談高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題功能

田素欣

摘 要：波利亞在《怎樣解題》中說：“解題是一種實踐性的技能，好比說就像游泳一樣，在學(xué)游泳時，你模仿別人的做法，用手和腳的動作來保持頭部位于水面之上，最后你通過操練游泳學(xué)會了游泳。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；習(xí)題

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-240-01

課本上的例習(xí)題不是題目的簡單堆砌，而是典型的、精選的、具有代表性的題目，我們不但應(yīng)該會做，而且還應(yīng)該對課本例習(xí)題進(jìn)行反思，既要反思解題過程，又要反思教材一定會通過例習(xí)題向我們傳達(dá)些什么，因此，我們應(yīng)該充分發(fā)揮課本的例習(xí)題功能。

一、示范功能

例題是連接理論知識與問題之間的橋梁，示范性強(qiáng)，如對解題的思路指導(dǎo)，解題步驟的表達(dá)，書寫的格式，圖例表格的繪制等均有一定的規(guī)范要求，復(fù)習(xí)時應(yīng)該重視教材例題的示范作用，充分挖掘其內(nèi)涵和外延，做到事半功倍的復(fù)習(xí)效果.

例、《數(shù)學(xué)。第二冊（上）》P27“例1：已知都是實數(shù)，且求證：?！?/p>

本題課本給出了三種證法：即綜合法、比較法和分析法，而每一種證法都給出了詳細(xì)解答步驟，書寫格式十分規(guī)范，能給學(xué)生很好的示范作用，如，用分析法證明時“要證，只需證明，即只需證明?！儆捎谝虼刷偈降葍r于…②，將②式展開、化簡，得…③因為都是實數(shù)，所以③式成立，即①式成立。原命題得證?！蓖瑫r，解題思路也清晰自然，本題用了三種證法說明了證明不等式的方法是多種多樣的，啟示我們要根據(jù)不等式的特點(diǎn)靈活地選擇恰當(dāng)?shù)淖C法，一般地說，如果能用分析法尋找出證明某個不等式的途徑，那么就能用綜合法證明不等式，同時，還啟發(fā)我們是否能用比較法來證明。

二、模型功能

波利亞在《怎樣解題》中說：“解題是一種實踐性的技能，好比說就像游泳一樣，在學(xué)游泳時，你模仿別人的做法，用手和腳的動作來保持頭部位于水面之上，最后你通過操練游泳學(xué)會了游泳。在學(xué)習(xí)解題時，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學(xué)會了解題。”課本上的有些例習(xí)題能給我們提供模型或者結(jié)論的功能，如果我們能在理解的基礎(chǔ)上熟記相應(yīng)的模型和結(jié)論的話，將會使我們提高思維的效率。

例、《數(shù)學(xué)。第二冊（下）》P67第6題：“正方體ABCD-A1B1C1D1的個頂點(diǎn)都在球O的球面上，球半徑R與正方形的棱長有什么關(guān)系？”

本題的解答并不困難（答案：），但如果我們稍加推廣的話，如：一個正四面體的四個頂點(diǎn)在一個球面上，那么將其補(bǔ)形后的正方體也必在同一個球面上；或者，三條側(cè)棱兩兩垂直且長度相等的三棱錐，可以視為內(nèi)接于球O的正方體的一個“角”，補(bǔ)形后將會給所研究的問題帶來方便；還或者是若有三個面兩兩垂直，則可以拓展為長方體或正方體，如此等等，因此，如果我們在理解的基礎(chǔ)上再以此為模型，那么，將會提高我們的思維效率。

