M].北京:高等教育出版社, 2006.494-502.

[6] 侯昭武.通電螺線管產(chǎn)生的電磁場[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報,2008,(5)：154-156.

[7] 田碩,田睿.完全橢圓積分在物理學(xué)中的應(yīng)用[J].中國西部科技,2009,8(7)：90-92.

[8] ZHOU Li-ming，QIU Song-liang,WANG Fei. Estimates for Complete Elliptic Integral by Trigonometric Functions with Applications[N]. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2012，29(5):722-726.

[9] 朱思華, 楊萬民.兩共軸平行圓環(huán)電流之間的電磁作用力[J].大學(xué)物理,2005,24(10)：24-26.

[10] 康兆敏，方秀男.數(shù)值計算方法,第二版[M].清華大學(xué)出版社,2013.

[11] (美)穆爾.MATLAB實用教程,第二版[M].高會生，劉童娜，李聰聰譯. 電子工業(yè)出版社,2010.

Analysis and Calculation of Electromagnetic Force between Two Coaxial Electric Cylindrical Solenoids

KANG Yu-kuan, LI Zhong-li

(SchoolofManufacturingScienceandEngineering,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010,Sichuan,China)

By establishing a mathematical model and using the electromagnetic field theory, the numerical computation method and calculus technique, etc., the mutual inductance between the two solenoids was obtained. Furthermore, the formula of expressing the above-said electromagnetic force was achieved by adopting the virtual work principle, with the computing method and ideology mainly analyzed and researched. By using the Matlab mathematical software, the distribution of the two coaxial electric cylindrical solenoids’ electromagnetic lines was simulated and the computed result was further verified. The image of relation between the electromagnetic force and their corresponding variables was also simulated.

Electromagnetic force; Mutual inductance; Virtual work principle; Image of relationship; Electromagnetic lifting system

2014-08-11

康玉寬，男，碩士研究生。E-mail:1173020132@qq.com

O369

A

1671-8755(2015)01-0085-05