二次函數(shù)與二次不等式、一元二次方程的關系

呂旭川

摘 要：二次函數(shù)是初等函數(shù)中的重要函數(shù)，歷來是中考的重點知識，是中考的重點內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式等結合在一起綜合考查。

關鍵詞：二次函數(shù)；二次不等式；一元二次方程；關系

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-117-01

二次函數(shù)是初等函數(shù)中的重要函數(shù)，歷來是中考的重點知識，是中考的重點內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式等結合在一起綜合考查。下面，我們談談二次函數(shù)與二次不等式、一元二次方程的關系。

一、二次函數(shù)與二次不等式有如下的關系：

①、使得二次函數(shù) 的函數(shù)值 的自變量 的取值范圍，即求 的解集；反之，求 的解集，即求二次函數(shù) 的函數(shù)值 的自變量 的取值范圍。（此處常用圖解法求一元二次不等式的解集）

②用圖像法求一元二次不等式

的解集步驟：

、設：設 ，則求 ，即求二次函數(shù) 的函數(shù)值 的自變量 的取值范圍。

、作：根據(jù)五點作圖法，作出一次函數(shù) 的圖像。

、解：根據(jù)直角坐標系特點， 軸上方， 恒成立；反之， 軸下方， 恒成立，故求 ，即看圖像在 軸下方部分時， 的取值范圍即可。

例1：已知y=x2-2x-3，當y<0時，自變量x的取值范圍是______________.

分析：因為二次函數(shù)與x軸兩個交點坐標分別是 ， ，有圖像可知，當 時，自變量x的取值范圍是

解：根據(jù)五點作圖法，作出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像

根據(jù)直角坐標系特點， 軸下方， 恒成立，故求 ，即看圖像在 軸下方部分時， 的取值范圍即可。所以自變量x的取值范圍是

二、二次函數(shù)與一元二次方程的關系

因為拋物線y=ax2 +bx+c與x軸交點的橫坐標x1， x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。所以

拋物線y=ax2 +bx+c，當y=0時，拋物線便轉化為一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個交點；

=0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸有一個交點；

<0時，一元二次方程有不等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點。

例2.若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m，n），B（m+6，n），則n=

分析：本題主要考查拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式。

解： 拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，

當 時，y=0，且 ，即 ，

又 點A（m，n），B（m+6，n）， 點A、B關于直線 對稱；

，

將A點坐標代入拋物線解析式，得：

綜上：（1）一元二次方程的知識是研究二次函數(shù)和一元二次不等式的基礎知識。（2）令二次函數(shù)y=ax?+bx+c的y=0，則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x?+bx+c=0，令一元二次不等式ax?+bx+c>0的不等號變?yōu)榈忍?，則原式變?yōu)橐辉畏匠蘟x?+bx+c=0。（3）二次函數(shù)y=ax?+bx+c拋物線與x軸的兩交點的橫坐標x1、x2（x10 解集是：x