三、聯(lián)系功能

學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時，是以知識點(diǎn)為主線索，由老師依次傳授講解的，由于后面的相關(guān)知識還沒有學(xué)到，不能進(jìn)行縱向聯(lián)系，所以，學(xué)生學(xué)到的往往是零碎的、散亂的知識點(diǎn)，而在高三總復(fù)習(xí)時的主線索是知識的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系相結(jié)合，以章節(jié)為單位，將零碎的、散亂的知識點(diǎn)串聯(lián)起來，并將它們系統(tǒng)化、綜合化，側(cè)重點(diǎn)在各個知識點(diǎn)之間的融會貫通，因此，我們要注意課本上例習(xí)題的前后聯(lián)系作用，合理利用，提高復(fù)習(xí)效率。

例、《數(shù)學(xué)。第二冊（上）》P82“第11題：求函數(shù)的最大值和最小值。”

一般地，如果要求函數(shù)的最大值和最小值呢？則可以利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成點(diǎn)（）與點(diǎn)（5，3）所連線段的斜率來處理，也可以利用正弦（或余弦）函數(shù)的有界性或△法來解，還可以將其轉(zhuǎn)化為圓的參數(shù)方程來處理，因為只需將系數(shù)提出即可。這樣，前后聯(lián)系可以將零碎的、散亂的知識點(diǎn)串聯(lián)起來，并將它們系統(tǒng)化、綜合化，對這類求最值的問題有了更深刻的認(rèn)識。

四、歸納功能

波利亞曾說過，我們需要有一種“歸納的態(tài)度，…，要求隨時準(zhǔn)備把觀察結(jié)果提高為一般性的原則，并隨時準(zhǔn)備根據(jù)具體觀察的結(jié)果對最高的一般性原則進(jìn)行修正?！币虼?，課本中的例習(xí)題不僅要讓學(xué)生弄懂、會做，而且還要學(xué)生注意解題方法的歸納和整理，探索它們的應(yīng)用規(guī)律，使學(xué)生自覺重視加強(qiáng)知識間的縱向發(fā)展和橫向聯(lián)系，注意引導(dǎo)學(xué)生利用例習(xí)題不斷總結(jié)每個公式、定理的主要用途，開拓解題思路，加強(qiáng)學(xué)習(xí)中的反思，進(jìn)而在探索中培養(yǎng)能力，發(fā)展智力。

例、《數(shù)學(xué)。第二冊（上）》P133B組第1題：“設(shè)是橢圓（）上一點(diǎn)，分別是點(diǎn)M與點(diǎn)的距離。求證：，，其中是離心率。

該題的證明要結(jié)合橢圓的第二定義來完成，其結(jié)論就是橢圓的焦半徑公式，當(dāng)然，如果用橢圓的第一定義來證明，則顯得比較繁雜。同樣地，雙曲線和拋物線也有相應(yīng)的焦半徑公式。一般地，如果橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離或離心率有關(guān)時，往往宜用第二定義，例如，類似下面一些問題都可以這樣解決：（1）若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)M，則的最小值是________。（本題好像無從下手，但是，若從橢圓的第二定義入手，發(fā)現(xiàn)“2”是橢圓離心率的倒數(shù)，由定義知是點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的距離，則的最小值是點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離，答案為3。

在高三復(fù)習(xí)時，我們總是期望通過重新審視課本上典型的例習(xí)題，能從中歸納得出些什么結(jié)論或者什么規(guī)律，真正做到“溫故而知新”，例如，《數(shù)學(xué)。第二冊（上）》P88B組第3題：“把函數(shù)在及之間的一段圖象近似地看作直線，且設(shè)，求證的近似值是”本題如果我們站在“極限”的高度來看待這個問題，將會“看”到其本質(zhì)是給出了“以曲代直”求近似值的一種方法，“能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，并能進(jìn)行近似計算”是高考“運(yùn)算能力”的要求，而這種“新視野”是講解新課時所無法體驗的，因為當(dāng)時還沒有學(xué)習(xí)“極限”的相關(guān)知識。這種前后聯(lián)系，歸納總結(jié)課本例習(xí)題的功能，帶給我們的是數(shù)學(xué)“美”的享受。